1、- 1 -上海市浦东新区 2017-2018 学年高一数学上学期期末质量测试试题（含解析）一、填空题（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题)1.函数 的定义域是_.【答案】【解析】【分析】根据偶次方根被开方数为非负数，列出不等式，解不等式求得函数的定义域.【详解】由于偶次方根被开方数为非负数，故 ，解得 ，故函数的定义域为.【点睛】本小题主要考查函数的定义域的求法.属于基础题.函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：一个是分数的分母不能为零，二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零. 对于含有多个以上情况的解析式，要求它们的交集来得到最终的结
2、果.2.不等式 的解集为_【答案】 （2,1）【解析】点睛：解分式不等式 的方法是：移项，通分化不等式为 ，再转化为整式不等式 ，然后利用二次不等式或高次不等式的结论求解3.已知指数函数 （ 且 ）的图像过点 ，则实数 _.【答案】【解析】【分析】将点的坐标代入指数函数，解方程求得 的值.【详解】将点 代入指数函数得 ， ，解得 （负根舍去）.- 2 -【点睛】本小题主要考查指数函数的解析式的求法，考查指数的运算，属于基础题.4.设集合 、 ，若 ，则实数 _.【答案】【解析】【分析】根据真子集的知识，分别令 和 ，解得 的值后利用集合元素的互异性来排除错误的值，由此得出实数 的值.【详解】由
3、于集合 是集合 的子集，令 时， 或 ，当 时集合 中有两个 ，不符合题意，故舍去.当 时， 符合题意.令 ，解得 ，根据上面的分析，不符合题意.综上所述，故实数 .【点睛】本小题主要考查真子集的概念，考查集合元素的互异性，属于基础题.5. 某班共 30 人，其中有 15 人喜爱篮球运动，有 10 人喜爱兵乓球运动，有 3 人对篮球和兵乓球两种运动都喜爱，则该班对篮球和乒乓球运动都不喜爱的人数有_.【答案】12【解析】试题分析：设两者都喜欢的人数为 x 人，则只喜爱篮球的有（15-x）人，只喜爱乒乓球的有（10-x）人，由此可得（15-x）+（10-x）+x+8=30，解得 x=3，所以 15
4、-x=12，即所求人数为 12 人，故答案为：12考点：交、并、补集的混合运算.6.已知 ， ，则 _.【答案】【解析】【分析】分别求得函数 和 的定义域，取它们的交集，然后将两个函数相乘，化简后求得相应的解析式.【详解】对于函数 ，由 解得 ；对于函数 ，同样由 解得 ；故函数的定义域为 ，且 .【点睛】本小题主要考查函数的定义域的求法，考查两个函数相乘后的解析式的求解方法.- 3 -属于基础题.7.已知二次函数 在区间 上是增函数，则实数 的范围是_.【答案】【解析】试题分析：由于二次函数 的单调递增区间为 ，则 得 .考点：二次函数的单调性.8.函数 的定义域为 R，则常数 的取值范围是
5、_。【答案】【解析】因为函数的定义域为 R，所以不等式 恒成立。当 时，不等式变为 10,显然恒成立，所以 符合题意；当 时， ，解得 。所以 。所以 的取值范围是 。【点睛】求函数的定义域，应使得函数解析式有意义。分母中根式的被开放式大于 0，转化成不等式恒成立，二次项系数为字母，讨论是否为零，不为零时，结合二次函数图像来解。注意三个二次之间的关系。9.函数 （ ）的值域是_.【答案】【解析】【分析】将函数化简后，利用函数的单调性求得函数的值域.【详解】函数 ，下面求函数 在 的单调性.设 ，其中 .当 时 ，故，函数递减.当 时， ，故 ，函数递增.所以函数- 4 -在 处取得最小值 .所
6、以函数的值域为 .【点睛】本小题主要考查函数的值域，考查利用定义法求函数的单调区间，属于基础题.用定义法求函数的单调区间的方法如下：首先在定义域内任取两个 ，且 ，然后计算的值，如果 ，则函数在这个区间上为减函数；如果 ，则函数在这个区间上为增函数.10.函数 ( )，若 ，则 的值为_.【答案】【解析】【分析】利用 列方程，并化简，然后化简 的表达式，进而计算出它的值.【详解】依题意 ，所以 ，而.【点睛】本小题主要考查求函数值的计算，考查运算求解能力，考查观察能力，属于基础题.11.已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则当 时_.【答案】【解析】【分析】当 时，利用 及 求得函数的解析式
