1、131.3 导数的几何意义预习课本 P7679，思考并完成以下问题 1导数的几何意义是什么？2导函数的概念是什么？怎样求导函数？3怎么求过一点的曲线的切线方程？新 知 初 探 1导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线 PPn，当点 Pn趋近于点 P 时，割线 PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 PT 称为点 P 处的切线(2)导数的几何意义：函数 f(x)在 x x0处的导数就是切线 PT 的斜率 k，即 kli m f( x0)f x0 x f x0 x2导函数的概念2(1)定义：当 x 变化时， f( x)便是 x 的一个函数，我们称它为 f(x)的导函数(简称导数)(2)
2、记法： f( x)或 y，即 f( x) yli .m f x x f x x点睛 “函数 y f(x)在 x x0的导数” “导函数” “导数”三者之间的区别与联系“函数 y f(x)在 x x0处的导数”是一个数值，是针对 x0而言的，与给定的函数及x0的位置有关，而与 x 无关；“导函数”简称为“导数” ，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与 x， x 无关小 试 身 手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”)(1)导函数 f( x)的定义域与函数 f(x)的定义域相同( )(2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点(
3、)(3)函数 f(x)0 没有导函数( )答案：(1) (2) (3)2曲线 y x2在点 P(1,1)处的切线方程为( )A y2 x B y2 x1C y2 x1 D y2 x答案：B3已知曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线方程为 2x y20，则 f(1)( )A4 B4 C2 D2答案：D4已知 f(x) ，则 f( x)_.1x答案：1x2求曲线的切线方程典例 已知曲线 C： y x3 ，求曲线 C 上的横坐标为 2 的点处的切线方程13 43解 将 x2 代入曲线 C 的方程得 y4，3切点 P(2,4)y| x2 li li m y x m 13 2 x 3 43 1
4、323 43 xli 42 x ( x)24. k y| x2 4.m 13曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y44( x2)，即 4x y40.1过曲线上一点求切线方程的三个步骤2过曲线外的点 P(x1， y1)求曲线的切线方程的步骤(1)设切点为 Q(x0， y0)；(2)求出函数 y f(x)在点 x0处的导数 f( x0)；(3)利用 Q 在曲线上和 f( x0) kPQ，解出 x0， y0及 f( x0)；(4)根据直线的点斜式方程，得切线方程为 y y0 f( x0)(x x0) 活学活用1求过点 P(1,2)且与曲线 y3 x24 x2 在点 M(1,1)处的切线平行的直线解
5、：曲线 y3 x24 x2 在点 M(1,1)处的切线斜率 k yError! li (3 x2)2，3 1 x 2 4 1 x 2 3 4 2 x m 过点 P(1,2)的直线的斜率为 2，由直线的点斜式，得 y22( x1)，即 2x y40，所求直线的方程为 2x y40.2求抛物线 f(x) x2过点 的切线方程(52， 6)解：由于点 不在抛物线上，所以可设切点为( x0， x )，(52， 6) 20因为 f( x0)li m f x0 x f x0 xli li (2x0 x)2 x0，m x0 x 2 x20 x m 所以该切线的斜率为 2x0，4又因为此切线过点 和点( x0
6、， x )，(52， 6) 20所以 2 x0，即 x 5 x060，x20 6x0 52 20解得 x02 或 x03，因此切点为(2,4)或(3,9)，所以切线方程分别为 y44( x2)， y96( x3)，即 y4 x4， y6 x9.求切点坐标典例 已知抛物线 y2 x21 分别满足下列条件，请求出切点的坐标(1)切线的倾斜角为 45.(2)切线平行于直线 4x y20.(3)切线垂直于直线 x8 y30.解 设切点坐标为( x0， y0)，则 y2( x0 x)212 x 14 x0 x2( x)2，20 4 x02 x， y x当 x0 时， 4 x0，即 f( x0)4 x0.
