1、- 1 -静安区 2018 学年度第一学期高中教学质量检测高三数学试卷一、填空题（本题 12 题，满分 54 分，第 16 题每题 4 分，第 712 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.函数 的定义域是_【答案】【解析】【分析】对数函数满足真数大于 0，建立不等式，即可。【详解】结合对数函数满足真数大于 0,可以得到 ,解得 x 的范围为【点睛】本道题考查了对数函数定义域计算方法，抓住真数大于 0，即可。2.已知向量 ， ，则向量 的坐标是_【答案】【解析】【分析】利用 ，代入点坐标，即可。【详解】【点睛】本道题考查了向量加减法运算，代入点坐标，即可。3.在二项式 的展开
2、式中， 项的系数为_ （结果用数值表示）【答案】10【解析】本题考查二项式展开式的通项.二项式 的展开式的通项为 ，令 得 则含的项的系数是 故选 B4.若直线 与 轴平行，则 a 的值是 _- 2 -【答案】【解析】【分析】该直线与 x 轴平行，说明 x 的系数为 0，y 的系数不为 0，建立方程，即可。【详解】该直线与 x 轴平行，说明 x 的系数为 0，y 的系数不为 0，建立方程 ，解得【点睛】本道题考查了直线方程，抓住 x 的系数为 0，y 的系数不为 0，即可。5.若 、 是一元二次方程 的两个根，则 _【答案】【解析】【分析】结合根与系数关系，得到 ，化简 ，代入，即可。【详解】
3、结合根与系数关系可得： ，而【点睛】本道题考查了一元二次方程根与系数关系，抓住 ，代入，属于较容易题。6.在数列 中， ，且 是公比为 的等比数列设 ，则_( )【答案】【解析】【分析】构造新数列 ，计算前 n 项和，计算极限，即可。【详解】构造新数列 ，该数列首项为 1，公比为 ，- 3 -则而 ，故【点睛】本道题考查了极限计算方法和等比数列前 n 项和，属于中等难度的题目。7.某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加 7%作为新一年的月工资收入假设某员工自2004 年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入
4、相同，2004 年的月工资收入为5000 元，则 2019 年一月该员工的月工资收入为_元 （结果保留两位小数）【答案】 元【解析】【分析】本道题实则为一个等比数列求某一项的题，建模，得知 ，计算 ，即可。【详解】 ，【点睛】本道题考查了等比数列计算某一项的内容，得出首项，公比，即可，属于较容易的题。8.已知 ，则 _【答案】【解析】【分析】本道题利用诱导公式和二倍角公式 ，即可。【详解】利用而【点睛】本道题考查了诱导公式和二倍角公式，属于中等难度的题。9.以两条直线 的交点为圆心，并且与直线 相切的圆的方程是_- 4 -【答案】【解析】【分析】本道题结合直线方程，计算圆心坐标，利用点到直线距
5、离公式计算半径，建立圆方程，即可。【详解】建立方程 ，计算出圆心坐标为 ，结合点到直线距离公式，得到 ，故圆方程为【点睛】本道题考查了点到直线距离公式以及圆方程计算问题,属于中等难度的题,结合直线方程,计算圆心,结合点到直线距离公式,计算半径,得到圆方程,即可.10.已知球的半径为 24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是_ cm 3 （结果保留圆周率 ）【答案】【解析】【分析】结合球的表面积等于圆锥的表面积，建立等式，计算半径 r，利用体积计算公式，即可。【详解】结合题意可知圆锥高 h=48,设圆锥 底面半径为 r，则圆锥表面积，计算得到,所
6、以圆锥的体积【点睛】本道题考查了立体几何表面积和体积计算公式，结合题意，建立等式，计算半径r，即可，属于中等难度的题。11.集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是_- 5 -【答案】【解析】【分析】本道题结合导函数，判断 y 的单调性，进而得到 y 的范围，利用 ，得到 A 为 B 的子集，构造二次函数，结合相关性质，建立不等式，得到 t 的范围，即可。【详解】对 A,该函数在 内单调递减，所以 y 的范围为 ，解得，结合，可知 ，故构造函数 ，该函数在 恒小于等于 0，所以满足 ，解得 。【点睛】本道题考查了导函数与原函数关系以及二次函数的性质，属于难题。12.若定义在实数集 R 上的奇函数
