1、131.1&3.1.2 变化率问题 导数的概念预习课本 P7276，思考并完成以下问题 1平均变化率的定义是什么？平均变化率的几何意义是什么？2瞬时变化率的定义是怎样的？如何求瞬时变化率？3如何用定义求函数在某一点处的导数？新 知 初 探 1函数 y f(x)从 x1到 x2的平均变化率(1)定义式： . y x f x2 f x1x2 x1(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比(3)意义：刻画函数值在区间 x1， x2上变化的快慢(4)平均变化率的几何意义：设 A(x1， f(x1)， B(x2， f(x2)是曲线 y f(x)上任意不同的两点，函数 y f(x)的平均变化率 y x
2、 f x2 f x1x2 x12 为割线 AB 的斜率，如图所示f x1 x f x1 x点睛 x 是变量 x2在 x1处的改变量，且 x2是 x1附近的任意一点，即 x x2 x10，但 x 可以为正，也可以为负2函数 y f(x)在 x x0处的瞬时变化率定义式 li li m y x m f x0 x f x0 x实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于 0 时，平均变化率趋近的值作用 刻画函数在某一点处变化的快慢点睛 “ x 无限趋近于 0”的含义 x 趋于 0 的距离要多近有多近，即| x0|可以小于给定的任意小的正数，且始终 x0.3导数的概念定义式 li li m y x m f
3、 x0 x f x0 x记法 f( x0)或 y| x x0实质 函数 y f(x)在 x x0处的导数就是 y f(x)在 x x0处的瞬时变化率点睛 函数 f(x)在 x0处的导数(1)当 x0 时，比值 的极限存在，则 f(x)在点 x0处可导；若 的极限不存在， y x y x则 f(x)在点 x0处不可导或无导数(2)在点 x x0处的导数的定义可变形为f( x0)li m f x0 x f x0 x或 f( x0)li .m f x f x0x x0小 试 身 手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”)(1)函数 y f(x)在x x0处的导数值与 x 值的正、负无
4、关( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间 x1， x2上变化快慢的物理量( )(3)在导数的定义中， x， y 都不可能为零( )答案：(1) (2) (3)2函数 y f(x)，自变量 x 由 x0改变到 x0 x 时，函数的改变量 y 为( )A f(x0 x) B f(x0) xC f(x0) x D f(x0 x) f(x0)3答案：D 3已知函数 f(x)2 x24 的图象上两点 A， B，且 xA1， xB1.1，则函数 f(x)从 A点到 B 点的平均变化率为( )A4 B4 x C4.2 D4.02答案：C4在 f( x0) 中， x 不可能为( )lim x 0f x0
5、x f x0 xA大于 0 B小于 0C等于 0 D大于 0 或小于 0答案：C求函数的平均变化率典例 求函数 f(x) x2在 x1,2,3 附近的平均变化率，取 x 的值为 ，哪一点附13近的平均变化率最大？解 在 x1 附近的平均变化率为k1 2 x；f 1 x f 1 x 1 x 2 1 x在 x2 附近的平均变化率为k2 4 x；f 2 x f 2 x 2 x 2 22 x在 x3 附近的平均变化率为k3 6 x；f 3 x f 3 x 3 x 2 32 x若 x ，则 k12 ， k24 ，13 13 73 13 133k36 ，13 193由于 k1 k2 k3，故在 x3 附近
6、的平均变化率最大求平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量 y f(x1) f(x0)(2)再计算自变量的改变量 x x1 x0.4(3)求平均变化率 . y x f x1 f x0x1 x0注意 x， y 的值可正，可负，但 x0， y 可为零，若函数 f(x)为常值函数，则 y0. 活学活用已知函数 f(x) x ，分别计算 f(x)在1,2和3,5上的平均变化率，并比较两个区1x间上变化的快慢解：自变量 x 从 1 变化到 2 时，函数 f(x)的平均变化率为 . y x f 2 f 12 1 12自变量 x 从 3 变化到 5 时，函数 f(x)的平均变化率为 .由于 y x f 5
