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    版选修1_1.doc

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    版选修1_1.doc

    1、1第二课时 导数的运算法则预习课本 P8385,思考并完成以下问题 导数的四则运算法则是什么?在使用运算法则时的前提条件是什么?新 知 初 探 导数的四则运算法则(1)条件: f(x), g(x)是可导的(2)结论: f(x)g(x) f( x)g( x) f(x)g(x) f( x)g(x) f(x)g( x) (g(x)0)f xg x f x g x f x g xg x 2点睛 应用导数公式的注意事项(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算(2)两个函数可导,则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导(3)若两个函数不可导,则它们的和、差、积、商不一定不可导(4

    2、)对于较复杂的函数式,应先进行适当的化简变形,化为较简单的函数式后再求导,可简化求导过程小 试 身 手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ,错误的打“”)(1)f( x)2 x,则 f(x) x2( )(2)函数 f(x) xex的导数是 f( x)e x(x1)( )(3)函数 f(x)sin( x)的导数为 f( x)cos x( )答案:(1) (2) (3)2函数 y x4sin x的导数为( )A y4 x3 B ycos xC y4 x3sin x D y4 x3cos x答案:D3函数 y 的导数是( )ln xx2A B.1x 1 ln xx2C. D. 1 ln xx2

    3、1x ln xx2答案:C4若 f(x)(2 x a)2,且 f(2)20,则 a_.答案:1利用导数四则运算法则求导典例 求下列函数的导数:(1)y x2log 3x;(2) y x3ex;(3) y .cos xx解 (1) y( x2log 3x)( x2)(log 3x)2 x .1xln 3(2)y( x3ex)( x3)e x x3(ex)3 x2ex x3exe x(x33 x2)(3)y (cos xx ) cos x x cos x x x2 . xsin x cos xx2 xsin x cos xx2求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点,即函数的和、差、积、商,再

    4、根据导数的运算法则求导数(2)对于三个以上函数的积、商的导数,依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算 活学活用求下列函数的导数:(1)ysin x2 x2;(2) ycos xln x;(3) y .exsin x解:(1) y(sin x2 x2)(sin x)(2 x2)cos x4 x.3(2)y(cos xln x)(cos x)ln xcos x(ln x)sin xln x .cos xx(3)y (exsin x) ex sin x ex sin x sin 2x .exsin x excos xsin2x ex sin x cos xsin2x与切线有关的综合问题典例 (1)

    5、设函数 f(x) x3 x2 bx c,其中 a0,曲线 y f(x)在点 P(0, f(0)13 a2处的切线方程为 y1,则 b_, c_.(2)若曲线 y xln x上在点 P处的切线平行于直线 2x y10,则点 P的坐标是_解析 (1)由题意得 f( x) x2 ax b,由切点 P(0, f(0)既在曲线 f(x) x3 x2 bx c上又在切线 y1 上知Error!13 a2即Error! 解得 b0, c1.(2)设 P(x0, y0), y xln x, yln x x 1ln x.1x k1ln x0,又 k2,1ln x02, x0e. y0eln ee,点 P的坐标是

    6、(e,e)答案 (1)0 1 (2)(e,e)一题多变1变结论求本例(2)中的切线与直线 2x y10 之间的距离解:点 P处的切线与直线 2x y10 之间的距离即为点 P到直线 2x y10 的距离,由典例(2)知 P(e,e),故所求的距离 d .|2e e 1|22 1 2 5 e 152变结论试求本例(2)中过曲线上一点与直线 y x平行的切线方程解:设切点为( x1, y1),因为 yln x1,所以切线的斜率为 kln x11,又 k1,得 x1 , y1 ,1e2 2e2故所求的切线方程为 y ,2e2 (x 1e2)即 e2xe 2y10.4关于函数导数的应用及其解决方法(1

    7、)应用:导数应用主要有:求在某点处的切线方程,已知切线的方程或斜率求切点,以及涉及切线问题的综合应用(2)方法:先求出函数的导数,若已知切点则求出切线斜率、切线方程若切点未知,则先设出切点,用切点表示切线斜率,再根据条件求切点坐标总之,切点在解决此类问题时起着至关重要的作用 层级一 学业水平达标1已知函数 f(x) ax2 c,且 f(1)2,则 a的值为( )A1 B. C1 D02解析:选 A f(x) ax2 c, f( x)2 ax,又 f(1)2 a,2 a2, a1.2函数 y( x1) 2(x1)在 x1 处的导数等于( )A1 B2 C3 D4解析:选 D y( x1) 2(

    8、x1)( x1) 2(x1)2( x1)( x1)( x1) 23 x22 x1, y| x1 4.3若 y x24x,则 y( )A x24x2 x B(2 x x2)4xC(2 x x2ln 4)4x D( x x2)4x解析:选 C y( x2)4 x x2(4x)2 x4x x24xln 4(2 x x2ln 4)4x,故选 C.4曲线 y x33 x21 在点(1,1)处的切线方程为( )A y3 x4 B y3 x2C y4 x3 D y4 x5解析:选 B 因为点(1,1)在曲线 y x33 x21 上,所以该点处切线的斜率为k y| x1 (3 x26 x)|x1 363,切线

