1、133.1 函数的单调性与导数预习课本 P8993，思考并完成以下问题 1函数的单调性与导数的正负有什么关系？2利用导数判断函数单调性的步骤是什么？3怎样求函数的单调区间？新 知 初 探 1函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间( a， b)内的函数 y f(x)：f( x)的正负 f(x)的单调性f( x)0 单调递 增f( x)0 单调递 减2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数 y f(x)，在区间( a， b)上导数的绝对值函数值变化 函数的图象越大 快 比较“陡峭”(向上或向下)越小 慢 比较“平缓”(向上或向下)点睛 对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明(1
2、)若在某区间上有有限个点使 f( x)0，在其余的点恒有 f( x)0，则 f(x)仍为2增函数(减函数的情形完全类似)(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x( a， b)都有 f( x)0 且在( a， b)内的任一非空子区间上 f( x)不恒为 0.小 试 身 手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”)(1)函数 f(x)在定义域上都有 f( x)0，则函数 f(x)在定义域上单调递增( )(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”( )(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大( )答案：(1) (2) (3)2函数 f(x)
3、( x3)e x的单调递增区间是( )A(，2) B(0,3)C(1,4) D(2，)答案：D3设 f(x) x (x0)，则 f(x)的单调递减区间为( )12 1xA(，2) B(2,0)C(， ) D( ，0)2 2答案：D4函数 f(x)sin x2 x 在(，)上是_(填“增”或“减”)函数答案：减判断或讨论函数的单调性典例 已知函数 f(x) ax33 x21 ，讨论函数 f(x)的单调性3a解 由题设知 a0. f( x)3 ax26 x3 ax ，(x2a)令 f( x)0，得 x10， x2 .2a当 a0 时，若 x(，0)，则 f( x)0. f(x)在区间(，0)上为增
4、函数3若 x ，则 f( x)0，(2a， ) f(x)在区间 上是增函数(2a， )当 a0.(2a， 0) f(x)在区间 上为增函数(2a， 0)若 x(0，)，则 f( x)0 和 f( x)1，即 a2 时， f(x)在(，1)和( a1，)上单调递增，在(1， a1)上单调递减，由题意知(1,4)(1， a1)且(6，) (a1，)，所以 4 a16，即5 a7.故实数 a 的取值范围为5,7法二 数形结合法如图所示， f( x)( x1) x( a1)在(1,4)内 f( x)0，6在(6，)内 f( x)0，且 f( x)0 有一根为 1，另一根在4,6上Error! 即Err
5、or!5 a7.故实数 a 的取值范围为5,7法三 转化为不等式的恒成立问题f( x) x2 ax a1.因为 f(x)在(1,4)内单调递减，所以 f( x)0 在(1,4)上恒成立即 a(x1) x21 在(1, 4)上恒成立，所以 a x1，因为 27，所以 a7 时， f( x)0 在(6，)上恒成立综上知 5 a7.故实数 a 的取值范围为5,71利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即 f( x)0(或 f( x)0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“”时是否满足题意(2)先令 f( x)0(或 f( x)
6、0，当 x(1,2)时，( x1)( x2)0 得 x1 或 x0， a0.11答案：(0，)7设函数 f(x) ax 2ln x.ax(1)若 f(2)0，求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)在定义域上是增函数，求实数 a 的取值范围解：(1)因为 f( x) a ，且 f(2)0，ax2 2x所以 a 10，所以 a .a4 45所以 f( x) (2x25 x2)45 45x2 2x 25x2令 f( x)0，解得 x 或 x2；12令 f( x)0，解得 x2，12所以 f(x)的递增区间为 和2，)，递减区间为 .( ，12 12， 2(2)若 f(x)在定义域上是增函数，则 f( x)0 恒成立，因为 f( x) a ，ax2 2x ax2 2x ax2所以需 ax22 x a0 恒成立，所以Error! 解得 a1.所以 a 的取值范围是1，)8已知函数 f(x) aln x ax3( aR)(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)当 a1 时，证明：当 x(1，)时， f(x)20.解：(1)根据题意知， f( x) (x0)，a 1 xx当 a0 时，则当 x(0,1)时， f( x)0，当 x(1，)时， f( x)f(1)即 f(x)2，所以 f(x)20.
