1、1模块综合检测(时间 120 分钟，满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1命题“ xR,2 x31”的否定是( )A xR,2 x 31 B xR,2 x31C xR,2 x31 D xR,2 x31答案：C2已知椭圆 E： 1 的两个焦点分别为 F1， F2， M 是平面内任一点则x24 y23“|MF1| MF2|4”是“点 M 在椭圆 E 上”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：由题意知，椭圆的长轴长 2a4，根据椭圆的定义知，C 选项正确
2、答案：C3双曲线的渐近线为 y x，且过点 M(2， )，则双曲线的方程为( )22 3A x2 1 B. y21y22 x22C. x21 D y2 1y22 x22解析：依题意可设双曲线方程为 y2 ( 0)，将 M(2， )代入双曲线方程，x22 3得 1.故所求双曲线方程为 y2 1.x22答案：D4已知命题 p：若 xy，则 xy，则 x2y2.在命题 p q； p q； p(綈 q)；(綈 p) q 中，真命题是( )A BC D解析：由不等式的性质可知，命题 p 是真命题，命题 q 为假命题，故 p q 为假命题， p q 为真命题，綈 q 为真命题，则 p(綈 q)为真命题，綈
3、 p 为假命题，则(綈 p) q 为假命题，所以选 C.答案：C5已知空间向量 a(1， n,2)， b(2,1,2)，若 2a b 与 b 垂直，则| a|等于( )2A. B.5 32 212C. D.372 3 52解析：由已知可得 2a b(2,2 n,4)(2,1,2)(4，2 n1,2)又(2 a b) b，82 n140.2 n5， n .| a| .52 1 4 254 3 52答案：D6一动圆 P 与圆 O： x2 y21 外切，而与圆 C： x2 y26 x80 内切，那么动圆的圆心 P 的轨迹是( )A双曲线的一支 B椭圆C抛物线 D圆解析：圆 C 的方程即( x3) 2
4、 y21，圆 C 与圆 O 相离，设动圆 P 的半径为 R.圆 P 与圆 O 外切而与圆 C 内切， R1，且| PO| R1，| PC| R1，又| OC|3，| PO| PC|20， b0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与x2a2 y2b2双曲线交于点 P ，求抛物线的方程和双曲线的方程(32， 6)解：依题意，设抛物线的方程为 y22 px(p0)，点 P 在抛物线上，6 2 p . p2，(32， 6) 32所求抛物线的方程为 y24 x.双曲线的左焦点在抛物线的准线 x1 上， c1，即 a2 b21，又点 P 在双曲线上， 1，(32， 6) 94a2
5、6b2解方程组Error!得Error! 或Error!(舍去)所求双曲线的方程为 4x2 y21.4318(本小题满分 12 分)已知条件 p： A x|2a x a21，条件q： B x|x23( a1) x2(3 a1)0，若条件綈 q 是条件綈 p 的充分条件，求实数 a 的取值范围解：当 a 时，集合 B 可化为 B2,3 a1，13由题意知 p 是 q 的充分条件，要满足上述条件，需有Error! 解得 1 a3.当 a 时，显然不满足题意13当 a 时，集合 B 可化为 B3 a1,2，137要满足 p 是 q 的充分条件，需有Error! 解得 a1.综上，实数 a 的取值范围
6、是1,3119(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中， PD底面ABCD，底面 ABCD 为正方形， PD DC， E， F 分别是 AB， PB 的中点(1)求证： EF CD；(2)求 DB 与平面 DEF 所成角的正弦值解：(1)证明：以 D 为坐标原点， DA， DC， DP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系如图设 AD a，则 D(0,0,0)， A(a,0,0)， B(a， a,0)， C(0， a,0)，E ， P(0,0， a)， F .(a，a2， 0) (a2， a2， a2) (0， a,0)0.EF DC ( a2， 0， a
7、2) ， EF CD.EF DC (2)设平面 DEF 的法向量为 n( x， y， z)，则 即Error!即Error!取 x1，则 y2， z1， n(1，2,1)，cos ， n .BD a2a6 36故 DB 与平面 DEF 所成角的正弦值为 .3620(本小题满分 12 分)已知抛物线： y24 x 的焦点为 F，直线 l 过点 M(4,0)(1)若点 F 到直线 l 的距离为 ，求直线 l 的斜率；3(2)设 A， B 为抛物线上两点，且 AB 不与 x 轴垂直，若线段 AB 的垂直平分线恰过点M，求证：线段 AB 中点的横坐标为定值解：(1)由已知，直线 l 的方程为 x4 时