7、.【详解】当 时， ，由于函数是奇函数，故.【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性以及 轴一侧的解析式，求另一侧的解析式，属于基础题.12.关于 x 的方程 在 上有两个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是_.- 5 -【答案】【解析】【分析】令 ，两原方程转化为一元二次方程，根据方程根的个数列不等式，从而求得实数 的取值范围.【详解】令 则原方程化为 ，这个方程在 的范围内有两个不同的实数根.故对称轴要大于 ，判别式要大于零，且将 代入方程的左边所得的值应为非负数，即解得 .【点睛】本小题主要考查指数函数二次函数结合一起的复合函数对应方程的根的分布问题，属于中档题.二、选择题（本大题满分
8、12 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A、B、C、D13.下列四组函数中，表示为同一函数的是（ ）A. B. 与C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域、对应法则和值域，对四个选项逐一进行判断，从而得出正确选项.【详解】对于 选项，由于 ，故为相同的函数.对于 选项， 的定义域为 ，的定义域为 ，故两个函数不相等.对于 选项， 的定义域为 ， 的定义域为 ，故两个函数不相等.对于 选项，由 求得 的定义域为 ，由求得 的定义域为 ，故两个函数不相等.综上所述，选 A.【点睛】本小题主要考查两个函数相等的概念，两个函数相等，必须定义域、值域和对应法则都相等.14.“ ”是
9、“ ”的（ ）- 6 -A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】【分析】先求得 的解集，再根据充分必要条件的概念来得出正确选项.【详解】由 ，得 ，解得 . 包含 ，故应选必要不充分条件.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查充要条件的判断，属于基础题.充要条件的判断方法是将两个条件进行互推，然后根据能否推出来得出结论.另一种方法是根据两者之间的包含关系来得出：大范围是小范围的必要不充分条件，小范围是大范围的充分不必要条件.15.下列函数在其定义域上，既是奇函数又是减函数的是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【
10、解析】【分析】先利用函数为奇函数对选项进行第一轮排除，再利用函数在定义域上为减函数进行排除，由此得出正确选项.【详解】对于 A 选项，由于函数的定义域为 ，所以函数是非奇非偶函数，排除.对于B 选项，函数不是在定义域上递减，而是在定义域的每个区间上递减，排除.对于 D 选项，函数 为递增函数，排除.C 选项即是定义域上的奇函数，又是减函数，符合题意，故选 C.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性.属于基础题.奇偶函数的定义域必须关于原点对称.16.函数 的零点个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数- 7 -【答案】C【解析】试题分析：原题等价于“函数 与函数 的图像
11、交点个数为”在同一坐标系中作出两函数图像可知选 C.考点：函数的零点.三、解答题（本大题满分 52 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17.解不等式组【答案】 .【解析】试题分析：本题是一到解不等式组的基础题，先求一元二次不等式的解 ，再求绝对值不等式的解 ，再求它们的交集.试题解析：解不等式 得 4 分解不等式 得 7 分所以不等式的解为 8 分.考点：不等式得解法.18.已知全集 ，设集合 ，集合 ，若 ，求实数 a 的取值范围.【答案】 .【解析】试题分析：先解方程 ，的 x=a,-4 将 a,与-4 比较进行讨论，再利用 得 进行求解.试题解析：因为 ，又因为 当
