1、- 1 -2017-2018 学年上海市嘉定区高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）1. 是 的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】由 ，得 ，而 得 ，所以 是 的必要非充分条件. 故选 B2.设 M 和 m 分别表示函数 的最大值和最小值，则 M+m 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数 的最大值 和最小值 ， M+m 的值为3.若等差数列 和等比数列 满足 ， ， A. B. C. 1 D. 4【答案】C【解析】【分析】等差数列 的公差设为 d 和等比数列 的公
2、比设为 q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得 d， q，计算可得所求值【详解】等差数列 的公差设为 d 和等比数列 的公比设为 q，由 ， ，可得 ，可得 ， ，- 2 -则 ，故选： C【点睛】本题考查等差数列、等比数列的通项公式和运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题4.方程 有两个负实数解，则 的取值范囤为 A. B. C. D. 前三个都不正确【答案】B【解析】【分析】化简 可得 或 ，从而讨论以确定方程的根的个数，从而解得【详解】 ，或 ，若 ，则 ，其在 上单调递减，所以 ,故当 时，无解，当 时，有一个解，当 时，无解；若 ，则 ，时， ，当 时，有两个不同解；当
3、时，有一个解；综上所述， b 的取值范围为 ，故选： B【点睛】函数的性质问题以及函数零点（方程）问题是高考的高频考点，考生需要对初高中- 3 -阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数 的零点 函数 在 轴的交点 方程的根 函数 与 的交点.二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）5.计算： _【答案】【解析】【分析】根据反正弦函数的定义，直接写出 的值【详解】 ，故答案为： 【点睛】本题考查了反正弦函数的应用问题，是基础题6.若数列 满足 ， ， ，则该数列的通项公式 _【答案】【解析】【分析】判断数列是等比数列，然
4、后求出通项公式【详解】数列 中， ， ，可得数列是等比数列，等比为 3，故答案为： 【点睛】本题考查等比数列的判断以及通项公式的求法，考查计算能力7.函数 的最小正周期是_【答案】【解析】- 4 -【分析】由二倍角的余弦函数公式化简解析式可得 ，根据三角函数的周期性及其求法即可得解【详解】 由周期公式可得： 故答案为：【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查8.方程 的解为_【答案】 或【解析】【分析】由指数函数的性质得 ，由此能求出结果【详解】 方程 ，或 ，解得 或 故答案为： 或 【点睛】本题考查指数方程的解的求法，是基础题，解
5、题时要认真审题，注意指数函数的性质的合理运用9.已知角 的终边经过点 ,则 的值为_【答案】【解析】角 的终边经过点 ,则 .答案为： .- 5 -10.方程 的解集是_【答案】【解析】【分析】把 ，等价转化为 ，由此能求出 x 即可【详解】方程 ，可得 ，或 （舍）， 故答案为： 【点睛】本题考查三角方程的求法，注意余弦函数的值域，考查转化思想以及计算能力11.若函数 与函数 的最小正周期相同，则实数_【答案】【解析】【分析】求出两个函数的周期，利用周期相等，推出 a 的值【详解】：函数 的周期是 ；函数 的最小正周期是： ；因为周期相同，所以 ，解得故答案为：【点睛】本题是基础题，考查三角
6、函数的周期的求法，考查计算能力12.在平行四边形 中，已知 ， ， ，则该平行四边形的面积等于_【答案】【解析】【分析】- 6 -由已知利用余弦定理可求 BC 的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解【详解】， ， ，在三角形 ABC 中用余弦定理： ，可得： ，解得： ，面积 故答案为： 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于基础题13.已知数列 的前 项和 ，则该等差数列的通项公式 _【答案】【解析】【分析】由 时， 时， 即可得解.【详解】 ， 时， 时， ，对于上式也成立故答案为： 【点睛】给出 与 的递推关系求 ，常
7、用思路是：一是利用 转化为 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 的递推关系，先求出 与 之间的关系，再求 . 应用关系式 时，一定要注意分 两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.14.已知等差数列 ，对于函数 满足： ， ， 是该- 7 -等差数列的前 项和，则 _【答案】6054【解析】【分析】由函数的解析式，利用函数奇偶性及单调性的性质，易判断函数的定义在 R 上的增函数、奇函数，则根据 ， ，我们易求出 的值，然后结合等差数列的性质“当 时， ”，及等差数列前 n 项和公式，易得到答案【详解】由函数 为奇函数且在 R 上单调递增， ，即 ，又 为等差数列，故答案为：6
