1、1课时跟踪训练(十三) 抛物线的几何性质1抛物线 y28 x 的焦点到准线的距离是_2抛物线 y22 x 上的两点 A， B 到焦点的距离之和是 5，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离是_3过点(0,1)且与抛物线 y24 x 只有一个公共点的直线有_条4已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直， l 与 C 交于 A， B 两点，|AB|12， P 为 C 的准线上一点，则 ABP 的面积为_5已知点 A(2,0)，抛物线 C： x24 y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，则 FM MN_.6已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x
2、轴的正半轴上，抛物线上的点 M(3， m)到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值7已知顶点在原点，焦点在 y 轴上的抛物线被直线 x2 y10 截得的弦长为 ，15求此抛物线方程8已知抛物线 y22 x.(1)设点 A 的坐标为 ，求抛物线上距离点 A 最近的点 P 的坐标及相应的距离(23， 0)|PA|；(2)在抛物线上求一点 P，使 P 到直线 x y30 的距离最短，并求出距离的最小值2答 案1解析：这里 p4，焦点(2,0)，准线 x2，焦点到准线的距离是 4.答案：42解析：抛物线 y22 x 的焦点为 F ，准线方程为 x ，设 A(x1， y1)，(12， 0) 12
3、B(x2， y2)，则 AF BF x1 x2 5，解得 x1 x24，故线段 AB 的中点横坐标为 2.12 12故线段 AB 的中点到 y 轴的距离是 2.答案：23解析：过点(0,1)，斜率不存在的直线为 x0，满足与抛物线 y24 x 只有一个公共点当斜率存在时，设直线方程为 y kx1，再与 y24 x 联立整理得 k2x2(2 k4)x10，当 k0 时，方程是一次方程，有一个解，满足一个交点；当 k0 时，由 0可得 k 值有一个，即有一个公共点，所以满足题意的直线有 3 条答案：34解析：设抛物线方程为 y22 px，则焦点坐标为( ，0)，将 x 代入 y22 px 可得p2
4、 p2y2 p2，| AB|12，即 2p12，故 p6.点 P 在准线上，到 AB 的距离为 p6，所以 PAB的面积为 61236.12答案：365解析：如图所示，过点 M 作 MM垂直于准线 y1 于点M，则由抛物线的定义知 MM FM，所以 ，由于 MM N FOA，则FMMN MMMN ，则 MM MN1 ，即 FM MN1 .MMM N OFOA 12 5 5答案：1 56解：法一：设抛物线方程为 y22 px(p0)，则焦点 F( ，0)，由题设可得Error!p2解得Error! 或Error!故所求的抛物线方程为 y28 x， m 的值为2 .6法二：设抛物线方程为 y22
5、px(p0)，焦点 F( ，0)，准线方程 x ，根据抛物p2 p23线定义，点 M 到焦点的距离等于 M 到准线方程的距离，则 3 5， p4.p2因此抛物线方程为 y28 x.又点 M(3， m)在抛物线上，于是 m224， m2 .67解：设抛物线方程为： x2 ay(a0)，由方程组Error!消去 y 得：2 x2 ax a0，直线与抛物线有两个交点， ( a)242 a0，即 a8.设两交点坐标为 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，a2 a2弦长为| AB| 54 x1 x2 2 54 x1 x2 2 4x1x2 .14 5 a2 8a| A
6、B| ， ，1514 5 a2 8a 15即 a28 a480，解得 a4 或 a12，所求抛物线方程为： x24 y 或 x212 y.8解：(1)设抛物线上任一点 P 的坐标为( x， y)，则| PA|2 2 y2 22 x(x23) (x 23) 2 .(x13) 13 x0，且在此区间上函数单调递增，故当 x0 时，|PA|min ，故距点 A 最近的点的坐标为(0,0)23(2)法一：设点 P(x0， y0)是 y22 x 上任一点，则 P 到直线 x y30 的距离为d .|x0 y0 3|2 |y202 y0 3|2 | y0 1 2 5|22当 y01 时， dmin .522 5244点 P 的坐标为 .(12， 1)法二：设与直线 x y30 平行的抛物线的切线为 x y t0，与 y22 x 联立，消去 x，得 y22 y2 t0，由 0，得 t ，此时 y1， x ，12 12点 P 坐标为 ，两平行线间的距离就是点 P 到直线 x y30 的最小距离，即(12， 1)dmin .524
