1、1二 极坐标系对 应 学 生 用 书 P51极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点 O，叫做极点，自极点 O 引一条射线 Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离| OM|叫做点 M 的极径，记为 ；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角，记为 .有序数对( ， )叫做点 M 的极坐标，记为 M( ， )一般地，不作特殊说明时，我们认为 0， 可取任意实数(3)极坐标与直角坐标的区别与
2、联系直角坐标 极坐标区别 点与直角坐标是“一对一”的关系由于终边相同的角有无数个，即点的极角不惟一因此点与极坐标是“一对多”的关系联系直角坐标与极坐标都是用来刻画平面内任意一点的位置的，它们都是一对有序的实数2极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件：极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；极轴与 x 轴的正半轴重合；两种坐标系取相同的长度单位(2)互化公式Error!Error!对 应 学 生 用 书 P5点的极坐标2例 1 已知点 Q( ， )，分别按下列条件求出点 P 的极坐标(1)点 P 是点 Q 关于极点 O 的对称点；(2)点 P 是点 Q 关于直线 的对称点 2思路点拨 确定
3、一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义解 (1)由于 P， Q 关于极点对称，得极径| OP| OQ|，极角相差(2 k1)( kZ)所以点 P 的极坐标为( ，(2 k1) )或( ，2 k )(kZ)(2)由 P， Q 关于直线 对称， 2得它们的极径| OP| OQ|，点 P 的极角 满足 2 k( kZ)，所以点 P 的坐标为( ，(2 k1) )或( ，2 k )(kZ)设点 M 的极坐标是( ， )，则 M 点关于极点的对称点的极坐标是( ， )或( ， )； M 点关于极轴的对称点的极坐标是( ， )； M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标
4、是( ， )或( ， )另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的1与极坐标 不表示同一个点的极坐标是( )( 2， 6)A. B.(2，76) (2， 76)C. D.( 2， 116 ) ( 2， 136 )解析：选 B 根据极坐标( ， )与( ，2 k )(kZ)，( ，2 k )(kZ)在极坐标系中表示同一个点，可知只有 与 表示的不是同一个点(2， 76) ( 2， 6)3的极坐标另外，也可画出点 在极坐标系中的位置，如图所示，对照各选项进行( 2， 6)检验2在极坐标系中，点 A 的极坐标是 ，求点 A 关于直线 的对称点的极坐(3， 6) 2标(规定 0， 0,2)解
5、：作出图形，可知 A 关于直线 的对称点是 .(3， 6) 2 (3， 56)点的极坐标与直角坐标的互化例 2 (1)把点 A 的极坐标 化成直角坐标；(2，76)(2)把点 P 的直角坐标(1， )化成极坐标( 0， 0,2)3思路点拨 依据极坐标与直角坐标互化的公式解题解 (1)设 A(x， y)，则 x2cos ，76 3y2sin 1，76故点 A 的直角坐标为( ，1)3(2) 2，tan .12 ( r(3)2 31 3又因为点 P 在第四象限且 0 0)，点 P 的直角坐标为(1,1)， | OP| ， ，故选 A.2 4二、填空题5极点的极坐标为_解析：因为极点对应的极径为 0
6、，极角为任意角，所以极点的极坐标为(0， )( R)答案：(0， )( R)6在极坐标系中，已知 A ， B 两点，则| AB|_.(1，34) (2， 4)解析： | AB| .12 22 212cos(34 4) 5答案： 57直线 l 过点 A ， B ，则直线 l 与极轴夹角的大小为_(3， 3) (3， 6)解析：如图所示，先在图形中找到直线 l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点 A， B 的位置分析夹角大小因为| AO| BO|3， AOB ，所以 OAB ， 3 6 6 62 512所以 ACO . 3 512 4答案： 4三、解答题8在极轴上求与点 A 的距离为 5
7、 的点 M 的坐标(42， 4)7解：设 M(r,0)，因为 A ，(42， 4)所以 5，(4r(2)2 r2 82rcos 4即 r28 r70.解得 r1 或 r7.所以 M 点的坐标为(1,0)或(7,0)9(1)已知点的极坐标分别为 A ， B ，(3， 4) (2， 43)C ， D ，求它们的直角坐标(32， 32) (6， 74)(2)已知点的直角坐标分别为 A( ， )， B ，6 2 (0， 63)C ，求它们的极坐标( 0,0 2)( 6， 2)解：(1)根据 x cos ， y sin ，得 A ， B(1， )， C ，(322， 322) 3 (0， 32)D(3
8、，3 )2 2(2)根据 2 x2 y2，tan ，yx得 A ， B ， C .(22， 6) (63， 32) (22， 76)10在极坐标系中，已知 ABC 的三个顶点的极坐标分别为 A ， B(2，)， C(2， 3).(2，53)(1)判断 ABC 的形状；(2)求 ABC 的面积解：(1)如图，由 A ，(2， 3)B ， C ，得| OA| OB| OC|2， AOB BOC AOC .(2， ) (2，53) 23所以 AOB BOC AOC，所以| AB| BC| CA|，8故 ABC 为等边三角形(2)由上述可知，|AC|2| OA|sin 22 2 . 3 32 3所以 S ABC 2 2 3 .12 3 3 32 3
