1、1四 柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面上的射影为Q，用( ， )( 0,0 2)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，这时点 P 的位置可用有序数组( ， ， z)(zR)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组( ， ， z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组( ， ， z)叫做点 P 的柱坐标，记作 P( ， ， z)，其中 0,0 2， zR.(2)空间任意一点 P 的直角坐标( x， y， z)与柱坐标( ， ， z)之间的变换公式为Error!. 2球坐标系(1)定
2、义：建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任意一点，连接 OP，记| OP| r， OP与 Oz 轴正向所夹的角为 ，设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q， Ox 轴按逆时针方向旋转到 OQ时所转过的最小正角为 .这样点 P 的位置就可以用有序数组( r， ， )表示这样，空间的点与有序数组( r， ， )之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组( r， ， )叫做点 P 的球坐标，记作P(r， ， )，其中 r0,0 ，0 2.(2)空间点 P 的直角坐标( x， y， z)与球坐标( r， ， )之间的变换关系为Error!.柱坐标
3、与直角坐标的互相转化例 1 (1)设点 A 的直角坐标为(1， ，5)，求它的柱坐标3(2)已知点 P 的柱坐标为 ，求它的直角坐标(4， 3， 8)思路点拨 直接利用变换公式求解解 (1)由变换公式Error!即 21 2( )24， 2.3tan ，又 x0， y0.yx 3 ，点 A 的柱坐标为 . 3 (2， 3， 5)(2)由变换公式Error!2得 x4cos 2， y4sin 2 ， z8. 3 3 3点 P 的直角坐标为(2,2 ，8)3由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为( ， ， z)，代入变换公式Error!求 ，也可利用 2 x2 y2，求 .利用 tan
4、 求 ，在求 的时候特别注意角 所在的象限，从而确定 的值；yx同理，可由柱坐标转化为直角坐标.1已知点 M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标解： 1.x2 y2 02 12 x0， y0， ， 2点 M 的柱坐标为 .(1， 2， 2)2将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标(1) ；(2) ；(3) .(2， 6， 1) (6， 53， 2) (1， ， 0)解：设点的直角坐标为( x， y， z)(1)( ， ， z) ，(2， 6， 1)Error! ( ，1,1)为所求3(2)( ， ， z) ，(6，53， 2)Error! (3，3 ，2) 为所求3(3)( ， ， z)(1
5、，0)，Error!(1,0,0)为所求.球坐标与直角坐标的互相转化例 2 (1)已知点 P 的球坐标为 ，求它的直角坐标；(4，34， 4)(2)已知点 M 的直角坐标为(2，2，2 )，求它的球坐标2思路点拨 直接套用坐标变换公式求解解 (1)由坐标变换公式得，x rsin cos 4sin cos 2，34 43y rsin sin 4sin sin 2，34 4z rcos 4cos 2 ，34 2故其直角坐标为(2,2，2 )2(2)由坐标变换公式得，r 4.x2 y2 z2 ( 2)2 ( 2)2 ( 2r(2)2由 rcos z2 ，得 cos ， .2 22r 22 34又 t
6、an 1，则 (M 在第三象限)，yx 54从而知 M 点的球坐标为 .(4，34， 54)由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为( r， ， )，利用变换公式Error!求出r， ， 即可；也可以利用 r2 x2 y2 z2，tan ，cos 来求要特别注意由yx zr直角坐标求球坐标时，要先弄清楚 和 所在的位置3将下列各点的球坐标分别化为直角坐标(1) ；(2) .(2， 6， 3) (6， 3， 23)解：设点的直角坐标为( x， y， z)(1)( r， ， ) ，(2， 6， 3)Error! 为所求(12， 32， 3)(2)( r， ， ) ，(6， 3， 23)Error!
7、 为所求(332， 92， 3)4求下列各点的球坐标(1)M(1， ，2)；(2) N(1,1， )3 2解：(1)由变换公式得，4r 2 .x2 y2 z2 12 (r(3)2 22 2由 z rcos ，得 cos ， ，zr 222 22 4又 tan ， x0， y0， ，yx 31 3 3它的球坐标为 .(22， 4， 3)(2)由变换公式得，r 2.x2 y2 z2 ( 1)2 12 ( r(2)2由 z rcos ，得 cos ， .zr 22 34又 tan 1， x0， y0， ，yx 1 1 34它的球坐标为 .(2，34， 34)一、选择题1在球坐标系中，方程 r2 表示
8、空间的( )A球 B球面C圆 D直线解析：选 B r2，表示空间的点到原点的距离为 2，即表示球心在原点，半径为 2 的球面2设点 M 的直角坐标为(1， ，3)，则它的柱坐标是( )3A. B.(2， 3， 3) (2， 23， 3)C. D.(2，43， 3) (2， 53， 3)解析：选 C 2，tan ， x0， y0，得 ，13 33 6点 M 的球坐标为 .故选 A.(22，34， 6)二、填空题5点 P 的柱坐标为 ，则点 P 到原点的距离为_(4， 6， 3)解析： x cos 4cos 2 ， 6 3y sin 4sin 2. 6即点 P 的直角坐标为(2 ，2,3)，其到原
9、点的距离为3 5.(2r(3) 0)2 (2 0)2 (3 0)2 25答案：56点 M(3，3,3)的柱坐标为_解析： 3 ，x2 y2 ( 3)2 ( 3)2 2tan 1， x0， y0， .yx 4r 2.x2 y2 z2 12 12 (r(2)2由 rcos z (0 )，得 cos ， .22r 22 4所以点 M 的柱坐标为 ，球坐标为 .(2， 4， 2) (2， 4， 4)9已知点 M 的柱坐标为 ，点 N 的球坐标为 ，求线段 MN 的长(2， 4， 3) (2， 4， 2)度解：设点 M 的直角坐标为( x， y， z)，由变换公式得，x cos cos 1， y sin
10、 sin 1， z3，点 M 的直角坐标为2 4 2 4(1,1,3)，设点 N 的直角坐标为( a， b， c)，则 a sin cos 2 00 ， b sin sin 22 2 1 ， c cos 2 ，22 2 22 2点 N 的直角坐标为(0， ， )2 2| MN| .12 (1 r(2)2 (3 r(2)2 15 8210.已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，如图所示建立空间直角坐标系 Axyz，以 Ax 为极轴求点 C1的直角坐标，柱坐标以及球坐标解：点 C1的直角坐标为(1,1,1)，设点 C1的柱坐标为( ， ， z)，球坐标为( r， ， )，其中 0， r0,0 ，0 2，由坐标变换公式Error!且Error!7得Error! 且Error!得Error! 且Error!结合图形，得 ，由 cos 得 tan . 4 33 2所以点 C1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为 ，球坐标为 ，其(2， 4， 1) (3， ， 4)中 tan ，0 .2