7、 y x(1)抛物线的切线的倾斜角为 45，斜率为 tan 451.即 f( x0)4 x01，得 x0 ，14切点的坐标为 .(14， 98)(2)抛物线的切线平行于直线 4x y20， k4，即 f( x0)4 x04，得 x01，切点坐标为(1,3)(3)抛物线的切线与直线 x8 y30 垂直，则 k 1，即 k8，(18)故 f( x0)4 x08，得 x02，切点坐标为(2,9)求切点坐标的四个步骤(1)设出切点坐标；5(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标 活学活用已知曲线 y x33 x 在点
8、 P 处的切线与直线 y15 x3 平行，则点 P 为( )A(2,14) B(2，14)C(2,14)或(2，14) D以上都不对解析：选 C 设 P(x0， y0)，由题意可得yli 3 x 3，m x0 x 3 3 x0 x x30 3x0 x 20又由题意得 3x 315，所以 x02.20当 x02 时， y02 3614，当 x02 时， y0(2) 3614.所以点 P 的坐标为(2,14)或(2，14)层级一 学业水平达标1曲线 y f(x)在点( x0， f(x0)处的切线方程为 2x y10，则( )A f( x0)0 B f( x0)0C f( x0)0 D f( x0)
9、不存在解析：选 A 因为曲线 y f(x)在点( x0， f(x0)处的导数就是切线的斜率，又切线2x y10 的斜率为 2，所以 f( x0)0.2曲线 f(x) 在点 M(1，2)处的切线方程为( )2xA y2 x4 B y2 x4C y2 x4 D y2 x4解析：选 C ，所以当 x0 时， f(1)2，即 k2.所以 y x 21 x 2 x 21 x直线方程为 y22( x1)即 y2 x4.故选 C.3曲线 y x32 在点 处切线的倾斜角为( )13 (1， 53)A1 B. C. D 4 54 46解析：选 B yli m 13 x x 3 2 (13x3 2) xli x
10、2，m x2 x x13 x 2切线的斜率 k y| x1 1.切线的倾斜角为 ，故应选 B. 44曲线 y ax2在点(1， a)处的切线与直线 2x y60 平行，则 a 等于( )A1 B. C D112 12解析：选 A y| x1 li m a 1 x 2 a12 xli li (2a a x)2 a，m 2a x a x 2 x m 2 a2， a1.5过正弦曲线 ysin x 上的点 的切线与 ysin x 的图象的交点个数为( )( 2， 1)A0 个 B1 个 C2 个 D无数个解析：选 D 由题意， y f(x)sin x，则 f li ( 2) m x 0sin( 2 x
11、) sin 2 xli .m x 0cos x 1 x当 x 0 时，cos x1， f 0.( 2)曲线 ysin x 的切线方程为 y1，且与 ysin x 的图象有无数个交点6已知 f(x) x2 ax， f(1)4，曲线 f(x)在 x1 处的切线在 y 轴上的截距为1，则实数 a 的值为_解析：由导数的几何意义，得切线的斜率为 k f(1)4.又切线在 y 轴上的截距为1，所以曲线 f(x)在 x1 处的切线方程为 y4 x1.从而切点坐标为(1,3)，所以 f(1)1 a3，即 a2.答案：27曲线 y 在点(1，1)处的切线方程为_xx 2解析：因为 y (1) 1 1 x 1
12、x 2 x 11 x7 ，所以 ，2 x1 x y x 2 x 1 x x 21 x所以 f(1)li li 2，m y x m 21 x故曲线 y 在点(1，1)处的切线方程为 y12( x1)，即 y2 x1.xx 2答案： y2 x18曲线 y x23 x 的一条切线的斜率为 1，则切点坐标为_解析：设 f(x) y x23 x，切点坐标为( x0， y0)，f( x0)li m x0 x 2 3 x0 x x20 3x0 xli 2 x031，故 x02，m 2x0 x 3 x x 2 xy0 x 3 x0462，故切点坐标为(2，2)20答案：(2，2)9求过曲线 f(x) 上的点
13、P 的切线方程1x x (4， 74)解：因为 f(4)li m f 4 x f 4 xli m 14 x 4 x (14 2) xli m ( 14 x 14) 4 x 2 xli m x4 4 x x4 x 2 xli ，m ( 14 4 x 14 x 2) 516所以切线的斜率为 .516所以所求的切线方程为 5x16 y80.10已知曲线 y2 x27，求曲线过点 P(3,9)的切线方程解：由题意得 f( x0)li m y xli m 2 x0 x 2 7 2x20 7 xli (4x02 x)4 x0.m 8由于 2327119，故点 P(3,9)不在曲线上设所求切线的切点为 A(x0， y0)，则切线的斜率 k4 x0，故所求的切线方程为 y y04 x0(x x0)，将 P(3,9)及 y02 x 7 代入上式得209(2 x 7)4 x0(3 x0)20解得 x02 或 x04.所以切点为(2,1)或(4,25)从而所求切线方程为 8x y150 或 16x y390.层级二 应试能力达标1.已知 y f(x)的图象如图，则 f( xA)与 f( xB)的大小关系是( )A f( xA)f( xB)B f( xA)0，解得 a2.故存在实数 a，使得经过点(1， a)能够作出该曲线的两条切线， a 的取值范围是(，2)11
