1、1第二课时 导数的运算法则预习课本 P8385，思考并完成以下问题 导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？新 知 初 探 导数的四则运算法则(1)条件： f(x)， g(x)是可导的(2)结论： f(x)g(x) f( x)g( x) f(x)g(x) f( x)g(x) f(x)g( x) (g(x)0)f xg x f x g x f x g xg x 2点睛 应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算(2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导(3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导(4
2、)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程小 试 身 手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”)(1)f( x)2 x，则 f(x) x2( )(2)函数 f(x) xex的导数是 f( x)e x(x1)( )(3)函数 f(x)sin( x)的导数为 f( x)cos x( )答案：(1) (2) (3)2函数 y x4sin x的导数为( )A y4 x3 B ycos xC y4 x3sin x D y4 x3cos x答案：D3函数 y 的导数是( )ln xx2A B.1x 1 ln xx2C. D. 1 ln xx2
3、1x ln xx2答案：C4若 f(x)(2 x a)2，且 f(2)20，则 a_.答案：1利用导数四则运算法则求导典例 求下列函数的导数：(1)y x2log 3x；(2) y x3ex；(3) y .cos xx解 (1) y( x2log 3x)( x2)(log 3x)2 x .1xln 3(2)y( x3ex)( x3)e x x3(ex)3 x2ex x3exe x(x33 x2)(3)y (cos xx ) cos x x cos x x x2 . xsin x cos xx2 xsin x cos xx2求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再
4、根据导数的运算法则求导数(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算 活学活用求下列函数的导数：(1)ysin x2 x2；(2) ycos xln x；(3) y .exsin x解：(1) y(sin x2 x2)(sin x)(2 x2)cos x4 x.3(2)y(cos xln x)(cos x)ln xcos x(ln x)sin xln x .cos xx(3)y (exsin x) ex sin x ex sin x sin 2x .exsin x excos xsin2x ex sin x cos xsin2x与切线有关的综合问题典例 (1)
5、设函数 f(x) x3 x2 bx c，其中 a0，曲线 y f(x)在点 P(0， f(0)13 a2处的切线方程为 y1，则 b_， c_.(2)若曲线 y xln x上在点 P处的切线平行于直线 2x y10，则点 P的坐标是_解析 (1)由题意得 f( x) x2 ax b，由切点 P(0， f(0)既在曲线 f(x) x3 x2 bx c上又在切线 y1 上知Error!13 a2即Error! 解得 b0， c1.(2)设 P(x0， y0)， y xln x， yln x x 1ln x.1x k1ln x0，又 k2，1ln x02， x0e. y0eln ee，点 P的坐标是
6、(e，e)答案 (1)0 1 (2)(e，e)一题多变1变结论求本例(2)中的切线与直线 2x y10 之间的距离解：点 P处的切线与直线 2x y10 之间的距离即为点 P到直线 2x y10 的距离，由典例(2)知 P(e，e)，故所求的距离 d .|2e e 1|22 1 2 5 e 152变结论试求本例(2)中过曲线上一点与直线 y x平行的切线方程解：设切点为( x1， y1)，因为 yln x1，所以切线的斜率为 kln x11，又 k1，得 x1 ， y1 ，1e2 2e2故所求的切线方程为 y ，2e2 (x 1e2)即 e2xe 2y10.4关于函数导数的应用及其解决方法(1
7、)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用 层级一 学业水平达标1已知函数 f(x) ax2 c，且 f(1)2，则 a的值为( )A1 B. C1 D02解析：选 A f(x) ax2 c， f( x)2 ax，又 f(1)2 a，2 a2， a1.2函数 y( x1) 2(x1)在 x1 处的导数等于( )A1 B2 C3 D4解析：选 D y( x1) 2(
8、x1)( x1) 2(x1)2( x1)( x1)( x1) 23 x22 x1， y| x1 4.3若 y x24x，则 y( )A x24x2 x B(2 x x2)4xC(2 x x2ln 4)4x D( x x2)4x解析：选 C y( x2)4 x x2(4x)2 x4x x24xln 4(2 x x2ln 4)4x，故选 C.4曲线 y x33 x21 在点(1，1)处的切线方程为( )A y3 x4 B y3 x2C y4 x3 D y4 x5解析：选 B 因为点(1，1)在曲线 y x33 x21 上，所以该点处切线的斜率为k y| x1 (3 x26 x)|x1 363，切线
