1、13.4 生活中的优化问题举例5某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元/次，一年的总存储费为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x_吨解析：设该公司一年内总共购买 n 次货物，则 n ，400x总运费与总存储费之和 f(x)4 n4 x 4 x，令 f( x)4 0，解得1 600x 1 600x2x20， x20(舍去)，x20 是函数 f(x)的最小值点，故当 x20 时， f(x)最小答案：206.一个帐篷，它下部的形状是高为 1 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3 m 的正六棱锥(如图所示)当帐篷的顶点 O 到底面中心 O1的
2、距离为_ m 时，帐篷的体积最大解析：设 OO1为 x m，底面正六边形的面积为 S m2，帐篷的体积为V m3. 则由题设可得正六棱锥底面边长为 (m)，于是底面正六32 x 1 2 8 2x x2边形的面积为 S6 ( )2 (82 x x2)34 8 2x x2 332帐篷的体积为V (82 x x2)(x1) (82 x x2)13 332 332 (82 x x2) (1612 x x3)，32 x 1 3 32V (123 x2)32令 V0，解得 x2 或 x2(不合题意，舍去)当 1 x2 时， V0；当 2 x4 时， V0.所以当 x2 时， V 最大答案：27某产品每件成
3、本 9 元，售价 30 元，每星期卖出 432 件如果降低价格，销售量将会增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x(单位：元，0 x21)的平方成正比已知商品单价降低 2 元时，一星期多卖出 24 件(1)将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解：(1)若商品降低 x 元，则一个星期多卖出的商品为 kx2件由已知条件，得 k2224，解得 k6.2若记一个星期的商品销售利润为 f(x)，则有f(x)(30 x9)(4326 x2)6 x3126 x2432 x9 072， x0,21(2)由(1)得， f( x)18 x2252
4、 x432.令 f( x)0，得 x2 或 x12.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如表所示：x 0 (0,2) 2 (2,12) 12 (12,21) 21f( x) 0 0 f(x) 9 072 极小值 极大值 0所以当 x12 时， f(x)取得极大值因为 f(0)9 072， f(12)11 664， f(21)0，所以定价为 301218(元)，能使一个星期的商品销售利润最大8两县城 A 和 B 相距 20 km，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城 A 和城 B 的总影响度为
5、对城 A 与对城 B 的影响度之和记 C 点到城 A 的距离为 x km，建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y.统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k，当垃圾处理厂建在 A 的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为B0.065.(1)将 y 表示成 x 的函数 f(x)；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断 A 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对B城 A 和城 B 的总影响最小？若存在，求出该点到城 A 的距离；若不存在，说明理由
6、解：(1)根据题意 ACB90，| AC| x km，| BC| km，且建在 C 处的垃400 x2圾处理厂对城 A 的影响度为 ，对城 B 的影响度为 ，4x2 k400 x2因此，总影响度 y (0 x20)4x2 k400 x2又垃圾处理厂建在 A 的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065，故有B 0.065，4 102 102 2 k400 102 102 2解得 k9，故 y f(x) (0 x20)4x2 9400 x23(2)f( x) 8x3 18x 400 x2 218x4 8 400 x2 2x3 400 x2 2 . x2 800 10x2 1 600x3
7、 400 x2 2令 f( x)0，解得 x4 或 x4 (舍去)10 10所以当 x(0,4 )时， f( x)0， y 为减函数；10当 x(4 ，20)时， f( x)0， y 为增函数10故在 x4 处，函数 f(x)取得极小值，也是最小值即垃圾场离城 A 的距离为 4 10 10m 时，对城 A 和城 B 的总影响最小(时间： 120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若 f(x)sin cos x，则 f( x)等于( )Asin x Bcos xCcos sin x D2si
8、n cos x解析：选 A 函数是关于 x 的函数，因此 sin 是一个常数2曲线 y f(x) x33 x21 在点(2，3)处的切线方程为( )A y3 x3 B y3 x1C y3 D x2解析：选 C 因为 y f( x)3 x26 x，则曲线 y x33 x21 在点(2，3)处的切线的斜率 k f(2)32 2620，所以切线方程为 y3.3函数 f(x)的定义域为开区间( a， b)，导函数 f( x)在( a， b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间( a， b)内有极小值点( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个解析：选 A 设极值点依次为 x1， x2， x3且