7、 f 35 3 1415 ，12 1415所以函数 f(x) x 在3,5的平均变化比在1,2的平均变化快1x求瞬时速度典例 一做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s(t)3 t t2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在 t2 时的瞬时速度解 (1)当 t0 时的速度为初速度在 0 时刻取一时间段0,0 t，即0， t， s s( t) s(0)3 t( t)2(300 2)3 t( t)2， 3 t，li li (3 t)3. s t 3 t t 2 t m s t m 物体的初速度为 3.(2)取一时间段2,2 t， s s(2 t) s(2)3(2 t)(2 t)2
8、(322 2) t( t)2， 1 t， s t t t 2 tli li (1 t)1，m s t m 当 t2 时，物体的瞬时速度为1.51求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量 t 和位移改变量 s s(t0 t) s(t0)(2)求平均速度 ；v s t(3)求瞬时速度，当 t 无限趋近于 0 时， 无限趋近于常数 v，即为瞬时速度 s t2求 (当 x 无限趋近于 0 时)的极限的方法 y x(1)在极限表达式中，可把 x 作为一个数来参与运算；(2)求出 的表达式后， x 无限趋近于 0 就是令 x0，求出结果即可 y x活学活用一物体做初速度为 0 的自由落体运动，运动方
9、程为 s gt2(g10 m/s2，位移单位：12m，时间单位：s)，求物体在 t2 s 时的瞬时速度解：因为 s g(2 t)2 g2212 122 g t g( t)2，12所以 2 g g t， s t 2g t 12g t 2 t 12当 t 趋近于 0 时， 趋近于 2g， s t所以物体在 t2 s 时的瞬时速度为 20 m/s.求函数在某点处的导数典例 (1)函数 f(x) 在 x1 处的导数为_12 3x(2)已知函数 f(x)在 x x0处的导数为 4，则li _.m f x0 2 x f x0 x解析 (1)因为 y x f 1 x f 1 x6 ，12 3 1 x 12
10、31 x 3 x5 5 3 x x 35 5 3 x所以 f(1)li li .m y x m 35 5 3 x 325(2)li m f x0 2 x f x0 xli m f x0 2 x f x02 x 22li 2 f( x0)248.m f x0 2 x f x02 x答案 (1) (2)83251用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤简称：一差、二比、三极限 2瞬时变化率的变形形式li m f x0 x f x0 xli m f x0 x f x0 xli m f x0 n x f x0n xli m f x0 x f x0 x2 x f( x0) 活学活用1求函数 y x 在 x
11、1 处的导数1x解：因为 y(1 x) 11 x (1 1) x ， x1 x7所以 1 . y x x x1 x x 11 x当 x0 时， 2， y x所以函数 y x 在 x1 处的导数为 2.1x2已知 f(1)2，求 li .m f 1 2 x f 1 x解：li m f 1 2 x f 1 x(2)li m f 1 2 x f 1 2 x(2)(2)4.层级一 学业水平达标1已知函数 f(x)12 x 从 x1 到 x2 的平均变化率为 k1，从 x2 到 x1的平均变化率为 k2，则 k1与 k2的大小关系为( )A k1 k2 B k1 k2C k1 k2 D不确定解析：选 B
12、 由平均变化率的几何意义知 k1 k2.故选 B.2一个物体做直线运动，位移 s(单位：m)与时间 t(单位：s)之间的函数关系为 s(t)5 t2 mt，且这一物体在 2 t3 这段时间内的平均速度为 26 m/s，则实数 m 的值为( )A2 B1 C1 D6解析：选 B 由已知，得 26，即(53 23 m)(52 22 m)26，解s 3 s 23 2得 m1，选 B.3如果质点 A 按照规律 s3 t2运动，则在 t03 时的瞬时速度为( )A6 B18 C54 D81解析：选 B s(t)3 t2， t03， s s(t0 t) s(t0)3(3 t)233 218 t3( t)2
13、. 183 t. s tli li (183 t)18，故应选 B.m s t m 4设函数 f(x)在点 x0附近有定义，且有 f(x0 x) f(x0) a x b( x)2(a， b 为8常数)，则( )A f( x) a B f( x) bC f( x0) a D f( x0) b解析：选 C f( x0)li m x 0f x0 x f x0 xli (a b x) a.m x 05已知 f(x) x23 x，则 f(0)( )A x3 B( x)23 xC3 D0解析：选 C f(0)li m 0 x 2 3 0 x 02 30 xli li ( x3)3.故选 C.m x 2 3
