1、133.2 函数的极值与导数预习课本 P9396，思考并完成以下问题 1函数极值点、极值的定义是什么？2函数取得极值的必要条件是什么？3求可导函数极值的步骤有哪些？新 知 初 探 1函数极值的概念(1)函数的极大值一般地，设函数 y f(x)在点 x0及附近有定义，如果对 x0附近的所有的点，都有 f(x) f(x0)，就说 f(x0)是函数 y f(x)的一个极大值，记作 y 极大值 f(x0)， x0是极大值点(2)函数的极小值一般地，设函数 y f(x)在点 x0及附近有定义，如果对 x0附近的所有的点，都有 f(x) f(x0)，就说 f(x0)是函数 y f(x)的一个极小值，记作
2、y 极小值 f(x0)， x0是极小值点极大值与极小值统称为极值点睛 如何理解函数极值的概念(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系2(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点(5)单调函数一定没有极值2求函数 y f(x)极值的方法一般地，求函数 y f(x)的极值的方法是：解方程 f( x)0. 当 f( x0)0 时：(1)如果在 x0附近的左侧 f( x)0
3、，右侧 f( x)0，那么 f(x0)是极大值；(2)如果在 x0附近的左侧 f( x)0，右侧 f( x)0，那么 f(x0)是极小值点睛 一般来说， “f( x0)0”是“函数 y f(x)在点 x0处取得极值”的必要不充分条件若可导函数 y f(x)在点 x0处可导，且在点 x0处取得极值，那么 f( x0)0；反之，若 f( x0)0，则点 x0不一定是函数 y f(x)的极值点小 试 身 手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”)(1)函数 f(x) x3 ax2 x1 必有 2个极值( )(2)在可导函数的极值点处，切线与 x轴平行或重合( )(3)函数 f(x)
4、有极值( )1x答案：(1) (2) (3)2下列四个函数： y x3； y x21； y| x|； y2 x，其中在 x0 处取得极小值的是( )A B C D答案：B3函数 y x36 x的极大值为( )A4 B3 C3 D42 2 2 2答案：A4. 函数 f(x) x2cos x在 上的极大值点为( )0， 2A0 B. C. D.6 3 2答案：B已知函数求极值典例 求函数 f(x) x2e x的极值3解 函数的定义域为 R，f( x)2 xe x x2e x( x)2 xe x x2e x x(2 x)e x.令 f( x)0，得 x(2 x)e x0，解得 x0 或 x2.当 x
5、变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x (，0) 0 (0,2) 2 (2，)f( x) 0 0 f(x) 极小值 0 极大值 4e2 因此当 x0 时， f(x)有极小值，并且极小值为 f(0)0；当 x2 时， f(x)有极大值，并且极大值为 f(2)4e 2 .4e2求函数极值和极值点的四步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程 f( x)0 的根；(3)用方程 f( x)0 的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；(4)由 f( x)在方程 f( x)0 的根左右的符号，来判断 f(x)在这个根处取极值的情况 活学活用求下列函数的极值点和极值(1)f(x)
6、x3 x23 x3；13(2)f(x) 3ln x.3x解：(1) f( x) x22 x3.令 f( x)0，得 x3 或 x1.当 x变化时， f( x)， f(x)的变化情况如表所示：x (，1) 1 (1,3) 3 (3，)f( x) 0 0 4f(x) 极大值 极小值 所以 x1 是函数 f(x)的极大值点，且 f(x)极大值 ， x3 是函数 f(x)的极小值点，143且 f(x)极小值 6.(2)函数 f(x) 3ln x的定义域为(0，)，3xf( x) ，3x2 3x 3x 3x2令 f( x)0，得 x1.当 x变化时， f( x)， f(x)的变化情况如表所示：x (0,
7、1) 1 (1，)f( x) 0 f(x) 极小值 所以 x1 是函数 f(x)的极小值点，且 f(x)极小值 3，无极大值点及无极大值已知函数的极值求参数典例 已知 f(x) ax3 bx2 cx(a0)在 x1 处取得极值，且 f(1)1.(1)试求常数 a， b， c的值；(2)试判断 x1 是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由解 (1) f( x)3 ax22 bx c(a0)， x1 是函数的极值点 x1 是方程 3ax22 bx c0 的两根由根与系数的关系，得Error!又 f(1)1， a b c1.由解得 a ， b0， c .12 32(2)由(1)得 f(x) x3
8、x，12 32 f( x) x2 (x1)( x1)32 32 32令 f( x)0，得 x1 或 x1；令 f( x)0，得1 x1.5函数 f(x)在区间(，1)和(1，)上是增函数，在区间(1,1)上是减函数因此， x1 是函数的极大值点； x1 是函数的极小值点由函数极值求参数值的注意点(1)常根据极值点处导数为 0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 活学活用已知函数 f(x) x3 x2 ax1.13(1)若函数的极大值点是1，求 a的值；(2)若函数 f(x)有一正一负两个极值点，求