12、 时 满足 ，此时 当 时 若 ，则 当 时 ，满足 ，此时 综合以上得：实数 的取值范围,所以 .考点：1.一元二次不等式的解法；2.集合的运算.- 8 -19.已知幂函数 （ ）在 是单调减函数，且为偶函数.（1）求 的解析式； （2）讨论 的奇偶性，并说明理由.【答案】 （1） ；（2）答案见解析。【解析】【分析】（1）根据幂函数的性质，幂函数在（0，+）是单调减函数，且为偶函数，得幂指数小于0，再由 mz 可求 m 的值；（2）由（I）知 F（x）=a +（a2）x，分 a=0，a=2，a0 且 a2 三种情况利用定义分别判断函数的奇偶性【详解】(1)由于幂函数 f(x) x 在(0，
13、)上单调递减，所以 m22 m30，求得1 m3，因为 mZ，所以 m0,1,2.因为 f(x)是偶函数，所以 m1，故 f(x) .(2)F(x) af(x)( a2) x5f(x) a ( a2) x.当 a0 时， F(x)2 x，对于任意的 x(，0)(0，)都有 F(x) F( x)，所以 F(x)2 x 是奇函数；当 a2 时， ，对于任意的 x(，0)(0，)都有 F(x) F( x)，所以 是偶函数；当 a0 且 a2 时， F(1)2 a2， F(1)2，因为 F(1) F(1)， F(1) F(1)，所以 是非奇非偶函数- 9 -【点睛】本题考查了幂函数的性质，考查了函数奇
14、偶性的判定，数列掌握幂函数的性质是解题的关键20.心理学家通过研究学生的学习行为发现；学生的接受能力与老师引入概念和描述问题所用的时间相关，教学开始时，学生的兴趣激增，学生的兴趣保持一段较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用 表示学生掌握和接受概念的能力, x 表示讲授概念的时间(单位:min)，可有以下的关系: （1）开讲后第 5min 与开讲后第 20min 比较,学生的接受能力何时更强一些? （2）开讲后多少 min 学生的接受能力最强?能维持多少时间?（3）若一个新数学概念需要 55 以上（包括 55）的接受能力以及 13min 时间,那么老师能否在学生一直达到
15、所需接受能力的状态下讲授完这个概念?【答案】 （1）开讲后第 5min 比开讲后第 20min，学生接受能力强一些.；（2）6min; （3）详见解析.【解析】试题分析：第一步已知自变量值求函数值，比较后给出答案；第二步是二次函数求最值问题；第三步试题解析：（1） ， ，则 开讲后第 5min 比开讲后第20min，学生的接受能力更强一些. （2）当 时， ， 当 时，开讲后 10min（包括 10 分钟）学生的接受能力最强，能维持 6 min.（3）由当 时， ，得 ；当 时， ，得持续时间答：老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个概念.考点：1.求函数值；2.配方法求二次函数
16、的最值；3.分段函数解不等式.- 10 -21.已知 ,函数 .（1）当 时，画出函数 的大致图像；（2）当 时，根据图像写出函数 的单调减区间，并用定义证明你的结论；（3）试讨论关于 x 的方程 解的个数.【答案】详见解析【解析】【分析】（1）当 时，将函数化为 ，由此画出函数的图像.（2）根据（1）的图像写出函数的单调减区间，利用单调性的定义，通过计算 ，证得函数单调性.（3） ，由于 ，故函数 图像与（1）中的图像类似.将方程 解的个数问题转化为 与 图像的交点个数来解.将 分成五种情况，讨论两个函数交点的个数.【详解】 （1）如图所示 （2） 单调递减区间： - 11 -证明：设任意的 因为 ，所以于是 ，即所以函数 在 上是单调递减函数 (3) 由题意知方程 的解得个数等价于函数 的图像与直线 的交点个数.即函数 的图象与直线 的交点个数又 ，注意到 ，当且仅当 时，上式等号成立，借助图像知 所以，当 时，函数 的图像与直线 有 1 个交点； 当 ， 时，函数 的图像与直线 有 2 个交点； 当 ， 时，函数 的图像与直线 有 3 个交点；【点睛】本小题主要考查含有绝对值函数的图像与性质，考查函数的零点问题的解决策略，属于中档题.- 12 -