7、 的图像关于直线 对称，且当 时，则方程 在区间（ ）内的所有实根之和为_【答案】【解析】【分析】本道题通过奇函数和直线对称，绘制出函数图像，结合图像发现该八个交点关于 x=3 对称，即可得出答案。【详解】结合题意，大致可以绘出 的图像，如图所示：由图可知，一共有 8 个点，且这八个点关于 x=3 对称，故- 6 -【点睛】本道题考查了奇函数图像性质和关于直线对称等性质，结合图像，观察，分析，即可。二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13.电视台在电视剧开播前连续播放 6 个不同的广告，其中
8、 4 个商业广告 2 个公益广告，现要求 2 个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（ ）.A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先排 4 个商业广告,然后利用插空法,排 2 个公益广告,即可.【详解】先排 4 个商业广告,有 ,然后利用插空法,有 5 个空,插 2 个,有 ,所以共有 ,故选 A.【点睛】本道题考查了排列问题,分 2 步,然后相乘,即可,属于中等难度的题.14.已知椭圆的标准方程为 ，焦点在 轴上，则其焦距为（ ）.A. B. 2 C. D. 【答案】B【解析】【分析】本道题通过题意，计算出 c 值，然后利用焦距为 2c，计算结果，即可。【详解】因为该椭圆焦
9、点在 x 轴上，说明 ，则解得 ，故焦距为 ,故选 B。【点睛】本道题考查了椭圆性质，属于较容易题，注意焦点在 x 轴上，说明15.已知下列 4 个命题：若复数 的模相等，则 是共轭复数- 7 - 都是复数，若 是虚数，则 的共轭复数复数 是实数的充要条件是 （ 是 的共轭复数） 已知复数 （ 是虚数单位） ，它们对应的点分别为 A， B， C. O为坐标原点若 （ ） ，则 .则其中正确命题的个数为（ ）.A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个【答案】B【解析】【分析】本道题结合复数的概念和向量的加减法，代入，即可。【详解】1 号可能复数相等，故错误。2 号明显正确，因为如果
10、为共轭复数，则相加为实数，不会为虚数。4 号, ,计算得到 b=0,故正确。3 号，由题可知，建立等式,建立等式，得到 ，解得 ，故错误。故选 B。【点睛】本道题考查了复数的概念和向量坐标运算，代入，即可得出答案。16.设 都是小于 9 的正整数，且满足 ，则 的夹角大小为（ ）.A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本道题目利用 都为正整数，建立方程，排除，即可得到相应 的值，代入题目第二个方程，计算结果，即可。【详解】由 ，可得1. 2. 3. 4. 而需要满足 ，解上面四个方程，发现只有 4 号方程满足条件故- 8 -由 ，可得 ，代入得到 ，则 ，故选 C。【点睛】本道题考
11、查了向量数量积，结合题目，采取试误法，计算结果，即可，难度偏难。三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17.如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆 BC 的长度已知车厢的最大仰角为 60，油泵顶点 B 与车厢支点 A 之间的距离为 1.95 米， AB 与水平线之间的夹角为620， AC 的长为 1.40 米，计算 BC 的长（结果保留 3 个有效数字，单位:米） 【答案】 米【解析】【分析】结合题意，计算 的大小，利用余弦定理，即可得出答案。【详解】解：根据题意，在 ABC 中， ， BAC=66O20/，由余弦定理
12、，得 计算得： . . 答：顶杆 BC 约长 1.89 米【点睛】本道题考查了余弦定理，运用余弦定理，需要知道夹角和两条边，即可以计算出第三边，即可。18.如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， 平面 ， ， 、分别是 、 的中点（1）求证： 平面 ；（2）求异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） - 9 -【答案】 （1）详见解析；（2） .【解析】【分析】（1）分别证明 CD 垂直平面 PAE 的两条直线，结合直线与平面垂直判定，即可得出答案。（2）设 PA=a,用 a 分别表示 AF,FG,AG，结合余弦定理，计算结果，即可。【详解】解：（1）由题意， 是等边三角形，因为 是
