1、1阶段质量检测(三)(时间：90 分钟，总分 120分)一、选择题(本大题共 10小题，每小题 5分，满分 50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设 a， bR 且 a b16，则 的最小值是( )1a 1bA. B.14 18C. D.116 12解析：选 A ( a b) 24， .(1a 1b) (a1a b1b) 1a 1b 14当且仅当 ，a1b b 1a即 a b8 时取等号2已知 x3 y5 z6，则 x2 y2 z2的最小值为( )A. B.65 635C. D63635解析：选 C 由柯西不等式，得 x2 y2 z2(1 23 25 2)(x2 y2 z
2、2) 112 32 52(x3 y5 z)2 6 2 ，当且仅当 x 时等号成立135 135 3635 y3 z53已知 a， b， c为正数且 a b c3 ，则 的最小值为2 a2 b2 b2 c2 c2 a2( )A4 B4 2C6 D6 2解析：选 C a， b， c为正数 a b.2 a2 b2 1 1 a2 b2同理 b c， c a，2 b2 c2 2 c2 a2相加得 ( )2( b c a)6 ，2 a2 b2 b2 c2 c2 a2 2即 6，当且仅当 a b c 时取等号a2 b2 b2 c2 c2 a2 24设 a， b， c均大于 0， a2 b2 c23，则 ab
3、 bc ca的最大值为( )A0 B1C3 D.3332解析：选 C 设 a b c0，由排序不等式得 a2 b2 c2 ab bc ac，所以 ab bc ca3，故选 C.5已知 a， b， c为正数，则( a b c) 的最小值为( )(1a b 1c)A1 B. 3C3 D4解析：选 D ( a b c)(1a b 1c)( )2( )2a b c 1a b2 (1c)2 22 24.(a b1a b c1c)当且仅当 a b c时取等号6已知( x1) 2( y2) 24，则 3x4 y的最大值为( )A21 B11C18 D28解析：选 A 根据柯西不等式得(x1) 2( y2)
4、2324 23( x1)4( y2) 2(3 x4 y11) 2，(3 x4 y11) 2100.可得 3x4 y21，当且仅当 时取等号x 13 y 24 257设 a， b， c为正数， a b4 c1，则 2 的最大值是( )a b cA. B.5 3C2 D.332解析：选 B 1 a b4 c( )2( )2(2 )2a b c ( )2( )2(2 )2(121 21 2)13 a b c( 2 )2 ，a b c13( 2 )23，当且仅当 a b4 c时等式成立，a b c故 2 的最大值为 .a b c 38函数 f(x) cos x，则 f(x)的最大值是( )1 cos
5、2xA. B.3 2C1 D23解析：选 A 因为 f(x) cos x，1 cos 2x所以 f(x) cos x2 sin2x 2 1 sin2x cos2x ，当且仅当 cos x 时取等号3339若 5x16 x27 x34 x41，则 3x 2 x 5 x x 的最小值是( )21 2 23 24A. B.78215 15782C3 D.253解析：选 B 3x 2 x 5( x3)2 x (5 x16 x27 x34 x4)(253 18 495 16) 21 2 2421，即 3x 2 x 5 x x .21 2 23 241578210已知 a， b， cR ，则 a2(a2
6、bc) b2(b2 ac) c2(c2 ab)的正负情况是( )A大于零 B大于等于零C小于零 D小于等于零解析：选 B 设 a b c0，所以 a3 b3 c3，根据排序不等式，得 a3a b3b c3c a3b b3c c3a.又 ab ac bc， a2 b2 c2，所以 a3b b3c c3a a2bc b2ca c2ab.所以 a4 b4 c4 a2bc b2ca c2ab，即 a2(a2 bc) b2(b2 ac) c2(c2 ab)0.二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分把正确答案填写在题中横线上)11设 a， b， c是正实数，且 a b c9，则 的最小值为
7、_2a 2b 2c解析：( a b c) ( )2( )2( )2 (2a 2b 2c) a b c (2a)2 (2b)2 (2c)2218，(a2a b2b c2c) 2，当且仅当 a b c3 时等号成立2a 2b 2c4 的最小值为 2.2a 2b 2c答案：212已知 A， B， C是三角形三个内角的弧度数，则 的最小值是_1A 1B 1C解析：( A B C) (111) 29，而 A B C，(1A 1B 1C)故 ，当且仅当 A B C 时，等号成立1A 1B 1C 9 3答案：913设有两组实数： a1， a2， a3， an与 b1， b2， b3， bn，且它们满足：a1
8、 a2 a3 an， b1 b2 b3 bn，若 c1， c2， c3， cn是 b1， b2， b3， bn的任意一个排列，则 a1b1 a2b2 anbn a1c1 a2c2 ancn a1bn a2bn1 anb1，反序和与顺序和相等的条件是_解析：反序和与顺序和相等，则两组数至少有一组相等答案： a1 a2 an或 b1 b2 bn14设 a， b， c为正数，且 a2 b3 c13，求 的最大值为_3a 2b c解析：( a2 b3 c) 2( 3 2 12 (13)2 (a3 2b1 3c13) 3a )2，2b c( )2 .3a 2b c1323 .3a 2b c1333当且仅
9、当 时取等号a3 2b1 3c13又 a2 b3 c13， a9， b ， c 时，32 13 有最大值 .3a 2b c1333答案：1333三、解答题(本大题共 4小题，共 50分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 12分)已知实数 a， b， c， d满足5a b c d3， a22 b23 c26 d25，求实数 a的取值范围解：由柯西不等式，得：(2 b23 c26 d2) ( b c d)2，(12 13 16)即 2b23 c26 b2( b c d)2.由条件可得 5 a2(3 a)2，解得 1 a2.所以实数 a的取值范围为1,216(本小题满分
10、 12分)求函数 y 的最大值1 sin x 4sin x 1解：由 1sin x0,4sin x10，得 sin x1，14则 y2 2(1 sin x 2sin x 14)(14) (1 sin x sin x14) ，即 y ，154 152当且仅当 4(1sin x)sin x ，即 sin x 时等号成立，14 1720所以函数 y 的最大值为 .1 sin x 4sin x 115217(本小题满分 12分)设 a1， a2， an是 1,2， n的一个排列，求证： .12 23 n 1n a1a2 a2a3 an 1an证明：设 b1， b2， bn1 是 a1， a2， an1
11、 的一个排列，且 b1 且 b11， b22， bn1 n1， c12， c23， cn1 n.1c11c2 1cn 1利用排序不等式，有 .a1a2 a2a3 an 1an b1c1 b2c2 bn 1cn 1 12 23 n 1n原不等式成立18(本小题满分 14分)已知函数 f(x)| x2|3.(1)若 f(x)0，求 x的取值范围；(2)在(1)的条件下，求 g(x)3 4 的最大值x 4 |x 6|解：(1)因为 f(x)0|x2|33 x231 x5，所以 x的取值范围是(1,5)(2)由(1)知 g(x)3 4 .x 4 6 x6由柯西不等式得(324 2)( )2( )2x 4 6 x(3 4 )2，x 4 6 x所以 g(x) 5 ，当且仅当 ，即 x 时， g(x)取得最大值 5250 10x 43 6 x4 25.10