8、不合题意设直线 l 的方程为 y k(x4)，由已知，抛物线的焦点坐标为(1,0)，因为点 F 到直线 l 的距离为 ，所以 ，3|3k|1 k2 3解得 k ，所以直线 l 的斜率为 .22 22(2)证明：设线段 AB 的中点坐标为 N(x0， y0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)，因为 AB 不垂直于 x 轴，8则直线 MN 的斜率为 ，y0x0 4直线 AB 的斜率为 ，4 x0y0直线 AB 的方程为 y y0 (x x0)，4 x0y0联立方程Error!消去 x 得 y2 y0y y x0(x04)0，(1x04) 20所以 y1 y2 ，4y04 x0因为 N 为
9、 AB 的中点，所以 y0，y1 y22即 y0，2y04 x0所以 x02，即线段 AB 中点的横坐标为定值 2.21(本小题满分 12 分)如图，在直角梯形 ABCD 中，AD BC， BAD ， AB BC1， AD2， E 是 AD 的中点， O 是 AC 与 BE 的交点将 ABE 2沿 BE 折起到 A1BE 的位置，如图.(1)证明： CD平面 A1OC；(2)若平面 A1BE平面 BCDE，求平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值解：(1)证明：在题图中，因为 AB BC1， AD2，E 是 AD 的中点， BAD ，所以 BE AC. 2即在题图中， BE OA1，
10、BE OC，从而 BE平面 A1OC.又 CD BE, 所以 CD平面 A1OC.(2)由已知，平面 A1BE平面 BCDE，又由(1)知， BE OA1， BE OC，所以 A1OC 为二面角 A1BEC 的平面角，9所以 A1OC . 2如图，以 O 为原点， ， ， 为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向建立空间直角坐标系，OB OC OA1 因为 A1B A1E BC ED1，BC ED，所以 B ， E ，(22， 0， 0) ( 22， 0， 0)A1 ， C ，(0， 0，22) (0， 22， 0)得 ， ，BC ( 22， 22， 0) A1C (0， 22， 22) ( ，0
11、,0)CD BE 2设平面 A1BC 的法向量 n1( x1， y1， z1)，平面 A1CD 的法向量 n2( x2， y2， z2)，平面A1BC 与平面 A1CD 的夹角为 ，则 得Error!取 n1(1,1,1)；得Error! 取 n2(0,1,1)，从而 cos |cos n1， n2| ，232 63即平面 A1BC 与平面 A1CD 夹角的余弦值为 .6322(本小题满分 12 分)已知定点 C(1,0)及椭圆 x23 y25，过点 C 的动直线与椭圆相交于 A， B 两点(1)若线段 AB 中点的横坐标是 ，求直线 AB 的方程；12(2)在 x 轴上是否存在点 M，使 为
12、常数？若存在，求出点 M 的坐标；若不存MA MB 在，请说明理由解：(1)依题意，直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y k(x1)，将 y k(x1)代入椭圆方程 x23 y25，消去 y 整理得(3 k21) x26 k2x3 k250.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error!由线段 AB 中点的横坐标是 ，1210得 ，x1 x22 3k23k2 1 12解得 k ，适合.33所以直线 AB 的方程为 x y10 或 x y10.3 3(2)假设在 x 轴上存在点 M(m,0)，使 为常数MA MB 当直线 AB 与 x 轴不垂直时，由(1)知 x1 x
13、2 ， x1x2 .6k23k2 1 3k2 53k2 1所以 ( x1 m)(x2 m) y1y2MA MB ( x1 m)(x2 m) k2(x11)( x21)( k21) x1x2( k2 m)(x1 x2) k2 m2.将代入，整理得 m2MA MB 6m 1 k2 53k2 1 m2(2m 13) 3k2 1 2m 1433k2 1 m22 m .13 6m 143 3k2 1注意到 是与 k 无关的常数，MA MB 从而有 6m140， m ，此时 .73 MA MB 49当直线 AB 与 x 轴垂直时，此时点 A， B 的坐标分别为 ， ，( 1，233) ( 1， 233)当 m 时，亦有 .73 MA MB 49综上，在 x 轴上存在定点 M ，使 为常数(73， 0) MA MB 11
