1、1第一讲 坐标系 考情分析通过对近几年新课标区高考试题的分析可知，高考对本讲的考查集在考查极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等预计今后的高考中，仍以考查圆、直线的极坐标方程为主 真题体验1(2017全国卷)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 cos 4. (1)M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足| OM|OP|16，求点 P 的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点 A 的极坐标为 ，点 B 在曲线 C2上，求 OAB 面积的最大值(2， 3)解：(1)设 P 的极坐标为( ， )( 0)， M 的极坐标为
2、( 1， )( 10)由题设知| OP| ，| OM| 1 .4cos 由| OM|OP|16，得 C2的极坐标方程 4cos ( 0)因此 C2的直角坐标方程为( x2) 2 y24( x0)(2)设点 B 的极坐标为( B， )( B0)，由题设知| OA|2， B4cos ，于是 OAB 的面积S |OA| Bsin AOB4cos 12 |sin( 3)|2 2 .|sin(2 3) 32| 3当 时， S 取得最大值 2 .12 3所以 OAB 面积的最大值为 2 .32(2016全国卷节选)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为( x6) 2 y225.以坐标原点为极点， x
3、轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程解：把圆的方程化为 x2 y212 x110 的形式，把 x cos ， y sin 代入可得圆 C 的极坐标方程为 212 cos 110.3(2015全国卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1： x2，圆 C2：( x1) 2( y2)21，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求 C1， C2的极坐标方程； 2(2)若直线 C3的极坐标方程为 ( R)，设 C2与 C3的交点为 M， N，求 C2MN 的 4面积解：(1)因为 x cos ， y sin ，所以 C1的极坐标方程为 cos 2，C2的极坐标方程为 22
4、 cos 4 sin 40.(2)将 代入 22 cos 4 sin 40，得 4 23 40，解得 12 ， 2 .2 2 2故 1 2 ，即| MN| .2 2由于 C2的半径为 1，所以 C2MN 的面积为 .12用解析法解决几何问题利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的 x 轴、 y 轴(坐标原点)坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单例 1 已知正三角形 ABC 的边长为 a，在平面上求一点 P，使| PA|2| PB|2| PC|2最小，并求出此最小值解 以 BC 所在直线为 x 轴， BC 的垂直平分
5、线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A ，(0，32a)B ， C .(a2， 0) (a2， 0)设 P(x， y)，则|PA|2| PB|2| PC|2 x2 2 2 y2 2 y23 x23 y2 ay 3(y32a) (x a2) (x a2) 3 5a24x23 2 a2 a2，当且仅当 x0， y a 时，等号成立(y36a) 36所求的最小值为 a2，此时 P 点的坐标为 P ，即为正三角形 ABC 的中心.(0，36a)3平面直角坐标系中的伸缩变换设点 P(x， y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ：Error!的作用下，点P(x， y)对应点 P( x， y
6、)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换例 2 在平面直角坐标系中，求曲线 x2 y21 先后经过两次变换Error!和Error!后得到的曲线方程解 设经过变换Error!后得到曲线 C1，把Error!代入 x2 y21 得 x 24 y 21，即 C1： x24 y21.又设曲线 C1经过变换Error!后得到曲线 C2，把Error!代入 x24 y21 得4 y 21，即 1 为所求的曲线方程.x 24 x24 y214极坐标方程在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程 F( ， )0.如果曲线 C 是由极坐标( ， )满足方程的所有点组成的，则称此二元方程 F( ， )0 为曲线
7、 C 的极坐标方程由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标 ， 的关系例 3 在平面直角坐标系中，已知点 A(3,0)， P 是圆 x2 y21 上的一个动点，且 AOP 的平分线交 PA 于点 Q，求点 Q 的轨迹的极坐标方程解 以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设 P(1,2 )， Q( ， )，则由 S OQA S OQP S O
8、AP，得 3 sin sin 31sin 2 ，12 12 12化简得 cos .32所以点 Q 的轨迹的极坐标方程为 cos .32极坐标与直角坐标的互化互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点， x 轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位长度互化公式为 x cos ， y sin 2 x2 y2， tan yx(x 0)直角坐标方程化极坐标方程可直接将 x cos ， y sin 代入即可，而极坐标4方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为 cos ， sin 的整体形式，然后用x， y 代替较为方便，常常两端同乘以 即可达到目的，但要注意变形的等价性例 4 在以 O 为极点的极