8、054【点睛】本题考查的知识点是等差数列的性质，等差数列的前 n 项和，其中利用等差数列的性质“当 时， ”，是解答本题的关键15.函数 的值域是_【答案】【解析】【分析】由 ，得 ，令 ，把原函数转化为关于 的三角函数求解【详解】：由 ，得 令 ，则函数 化为 ，则- 8 -故答案为：【点睛】本题考查利用换元法求函数的值域，考查三角函数最值的求法，是中档题，求函数值域的基本方法：观察法；利用常见函数的值域，一次函数的值域为 ，反比例函数的值域为 ，指数函数的值域为 ，对数函数的值域为 ，正、余弦函数的值域为，正切函数的值域为 ；分离常数法；换元法；配方法；数形结合法；单调性法；基本不等式法；
9、判别式法；有界性法，充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域 16.将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，若对满足的 、 ，有 的最小值为 ，则 _【答案】 或【解析】【分析】先求解 的解析式，根据 可知一个取得最大值一个是最小值，不妨设 取得最大值， 取得最小值，结合三角函数的性质 的最小值为 ，即可求解 的值；【详解】由函数 的图象向右平移 ，可得 不妨设 取得最大值， 取得最小值， ， 可得的最小值为 ，即 得 或故答案为： 或 【点睛】本题主要考查由函数 的解析式，函数 的图象变换规律，属于中档题三、解答题（本大题共 5 小题，共 52.0 分）17.已知等差数列
10、 的首项为 1，公差不为 若 ， ， 成等比数列，求数列 的通项公- 9 -式及其前 项的和【答案】见解析.【解析】【分析】利用等差数列通项公式和等比数列性质列方程组，求出公差 ，由此能求出数列 的通项公式和前 n 项的和【详解】 等差数列 的首项为 1，公差不为 ， ， 成等比数列，解得 ，数列 的通项公式 ，前 n 项的和 【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题18.已知 .若 ，且 ，求 的值；求函数 的最小值.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】根据两角和差的余弦公式进
11、行计算即可利用一元二次函数的性质利用配方法进行转化求解即可【详解】 若 ，且 ，则 ，则 ，则 函数 ，- 10 -，当 时，函数取得最小值，最小值为 【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，利用两角和差的余弦公式以及转化一元二次函数求最值是解决本题的关键19.已知函数 ，其中 若函数 在区间 内有一个零点，求 的取值范围；若函数 在区间 上的最大值与最小值之差为 2，且 ，求 的取值范围【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】根据对数函数的性质求出 ，由 x 的范围，求出 m 的范围即可；根据函数的单调性求出 最大， 最小，作差求出 ，得到关于 m 的不等式，解出即可【详解】 由 ，得
12、，由 得： ，故 m 的范围是 ；在 递增，由 ，得 ，解得： 【点睛】本题考查了对数函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查转化思想，是一道中档题20.如图，某广场中间有一块扇形绿地 ，其中 为扇形 所在圆的圆心，半径为 ，- 11 -广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在弧 上选一点 ，过 修建与 平行的小路 ，与 平行的小路 ，设 当 时，求 ； 当 取何值时，才能使得修建的道路 与 的总长 最大？并求出 的最大值【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】由正弦定理得 ，由此能求出 CD由正弦定理得 ， ，从而， ，由此能求出结果【详解】（1）某广场中间有一块扇形绿地 OAB，其
13、中 O 为扇形 OAB 所在圆的圆心，半径为 r， 广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在弧 上选一点 C，过 C 修建与 OB 平行的小路 CD，与 OA 平行的小路 CE，设 ，当 时，- 12 -由正弦定理得： ，在 中，由正弦定理得： ， ，同理， ， ， ，当 时，即 时， 【点睛】本题考查三角形边长的求法，两线段和的最大值的求法，考查正弦定理、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题21.若函数 满足 且 ，则称函数 为“ 函数” 试判断 是否为“ 函数” ，并说明理由；函数 为“ 函数” ，且当 时， ，求 的解析式，并写出在 上的单调递增区间；在
14、条件下，当 时，关于 的方程 为常数 有解，记该方程所有解的和为 ，求 【答案】 （1）不是“ M 函数” ；（2） ， ；（3）- 13 -.【解析】【分析】由不满足 ，得 不是“ M 函数” ，可得函数 的周期 ， ，当 时，当 时，在 上的单调递增区间： ，由 可得函数 在 上的图象，根据图象可得：当 或 1 时， 为常数 有 2 个解，其和为当 时， 为常数 有 3 个解，其和为 当 时， 为常数 有 4 个解，其和为即可得当 时，记关于 x 的方程 为常数 所有解的和为 ，【详解】 不是“ M 函数” ，不是 “M 函数” 函数 满足 ， 函数 的周期， ，当 时，- 14 -当 时，在 上的单调递增区间： ， ；由 可得函数 在 上的图象为：当 或 1 时， 为常数 有 2 个解，其和为 .当 时， 为常数 有 3 个解，其和为 当 时， 为常数 有 4 个解，其和为当 时，记关于 x 的方程 为常数 所有解的和为 ，则 【点睛】本题考查了三角函数的图象、性质，考查了三角恒等变形，及三角函数型方程问题，属于难题- 15 -