    9、方程为 y13( x1),即 y3 x2.5设曲线 f(x) axln x在点(1, f(1)处的切线与 y2 x平行,则 a( )A0 B1 C2 D35解析:选 D f( x) a ,由题意得 f(1)2,1x即 a12,所以 a3.6(2017全国卷)曲线 y x2 在点(1,2)处的切线方程为_1x解析:设 y f(x),则 f( x)2 x ,1x2所以 f(1)211.所以在(1,2)处的切线方程为 y21( x1),即 y x1.答案: y x17已知函数 f(x) f cos xsin x,则 f 的值为_(4) (4)解析: f( x) f sin xcos x,(4) f

    10、f ,得 f 1.(4) (4) 22 22 (4) 2 f(x)( 1)cos xsin x f 1.2 (4)答案:18若曲线 f(x) xsin x1 在 x 处的切线与直线 ax2 y10 互相垂直,则实2数 a_.解析:因为 f( x)sin x xcos x,所以 f sin cos 1.(2) 2 2 2又直线 ax2 y10 的斜率为 ,a2所以根据题意得 1 1,解得 a2.(a2)答案:29求下列函数的导数(1)y ln x; (2) y( x21)( x1);x(3)y ; (4) y .x2sin x x 3x2 3解:(1) y( ln x)( )(ln x) .x

    11、x12x 1x(2)y( x21)( x1)6( x3 x2 x1)( x3)( x2)( x)(1)3 x22 x1.(3)y . x2 sin x x2 sin x sin2x 2xsin x x2cos xsin2x(4)y .1 x2 3 x 3 2x x2 3 2 x2 6x 3 x2 3 210已知函数 f(x) , g(x) aln x, aR.若曲线 y f(x)与曲线 y g(x)相交且x在交点处有相同的切线,求 a的值及该切线的方程解: f( x) , g( x) (x0),12x ax由已知得Error!解得 a , xe 2,e2所以两条曲线交点的坐标为(e 2,e)切

    12、线的斜率为 k f(e 2) ,12e所以切线的方程为 ye (xe 2),12e即 x2e ye 20.层级二 应试能力达标1函数 ysin x(cos x1)的导数是( )Acos 2 xcos x Bcos 2 xsin xCcos 2 xcos x Dcos 2xcos x解析:选 C y(sin x)(cos x1)sin x(cos x1)cos x(cos x1)sin x(sin x)cos 2 xcos x,故选 C.2若函数 f(x) ax4 bx2 c满足 f(1)2,则 f(1)等于( )A1 B2 C2 D0解析:选 B f( x)4 ax32 bx为奇函数, f(1

    13、) f(1)2.3曲线 y x2ex在点(1,1)处切线的斜率等于( )A2e Be C3e D1解析:选 C 函数的导数为 f( x)2 xex x2exe x(x22 x)当 x1 时, f(1)3e,即曲线 y x2ex在点(1,1)处切线的斜率 k f(1)3e,故选 C.4若 f(x) x22 x4ln x,则 f( x)0 的解集为( )A(0,) B(1,0)(2,)C(2,) D(1,0)7解析:选 C f(x) x22 x4ln x, f( x)2 x2 0,4x整理得 0,解得1 x0 或 x2, x 1 x 2x又因为 f(x)的定义域为(0,),所以 x2.5已知曲线

    14、y12 与 y2 x3 x22 x在 x x0处切线的斜率的乘积为 3,则1xx0_.解析:由题知 y 1 , y 23 x22 x2,1x2所以两曲线在 x x0处切线的斜率分别为 ,3 x 2 x02,1x20 20所以 3,所以 x01.3x20 2x0 2x20答案:16已知函数 f(x)e x mx1 的图象为曲线 C,若曲线 C存在与直线 y x垂直的切12线,则实数 m的取值范围是_解析: f(x)e x mx1, f( x)e x m,曲线 C存在与直线 y x垂直的切线,12 f( x)e x m2 成立, m2e x2,故实数 m的取值范围是(2,)答案:(2,)7偶函数

    15、f(x) ax4 bx3 cx2 dx e的图象过点 P(0,1),且在 x1 处的切线方程为 y x2,求 f(x)的解析式解: f(x)的图象过点 P(0,1), e1.又 f(x)为偶函数, f( x) f(x)故 ax4 bx3 cx2 dx e ax4 bx3 cx2 dx e. b0, d0. f(x) ax4 cx21.函数 f(x)在 x1 处的切线方程为 y x2,切点为(1,1) a c11. f(1)4 a2 c,4 a2 c1. a , c .52 92函数 f(x)的解析式为 f(x) x4 x21.52 9288设抛物线 C: y x2 x4,过原点 O作 C的切线

    16、 y kx,使切点 P在第一象92限(1)求 k的值;(2)过点 P作切线的垂线,求它与抛物线的另一个交点 Q的坐标解:(1)设点 P的坐标为( x1, y1),则 y1 kx1,y1 x x14,2192由,得 x x140.点 P为切点,21 (k92) 2160,得 k 或 k .(k92) 172 12当 k 时, x12, y117.172当 k 时, x12, y11.12点 P在第一象限,所求的斜率 k .12(2)过点 P作切线的垂线,其方程为 y2 x5.将代入抛物线方程,得 x2 x90.132设 Q点的坐标为( x2, y2),即 2x29, x2 , y24, Q点的坐标为 .92 (92, 4)9


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