1、1第一课时 几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式预习课本 P8183，思考并完成以下问题 1函数 y c， y x， y x1 ， y x2， y 的导数分别是什么？能否得出 y xn的导x数公式？2正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么？新 知 初 探 1几种常用函数的导数函数 导数f(x) c(c 为常数 ) f( x)0f(x) x f( x)1f(x) x2 f( x)2 xf(x)1xf( x)1x2f(x) xf( x)12x点睛 对几种常用函数的导数的两点说明(1)以上几个常用函数的导数是求解其他函数的导数的基础，都是通过导数的定义求得的，都属于幂函数的导
2、数(2)以上几个常见的导数公式需记牢，在求导数时，可直接应用，不必再用定义去求导2基本初等函数的导数公式2原函数 导函数f(x) c(c 为常数) f( x) 0f(x) x ( Q *) f( x) x 1f(x)sin x f( x)cos_ xf(x)cos x f( x)sin_ xf(x) ax(a0 且 a1) f( x) axln_af(x)e x f( x)e xf(x)log ax(a0 且 a1) f( x) 1xln af(x)ln x f( x) 1x小 试 身 手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”)(1)若 y ，则 y 21( )212(2)若
3、f( x)sin x，则 f(x)cos x( )(3)f(x) ，则 f( x) ( )1x3 3x4答案：(1) (2) (3)2下列结论不正确的是( )A若 y0，则 y0 B若 y5 x，则 y5C若 y x1 ，则 y x2 D若 y x ，则 y x12 1212答案：D3若 ycos ，则 y( )23A B C0 D.32 12 12答案：C4曲线 ye x在点(0,1)处的切线方程为_答案： y x13利用导数公式求函数导数典例 求下列函数的导数(1)y x12；(2) y ；(3) y ；(4) y3 x；1x4 5x3(5)ylog 5x.解 (1) y( x12)12
4、x11.(2)y ( x4 )4 x5 .(1x4) 4x5(3)y( )( x ) x .5x335 35 25(4)y(3 x)3 xln 3.(5)y(log 5x) .1xln 5求简单函数的导函数有两种基本方法(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式 活学活用求下列函数的导数：(1)ylg x；(2) y x；(3) y x ；(4) ylog x.(12) x 13解：(1) y(lg x) .(ln xln 10) 1xln 10(2)y xln xln 2
5、.(12)x (12) 12 (12)(3)y( x )( x ) x .x32 3212 32x(4)y .(log13x) 1xln13 1xln 3导数公式的综合应用典例 (1)曲线 ycos x 在点 P 处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( )( 3， 12)4A. B. 12 39 12 39C. D. 12 36 12 36(2)设曲线 y 在点(2， )处的切线与直线 ax y10 垂直，则 a( )x 2A. B.22 24C2 D22 2解析 (1)因为 ysin x，切点为 P ，( 3， 12)所以切线的斜率 k y| x sin ， 3 3 32所以切线方程为 y ，1
6、2 32(x 3)令 x0，得 y ，故选 C.12 36(2)因为 y x ，所以 y x ，x12 12 12 12x所以切线的斜率 k y| x2 ，122由已知，得 a2 ，即 a2 ，故选 D.2 2答案 (1)C (2)D1利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解2求过点 P 与曲线相切的直线方程的三个步骤活学活用1曲线 y x 在点(1,1)处的切线与 x 轴、直线 x2 所围成的三角形的面积为( )23A. B.53 89C. D.2512 412
7、5解析：选 C 可求得 y x ，23 13即 y| x1 ，切线方程为 2x3 y10，23与 x 轴的交点坐标为 ，(12， 0)与 x2 的交点坐标为 ，(2，53)围成三角形面积为 .12 (2 12) 53 25122当常数 k 为何值时，直线 y x 与曲线 y x2 k 相切？请求出切点解：设切点为 A(x0， x k) y2 x，20Error! Error!故当 k 时，直线 y x 与曲线 y x2 k 相切，且切点坐标为14.(12， 12)层级一 学业水平达标1若指数函数 f(x) ax(a0， a1)满足 f(1)ln 27，则 f(1)( )A2 Bln 3 C.