9、方程为 y13( x1)，即 y3 x2.5设曲线 f(x) axln x在点(1， f(1)处的切线与 y2 x平行，则 a( )A0 B1 C2 D35解析：选 D f( x) a ，由题意得 f(1)2，1x即 a12，所以 a3.6(2017全国卷)曲线 y x2 在点(1,2)处的切线方程为_1x解析：设 y f(x)，则 f( x)2 x ，1x2所以 f(1)211.所以在(1,2)处的切线方程为 y21( x1)，即 y x1.答案： y x17已知函数 f(x) f cos xsin x，则 f 的值为_(4) (4)解析： f( x) f sin xcos x，(4) f
10、f ，得 f 1.(4) (4) 22 22 (4) 2 f(x)( 1)cos xsin x f 1.2 (4)答案：18若曲线 f(x) xsin x1 在 x 处的切线与直线 ax2 y10 互相垂直，则实2数 a_.解析：因为 f( x)sin x xcos x，所以 f sin cos 1.(2) 2 2 2又直线 ax2 y10 的斜率为 ，a2所以根据题意得 1 1，解得 a2.(a2)答案：29求下列函数的导数(1)y ln x； (2) y( x21)( x1)；x(3)y ； (4) y .x2sin x x 3x2 3解：(1) y( ln x)( )(ln x) .x
11、x12x 1x(2)y( x21)( x1)6( x3 x2 x1)( x3)( x2)( x)(1)3 x22 x1.(3)y . x2 sin x x2 sin x sin2x 2xsin x x2cos xsin2x(4)y .1 x2 3 x 3 2x x2 3 2 x2 6x 3 x2 3 210已知函数 f(x) ， g(x) aln x， aR.若曲线 y f(x)与曲线 y g(x)相交且x在交点处有相同的切线，求 a的值及该切线的方程解： f( x) ， g( x) (x0)，12x ax由已知得Error!解得 a ， xe 2，e2所以两条曲线交点的坐标为(e 2，e)切
12、线的斜率为 k f(e 2) ，12e所以切线的方程为 ye (xe 2)，12e即 x2e ye 20.层级二 应试能力达标1函数 ysin x(cos x1)的导数是( )Acos 2 xcos x Bcos 2 xsin xCcos 2 xcos x Dcos 2xcos x解析：选 C y(sin x)(cos x1)sin x(cos x1)cos x(cos x1)sin x(sin x)cos 2 xcos x，故选 C.2若函数 f(x) ax4 bx2 c满足 f(1)2，则 f(1)等于( )A1 B2 C2 D0解析：选 B f( x)4 ax32 bx为奇函数， f(1
13、) f(1)2.3曲线 y x2ex在点(1,1)处切线的斜率等于( )A2e Be C3e D1解析：选 C 函数的导数为 f( x)2 xex x2exe x(x22 x)当 x1 时， f(1)3e，即曲线 y x2ex在点(1,1)处切线的斜率 k f(1)3e，故选 C.4若 f(x) x22 x4ln x，则 f( x)0 的解集为( )A(0，) B(1,0)(2，)C(2，) D(1,0)7解析：选 C f(x) x22 x4ln x， f( x)2 x2 0，4x整理得 0，解得1 x0 或 x2， x 1 x 2x又因为 f(x)的定义域为(0，)，所以 x2.5已知曲线
14、y12 与 y2 x3 x22 x在 x x0处切线的斜率的乘积为 3，则1xx0_.解析：由题知 y 1 ， y 23 x22 x2，1x2所以两曲线在 x x0处切线的斜率分别为 ，3 x 2 x02，1x20 20所以 3，所以 x01.3x20 2x0 2x20答案：16已知函数 f(x)e x mx1 的图象为曲线 C，若曲线 C存在与直线 y x垂直的切12线，则实数 m的取值范围是_解析： f(x)e x mx1， f( x)e x m，曲线 C存在与直线 y x垂直的切线，12 f( x)e x m2 成立， m2e x2，故实数 m的取值范围是(2，)答案：(2，)7偶函数
15、f(x) ax4 bx3 cx2 dx e的图象过点 P(0,1)，且在 x1 处的切线方程为 y x2，求 f(x)的解析式解： f(x)的图象过点 P(0,1)， e1.又 f(x)为偶函数， f( x) f(x)故 ax4 bx3 cx2 dx e ax4 bx3 cx2 dx e. b0， d0. f(x) ax4 cx21.函数 f(x)在 x1 处的切线方程为 y x2，切点为(1，1) a c11. f(1)4 a2 c，4 a2 c1. a ， c .52 92函数 f(x)的解析式为 f(x) x4 x21.52 9288设抛物线 C： y x2 x4，过原点 O作 C的切线
16、 y kx，使切点 P在第一象92限(1)求 k的值；(2)过点 P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点 Q的坐标解：(1)设点 P的坐标为( x1， y1)，则 y1 kx1，y1 x x14，2192由，得 x x140.点 P为切点，21 (k92) 2160，得 k 或 k .(k92) 172 12当 k 时， x12， y117.172当 k 时， x12， y11.12点 P在第一象限，所求的斜率 k .12(2)过点 P作切线的垂线，其方程为 y2 x5.将代入抛物线方程，得 x2 x90.132设 Q点的坐标为( x2， y2)，即 2x29， x2 ， y24， Q点的坐标为 .92 (92， 4)9