9、 a x1 x2 x3 b，则 f(x)在( a， x1)，(x2， x3)上递增，在( x1， x2)，( x3， b)上递减，因此， x1， x3是极大值点，只有 x2是极小值点44函数 f(x) x2ln x 的单调递减区间是( )A. (0， 22B.22， )C. ，( ， 22 (0， 22)D. ，22， 0) (0， 22解析：选 A f( x)2 x ，当 0 x 时， f( x)0，故 f(x)的单调1x 2x2 1x 22递减区间为 .(0，225函数 f(x)3 x4 x3(x0,1)的最大值是( )A1 B. C0 D112解析：选 A f( x)312 x2，令 f
10、( x)0，则 x (舍去)或 x ， f(0)0， f(1)1，12 12f 1， f(x)在0,1上的最大值为 1.(12) 32 126函数 f(x) x3 ax23 x9，已知 f(x)在 x3 处取得极值，则 a( )A2 B3 C4 D5解析：选 D f( x)3 x22 ax3， f(3)0.3(3) 22 a(3)30， a5.7已知物体的运动方程是 S(t) t2 (t 的单位：s， S 的单位：m)，则物体在时刻1tt2 时的速度 v 与加速度 a 分别为( )A. m/s， m/s2 B. m/s， m/s2154 94 152 92C. m/s， m/s2 D. m/s
11、， m/s292 154 94 154解析：选 A S( t)2 t ，1t2 v S(2)22 (m/s)14 154令 g(t) S( t)2 t ， g( t)22 t3 ，1t25 a g(2) (m/s2)948.已知函数 f(x)的导函数 f( x) a(x b)2 c 的图象如图所示，则函数 f(x)的图象可能是( )解析：选 D 由导函数图象可知，当 x0，函数 f(x)递增因此，当 x0 时， f(x)取得极小值，故选 D.9定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(1)1，且 f(x)的导函数 f( x) ，则满足 2f(x)121 D x|x1解析：选 B 令 g(x)2
12、f(x) x1， f( x) ，12 g( x)2 f( x)10， g(x)为单调增函数， f(1)1， g(1)2 f(1)110，当 x2130， f(2) f(1)f(3)，即 c0)ax(1)若 a1，求函数 f(x)的单调区间；(2)若以函数 y f(x)(x(0,3)图象上任意一点 P(x0， y0)为切点的切线的斜率 k8恒成立，求实数 a 的最小值12解：(1)当 a1 时， f(x)ln x ，1x定义域为(0，)， f( x) ，1x 1x2 x 1x2当 x(0,1)时， f( x)0，所以 f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)(2)由(1)知 f
13、( x) (00， f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，故 f(x)的最小值为 f(0)1.(2)若 k1，则 f(x)e x x2 x，定义域为 R.12 f( x)e x x1，令 g(x)e x x1，则 g( x)e x1，由 g( x)0 得 x0， g(x)在0，)上单调递增，由 g( x)0 得 x0， g(x)在(，0)上单调递减， g(x)min g(0)0，即 f( x)min0，故 f( x)0. f(x)在 R 上单调递增21(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) x2 aln x(xR)12(1)求 f(x)的单调区间；(2)当 x1 时， x2l
14、n x x3是否恒成立，并说明理由12 23解：(1) f(x)的定义域为(0，)，由题意得 f( x) x (x0)，ax当 a0 时， f( x)0 恒成立， f(x)的单调递增区间为(0，)10当 a0 时， f( x) x ，ax x2 ax x a x ax当 0 x 时， f( x)0；a当 x 时， f( x)0.a当 a0 时，函数 f(x)的单调递增区间为( ，)，单调递减区间为(0， )a a(2)当 x1 时， x2ln x x3恒成立，理由如下：12 23设 g(x) x3 x2ln x(x1)，23 12则 g( x)2 x2 x 0，1x x 1 2x2 x 1x
15、g(x)在(1，)上是增函数， g(x) g(1) 0.即 x3 x2ln x0，16 23 12 x2ln x x3，12 23故当 x1 时， x2ln x x3恒成立12 2322(本小题满分 12 分)若函数 f(x) ax3 bx4，当 x2 时，函数 f(x)有极值 .43(1)求函数的解析式；(2)若方程 f(x) k 有 3 个不同的根，求实数 k 的取值范围解：(1) f( x)3 ax2 b.由题意知Error!即Error!解得Error! 所以 f(x) x34 x4.13(2)由(1)可得 f( x) x24( x2)( x2)令 f( x)0，得 x2 或 x2.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如表所示：x (，2) 2 (2,2) 2 (2，)f( x) 0 0 f(x) 283 4311因此，当 x2 时， f(x)有极大值 ，当 x2 时，283f(x)有极小值 ，所以函数 f(x) x34 x4 的图象大致如图所示43 13若 f(x) k 有 3 个不同的根，则直线 y k 与函数 f(x)的图象有 3 个交点，所以 k .43 283所以实数 k 的取值范围为 .(43， 283)