8、Dln 3ln 33解析：选 C f( x) axln a，由 f(1) aln aln 27，解得 a3，则 f( x)3 xln 3，故 f(1) .ln 332已知 f(x) x2 ，则 f(2)( )xA4 B0 C. D52 2 2解析：选 D 原函数化简得 f(x) x ，52所以 f( x) x ，52 32所以 f(2) 2 5 .故选 D.52 32 23已知 f(x) x ，若 f(1)2，则 的值等于( )A2 B2 C3 D3解析：选 A 若 2，则 f(x) x2， f( x)2 x， f(1)2(1)2 适合条件故应选 A.64若曲线 y 在点 P(a， )处的切线
9、与两坐标轴围成的三角形的面积为 2，则实数x aa 的值是( )A4 B2 C16 D8解析：选 A y ，12x切线方程为 y (x a)a12a令 x0，得 y ，令 y0，得 x a，a2由题意知 a2， a4.12 a25. 曲线 y x3在 x1 处切线的倾斜角为( )13A1 B C. D. 4 4 54解析：选 C y x2， y| x1 1，切线的倾斜角 满足 tan 1，0 ， . 46已知 f(x) ， g(x) mx，且 g(2) ，则 m_.1x 1f 2解析： f( x) ， f(2) .1x2 14又 g( x) m， g(2) m.由 g(2) ，得 m4.1f
10、2答案：47曲线 yln x 在点 M(e,1)处的切线的斜率是_，切线方程为_解析： y(ln x) ， y| xe .1x 1e切线方程为 y1 (xe)，即 xe y0.1e答案： xe y01e8设坐标平面上的抛物线 C： y x2，过第一象限的点( a， a2)作抛物线 C 的切线 l，则直线 l 与 y 轴的交点 Q 的坐标为_解析：显然点( a， a2)为抛物线 C： y x2上的点， y2 x，直线 l 的方程为 y a22 a(x a)令 x0，得 y a2，7直线 l 与 y 轴的交点的坐标为(0， a2)答案：(0， a2)9求下列函数的导数：(1)y x8；(2) y4
11、 x；(3) ylog 3x；(4)ysin ；(5) ye 2.(x 2)解：(1) y( x8)8 x81 8 x7.(2)y(4 x)4 xln 4.(3)y(log 3x) .1xln 3(4)y(cos x)sin x.(5)y(e 2)0.10已知 P(1,1)， Q(2,4)是曲线 y x2上的两点，(1)求过点 P， Q 的曲线 y x2的切线方程；(2)求与直线 PQ 平行的曲线 y x2的切线方程解：(1)因为 y2 x， P(1,1)， Q(2,4)都是曲线 y x2上的点过 P 点的切线的斜率 k1 y| x1 2，过 Q 点的切线的斜率 k2 y| x2 4，过 P
12、点的切线方程： y12( x1)，即 2x y10.过 Q 点的切线方程： y44( x2)，即 4x y40.(2)因为 y2 x，直线 PQ 的斜率 k 1，4 12 1切线的斜率 k y| x x02 x01，所以 x0 ，所以切点 M ，12 (12， 14)与 PQ 平行的切线方程为：y x ，即 4x4 y10.14 12层级二 应试能力达标1质点沿直线运动的路程 s 与时间 t 的关系是 s ，则质点在 t4 时的速度为( )5tA. B.12523 110523C. D.25523 110523解析：选 B s t .当 t4 时，15 458s .15 1544 110523
13、2直线 y x b 是曲线 yln x(x0)的一条切线，则实数 b 的值为( )12A2 Bln 21Cln 21 Dln 2解析：选 C yln x 的导数 y ，1x令 ，得 x2，切点为(2，ln 2)1x 12代入直线 y x b，得 bln 21.123在曲线 f(x) 上切线的倾斜角为 的点的坐标为( )1x 34A(1,1) B(1，1)C(1,1) D(1,1)或(1，1)解析：选 D 因为 f(x) ，所以 f( x) ，因为切线的倾斜角为 ，所以切线1x 1x2 34斜率为1，即 f( x) 1，所以 x1，1x2则当 x1 时， f(1)1；当 x1 时， f(1)1，
14、则点坐标为(1,1)或(1，1)4设曲线 y xn1 (nN *)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn，则x1x2xn的值为( )A. B.1n 1n 1C. D1nn 1解析：选 B 对 y xn1 (nN *)求导得 y( n1) xn. 令 x1，得在点(1,1)处的切线的斜率 k n1，在点(1,1)处的切线方程为 y1( n1)( xn1)令 y0，得 xn ，nn 1 x1x2xn 12 23 34 n 1n nn 1 ， 故选 B.1n 195已知 f(x) a2(a 为常数)， g(x)ln x，若 2xf( x)1 g( x)1，则x_.解析：因为 f( x
15、)0， g( x) ，1x所以 2xf( x)1 g( x)2 x 1.1x解得 x1 或 x ，因为 x0，所以 x1.12答案：16与直线 2x y40 平行且与曲线 yln x 相切的直线方程是_解析：直线 2x y40 的斜率为 k2，又 y(ln x) ， 2，解得 x .1x 1x 12切点的坐标为 .(12， ln 2)故切线方程为 yln 22 .(x12)即 2x y1ln 20.答案：2 x y1ln 207已知曲线方程为 y f(x) x2，求过点 B(3,5)且与曲线相切的直线方程解：设切点 P 的坐标为( x0， x )20 y x2， y2 x， k f( x0)2
16、 x0，切线方程为 y x 2 x0(x x0)20将点 B(3,5)代入上式，得 5 x 2 x0(3 x0)，20即 x 6 x050，20( x01)( x05)0， x01 或 x05，切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为 y12( x1)或 y2510( x5)，即 2x y10 或 10x y250.8求证：双曲线 xy a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数证明：设 P(x0， y0)为双曲线 xy a2上任一点 y .(a2x) a2x210过点 P 的切线方程为 y y0 (x x0)a2x20令 x0，得 y ；令 y0，得 x2 x0.2a2x0则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S |2x0|2 a2.12 |2a2x0|即双曲线 xy a2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数 2a2.