9、坐标系中，圆 4sin 和直线 sin a 相交于A， B 两点若 AOB 是等边三角形，则 a 的值为_解析 由于圆和直线的直角坐标方程分别为 x2 y24 y 和 y a，它们相交于 A， B两点， AOB 为等边三角形，所以不妨取直线 OB 的方程为 y x，联立Error!消去 y，得3x2 x，解得 x 或 x0，所以 y x3，即 a3.3 3 3答案 3例 5 在极坐标系下，已知圆 C： cos sin 和直线 l： sin ( 4)( 0,0 2)22(1)求圆 C 和直线 l 的直角坐标方程；(2)求直线 l 与圆 C 的公共点的极坐标解 (1) cos sin ，即 2 c
10、os sin ，故圆 C 的直角坐标方程为 x2 y2 x y0. sin ，即 sin cos 1，( 4) 22故直线 l 的直角坐标方程为 x y10.(2)将圆 C 与直线 l 的直角坐标方程联立得Error!解得Error!即圆 C 与直线 l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)化为极坐标得 .(1， 2)(时间：90 分钟，总分 120 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1极坐标方程( 1)( )0( 0)表示的图形是( )A两个圆 B两条直线C一个圆和一条射线 D一条直线和一条射线
11、解析：选 C 因为( 1)( )0，所以 1 或 ， 1 表示以极点为圆心、半径为 1 的圆， 表示由极点出发的一条射线，所以 C 选项正确2已知曲线 C 的极坐标方程 2cos 2 ，给定两点 P ， Q ，则有( )(0， 2) (2， )A P 在曲线 C 上， Q 不在曲线 C 上5B P， Q 都不在曲线 C 上C P 不在曲线 C 上， Q 在曲线 C 上D P， Q 都在曲线 C 上解析：选 C 当 时， 2cos 20，故点 P 不在曲线上；当 时， 2 2cos 22，故点 Q 在曲线上3空间直角坐标系中的点( ， ，1)关于 z 轴对称的点的柱坐标为( )2 2A. B.(
12、2， 4， 1) (22， 4， 1)C. D.(2，54， 1) (22， 54， 1)解析：选 C 空间直角坐标系中的点( ， ，1)关于 z 轴对称的点的坐标为2 2M( ， ， 1)2 2设点 M 的柱坐标为( ， ， z)( 0,0 0， y0， .它的球坐标为 .92332 3 3 (6， 3， 3)答案： (6， 3， 3)13在极坐标系中，点 A 关于直线 l： cos 1 的对称点的一个极坐标为(2， 2)_8解析：由直线 l 的方程可知直线 l 过点(1,0)且与极轴垂直，设 A是点 A 关于 l 的对称点，则四边 OBA A 是正方形， BOA ，且 OA2 ，故 A的极
13、坐标是 4 2.(22， 4)答案： (22， 4)14从极点作圆 2 acos 的弦，则各条弦中点的轨迹方程为_解析：数形结合，易知所求轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，求得方程是(a2， 0) a2 acos .( 2 2)答案： acos ( 2 2)三、解答题(本大题共 4 个小题，满分 50 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 12 分)在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P ，圆心为直线(2， 4) sin 与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程( 3) 32解：点 P ， x cos 1， y sin 1，点 P 的直角坐标为(2， 4) 2 4 2 4(
14、1,1) sin 展开得 sin cos ， y x ，( 3) 32 12 32 32 3 3令 y0，得 x1，直线与 x 轴的交点坐标为 C(1,0)圆 C 的半径 r| PC|1.圆 C 的直角坐标方程为( x1) 2 y21，即 x22 x y20，化(1 1)2 (1 0)2为极坐标方程得 22 cos 0，即 2cos .圆 C 的极坐标方程为 2cos .16(本小题满分 12 分)已知圆 O1和圆 O2的极坐标方程分别为 2， 22 cos22.( 4)(1)把圆 O1和圆 O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解：(1)由 2 知 24，所
15、以 x2 y24.9因为 22 cos 2，2 ( 4)所以 22 cos cos sin sin 2，2 4 4所以 x2 y22 x2 y20.所以圆 O1和圆 O2的直角坐标方程分别为 x2 y24， x2 y22 x2 y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为 x y1.化为极坐标方程为 cos sin 1，即 sin .( 4) 2217(本小题满分 12 分)在极坐标系中，已知 A ， B 为等边三角形 ABC(2， 4) (2， 54)的两个顶点，求顶点 C 的极坐标( 0,0 0)因为 ABC 为等边三角形，所以| AB| BC| AC|4.10由余弦
16、定理得Error!即Error!并化简得 212( 0)，解得 2 ，3将 2 代入得 cos 0，3 ( 4)所以 k， kZ，所以 k， kZ. 4 2 34因为 0 2，所以 或 ，34 74所以点 C 的极坐标为 或 .(23，34) (23， 74)18(本小题满分 14 分)在极坐标系中，已知圆 C 的圆心为 ，半径 r3.(3， 3)(1)求圆 C 的极坐标方程；(2)若点 Q 在圆 C 上运动，点 P 在 OQ 的延长线上，且 2 ，求动点 P 的轨迹方OQ QP 程解：(1)设 M( ， )是圆 C 上除 O(0,0)以外的任意一外，在 OCM 中 ， COM，由余弦定理得| CM|2| OM|2| OC|22| OM|OC|cos COM，所以| 3|32 23 22 3cos ，即 6cos .经检验，点 O(0,0)也在此方程( 3) ( 3)所表示的圆上所以圆 C 的极坐标方程为 6cos .( 3)(2)设点 Q 为( 1， 1)，点 P 为( 0， 0)，由 2 ，得 2( )，OQ QP OQ OP OQ 所以 ，所以 1 0， 1 0，将其代入圆 16cos ，得OQ 23OP 23 ( 1 3) 06cos ，即 09cos .23 ( 0 3) ( 0 3)所以动点 P 的轨迹方程为 9cos .( 3)11