13、的中点，所以 ， 又平面 ，所以 ，所以 平面 （2）取 中点 ，连结 ， ，则 ，所以， 为异面直线 与 所成角， 设 ，在 中， ， ， 所以， 所以，异面直线 与 所成角的大小为 【点睛】本道题考查了余弦定理和直线与平面垂直判定定理，难度中等。19.设 ， （1）求函数 的最大值 ；（2）对（1）中的 ，是否存在常数 （ ） ，使得当 时， 有意义，且的最大值是 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）设 ，运用换元思想，得到 解析式，结合二次函数性质，计算最值，即可。- 10 -（2）针对 ，在第一问基础上得到 M 的解析式，代入，发
14、现 M 这个函数当 时递减，当 时递增，故得到 ，建立等式，计算 b 值，即可。【详解】解： (1) 设 ，因为 ，所以 . .(2)当 时， ，该函数当 时递减，当 时递增。要使 有意义且取得最大值， 关于自变量 的单调性必是当 时增, 当时递减，所以根据题意得： ，于是 ，得 所以存在 ，使得当 时， 的最大值是【点睛】本道题考查了二次函数性质、换元思想、复合函数单调性以及对数方程计算，属于难题。20.设 ，椭圆 ： 与双曲线 ： 的焦点相同（1）求椭圆 与双曲线 的方程；（2）过双曲线 的右顶点作两条斜率分别为 ， 的直线 ， ，分别交双曲线 于点 ，（ ， 不同于右顶点） ，若 ，求证
15、：直线 的倾斜角为定值，并求出此定值；（3）设点 ，若对于直线 ，椭圆 上总存在不同的两点 与 关于直线 对称，且，求实数 的取值范围【答案】 （1）椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 ；（2）详见解析.（3）见解析。【解析】【分析】（1）利用椭圆和双曲线的性质，结合焦点相同，建立方程，计算 m 值，即可。 （2）设出直- 11 -线 方程，代入双曲线方程，建立等式，计算 P 的坐标，同理得到 Q 的坐标，结合 ，可以得到 ，发现直线 PQ 与 x 轴平行，故证之。 （3）结合题意，设出直线 AB 的方程，代入椭圆解析式中，建立方程，计算出 AB 的中点 M 坐标，而 M 又在直线 l 上，代
16、入，结合题目所提供的不等式，建立不等关系，即可得到 b 的范围。【详解】解：（1）由题意， ，所以 所以椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 （2）双曲线 的右顶点为 ，因为 ，不妨设 ，则 ，设直线 的方程为 ，由 ,得 ， 则 ,( )， .同理， ， ， 又 ，所以 ， .因为 ，所以直线 与 轴平行，即 为定值 ，倾斜角为 0 ，（3）设 ， ，直线 的方程为 ，由 整理得 ， ，故 ， ， 设 的中点为 ，则 ， ， 又 在直线 上，所以 ， 因为 ， ，- 12 -所以，所以 又 ， 。即 .【点睛】本道题考查了椭圆与双曲线的性质，直线与圆锥曲线位置关系，难度较大。21.将 个数 ，
17、 ， 的连乘积 记为 ，将 个数 ， ， 的和记为 （ ）（1）若数列 满足 ， ， ，设 ， ，求；（2）用 表示不超过 的最大整数，例如 ， ， 若数列 满足 ， ，求 的值；（3）设定义在正整数集 上的函数 满足：当 （ ）时，问是否存在正整数 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由（已知 ） 【答案】 （1） ；（2） ；（3）存在，且 .【解析】【分析】（1）结合题意，处理得到 ，可以采取逐项消元法，计算结果，即可。 （2）处理得到 ，求和，相互消去，即可。（3）结合题意，计算发现 ，故最后一项 必定出现在1+2+3+17=153 项之后，建立关于 n 的等式，发现存在正整数 n，即可。- 13 -【详解】解：（1）由 ，得 ,或且 ，所以 又 ，所以， 从而 =1. （2）由 ， ，因为 ，所以， ，所以， ，因为 ，所以 （3）若存在正整数 n，则由已知 得 ，且 ， 因此所求和的最后一项 必定出现在 1+2+3+17=153 项之后，且 ，共有 个 ，所以， ,所以， ，解得 所以存在正整数 n=166，使得 .【点睛】本道题考查了数列裂项相消法，难度偏大。- 14 -