9、 a的取值范围解：(1) f( x) x22 x a，由题意 f(1)12 a0，解得 a3，则 f( x) x22 x3，经验证可知， f(x)在 x1 处取得极大值，故a3.(2)由题意，方程 x22 x a0 有一正一负两个根，设为 x1， x2，则 x1x2 a0，故 a的取值范围是(，0)函数极值的综合应用典例 已知函数 f(x) x33 ax1( a0)若函数 f(x)在 x1 处取得极值，直线 y m与 y f(x)的图象有三个不同的交点，求 m的取值范围解 因为 f(x)在 x1 处取得极值且 f( x)3 x23 a，所以 f(1)3(1) 23 a0，所以 a1.所以 f(
10、x) x33 x1， f( x)3 x23，由 f( x)0，解得 x11， x21.当 x0；当11时， f( x)0.所以由 f(x)的单调性可知，f(x)在 x1 处取得极大值 f(1)1，在 x1 处取得极小值 f(1)3.6作出 f(x)的大致图象如图所示：因为直线 y m与函数 y f(x)的图象有三个不同的交点，结合 f(x)的图象可知， m的取值范围是(3,1)一题多变1变条件若本例中条件改为“已知函数 f(x) x3 ax24”在 x 处取得极值，43其他条件不变，求 m的取值范围解：由题意可得 f( x)3 x22 ax，由 f 0，(43)可得 a2，所以 f(x) x3
11、2 x24，则 f( x)3 x24 x.令 f( x)0，得 x0 或 x ，43当 x变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x (，0) 0 (0， 43) 43 (43， )f( x) 0 0 f(x) 4 7627作出函数 f(x)的大致图象如图所示：因为直线 y m与函数 y f(x)的图象有三个不同的交点，所以 m的取值范围是.( 4， 7627)2变条件若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？解：由例题解析可知：当 m3 或 m1 时，直线 y m与 y f(x)的图象有两个不同的交点；当 m1时，直线 y m与 y f(x)的图象
12、只有一个交点(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程 f(x)0 的根就是函数 f(x)的图象与 x轴交点的横坐标，方程 f(x) g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)7的图象的交点的横坐标(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与 x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便 层级一 学业水平达标1 “f( x0)0”是“函数 f(x)在 x x0处有极值”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 B 若函数
13、f(x)在 x x0处有极值，则一定有 f( x0)0；反之，若 f( x0)0，则函数 f(x)在 x x0处不一定有极值所以“ f( x0)0”是“函数 f(x)在 x x0处有极值”的必要不充分条件，选 B.2函数 f(x) x2ln x的极值点为( )32A0,1，1 B.33C D. ，33 33 33解析：选 B 由已知，得 f(x)的定义域为(0，)，f( x)3 x ，1x 3x2 1x令 f( x)0，得 x .33(x 33舍 去 )当 x 时， f( x)0；当 0 x 时， f( x)0.33 33所以当 x 时， f(x)取得极小值从而 f(x)的极小值点为 ，无极大
14、值点，选 B.33 333已知函数 y f(x)，其导函数 y f( x)的图象如图所示，则 y f(x)( )A在(，0)上为减函数 B在 x0 处取极小值C在(4，)上为减函数 D在 x2 处取极大值8解析：选 C 由导函数的图象可知： x(，0)(2,4)时， f( x)0， x(0,2)(4，)时， f( x)0， a6.4设 aR，若函数 ye x ax(xR)有大于零的极值点，则( )A a1 B a1C a D a1e 1e解析：选 A ye x ax， ye x a.令 ye x a0，则 ex a， xln( a)又 x0， a1，即 a1.5若函数 y x36 x2 m的极
15、大值为 13，则实数 m等于_解析： y3 x212 x3 x(x4)由 y0，得 x0 或 4.且 x(，0)(4，)时， y0； x(0,4)时， y0， x4 时取到极大值故6496 m13，解得 m19.答案：196若函数 f(x) x3 x2 ax4 在区间(1,1)上恰有一个极值点，则实数 a的取值范围为_解析：由题意， f( x)3 x22 x a，则 f(1) f(1)0；当 x(2，ln 2)时， f( x)0，ae2解得 ae 2，所以此时e 20时， F(x)， F( x)的变化情况如下表：x (，2) 2 (2，)F( x) 0 F(x) 极大值 当 x2时， F(x) 11，a x 1ex当 x2时，令 F(x) 10，a x 1ex即 a(x1)e x0，由于 a(x1)e xa(x1)e 2，令 a(x1)e 20，得 x1 ，即 x1 时，e2a e2aF(x)0，所以 F(x)总存在零点，综上所述，所求实数 a的取值范围是(e 2,0)