14、 x x m 6.如图是函数 y f(x)的图象(1)函数 f(x)在区间0,2上的平均变化率为_；(2)函数 f(x)在区间2,4上的平均变化率为_解析：(1)函数 f(x)在区间0,2上的平均变化率为 .(2)函数 f(x)在区间2,4上的平均变化率为f 2 f 02 0 12 2.f 4 f 24 2 5 12答案：(1) (2)2127设 f(x) ax4，若 f(1)2，则 a_.解析： f(1)li m f 1 x f 1 xli a， a2.m a 1 x 4 a 4 x答案：28球的半径从 1 增加到 2 时，球的体积平均膨胀率为_解析： y 2 3 1 3 ，43 43 28
15、3 . y x 2832 1 283答案：28399求函数 y2 x23 在 x0到 x0 x 之间的平均变化率，并求当 x02， x 时12该函数的平均变化率解：当自变量从 x0变化到 x0 x 时，函数的平均变化率为 y xf x0 x f x0 x2 x0 x 2 3 2x20 3 x 4 x02 x.4x0 x 2 x 2 x当 x02， x 时，12平均变化率的值为 422 7.(12)10求函数 y f(x) x2 x1 在 x1 处的导数解：根据导数的定义： y f(1 x) f(1)(1 x)2(1 x)13( x)23 x，则 x3， y x x 2 3 x x所以 f(1)
16、li li ( x3)3，m y x m 即函数 f(x) x2 x1 在 x1 处的导数为 3.层级二 应试能力达标1已知函数 f(x)2 x24 的图象上一点(1，2)及邻近一点(1 x，2 y)，则 等于( ) y xA4 B4 xC42 x D42( x)2解析：选 C y x f 1 x f 1 x 2 1 x 2 4 2 x 2 x 2 4 x x2 x4.2.甲、乙两人走过的路程 s1(t)， s2(t)与时间 t 的关系如图，则在0， t0这个时间段内，甲、乙两人的平均速度 v 甲 ， v 乙 的关系是( )10A v 甲 v 乙 B v 甲 v 乙C v 甲 v 乙 D大小关
17、系不确定解析：选 B 设直线 AC， BC 的斜率分别为 kAC， kBC，由平均变化率的几何意义知，s1(t)在0， t0上的平均变化率 v 甲 kAC， s2(t)在0， t0上的平均变化率 v 乙 kBC.因为kAC kBC，所以 v 甲 v 乙3某物体做直线运动，其运动规律是 s t2 (t 的单位是 s， s 是单位是 m)，则它3t在 4 s 末的瞬时速度为( )A. m/s B. m/s12316 12516C8 m/s D. m/s674解析：选 B 由已知，得物体在 4s 末的瞬时速度为li li m s t m 4 t 2 34 t 16 34 tli li ，m t 2
18、8 t 3 t4 4 t t m ( t 8 316 4 t)li 8 .m t 0 s t 316 125164若可导函数 f(x)的图象过原点，且满足 li 1，则 f(0)( )m f x xA2 B1C1 D2解析：选 B f(x)图象过原点， f(0)0， f(0)li li 1，m f 0 x f 0 x m f x x选 B.5一物体的运动方程为 s7 t28，则其在 t_时的瞬时速度为 1.解析： 7 t14 t0， s t 7 t0 t 2 8 7t20 8 t当 li (7 t14 t0)1 时， t t0 .m 114答案：1146已知 f(x) ，且 f( m) ，则
19、m_.2x 1211解析： f( x)li ，m f x x f x x 2x2于是有 ， m24，解得 m2.2m2 12答案：27已知函数 f(x)Error!求 f(4) f(1)的值解：当 x4 时， y 14 x 14 .12 14 x 4 x 224 x x24 x 4 x 2 . y x 124 x 4 x 2li li m x 0 y x m x 0 124 x 4 x 2 . f(4) .124 4 2 116 116当 x1 时， y x f 1 x f 1 x x2，1 1 x 2 1 1 2 x由导数的定义，得 f(1)li ( x2)2，m f(4) f(1) (2) .116 188设函数 f(x)在 x0处可导，求下列各式的值(1)li ；m f x0 m x f x0 x(2)li .m f x0 4 x f x0 5 x x解：(1)li m f x0 m x f x0 x mli mf( x0)m f x0 m x f x0 m x(2)原式li m f x0 4 x f x0 f x0 5 x f x0 xli li m f x0 4 x f x0 x m f x0 5 x f x0 x124li 5li m f x0 4 x f x04 x m f x0 5 x f x05 x4 f( x0)5 f( x0) f( x0)
