1、12直线的极坐标方程1直线的极坐标方程(1)若直线经过点 M( 0， 0)，且极轴到此直线的角为 ，则直线 l的极坐标方程为 sin( ) 0sin( 0 )(2)当直线 l过极点，即 00 时， l的方程为 .(3)当直线 l过点 M(a,0)且垂直于极轴时， l的方程为 cos_ a.(4)当直线 l过点 M 且平行于极轴时， l的方程为 .(b，2) sin b2图形的对称性(1)若 ( ) ( )，则相应图形关于极轴对称 (2)若 ( ) ( )，则图形关于射线 所在直线对称2(3)若 ( ) ( )，则图形关于极点对称求直线的极坐标方程例 1 求过点 A(1,0)且倾斜角为 的直线的
2、极坐标方程4思路点拨 思路一：通过运用正弦定理解三角形建立动点 M所满足的等式，从而集中条件建立以 ， 为未知数的极坐标方程；思路二：先求出直线的直角坐标方程，然后运用直角坐标向极坐标的转化公式间接得解解 法一：设 M( ， )为直线上除点 A以外的任意一点，易知 xAM ，则 OAM ， OMA .4 34 4在 OAM中，由正弦定理得 ，|OM|sin OAM |OA|sin OMA即 ， sin ，sin 341sin(4 ) (4 ) 22 ，(sin 4cos cos 4sin ) 22化简得 (cos sin )1，2经检验，点 A(1,0)的极坐标适合此方程，满足条件的直线的极坐
3、标方程为 (cos sin )1.法二：以极点 O为直角坐标原点，极轴为 x轴非负半轴，建立平面直角坐标系 xOy，直线的斜率 ktan 1，直线方程为 y x1，4将 y sin ， x cos 代入上式，得 sin cos 1，满足条件的直线的极坐标方程为 (cos sin )1.求直线的极坐标方程，首先应明确过点 M( 0， 0)，且极轴到此直线的角为 的直线极坐标方程的求法另外，还要注意过极点、与极轴垂直和平行的三种特殊情况的直线的极坐标方程1求过 A 且垂直于极轴的直线 l的方程(2，4)解：如图所示，在直线 l上任意取点 M( ， )， A (2， 4)，| OH|2sin .4
4、2在 Rt OMH中，|OH| OM|cos ， cos ，即 cos ，2 2过 A 且垂直于极轴的直线 l的方程为 cos .(2，4) 22设点 A的极坐标为 ，直线 l过点 A且与极轴所成的角为 ，求直线 l的极(2，6) 3坐标方程解：设 P( ， )为直线 l上任意一点(如图)则 ，3 6 6 ，(3 ) 233在 OPA中，有 ，sin62sin(23 )即 sin 1.(3 )直线的极坐标方程的应用例 2 在极坐标系中，直线 l的方程是 sin 1，求点 P 到直线( 6) (2， 6)l的距离思路点拨 将极坐标问题转化为直角坐标问题解 点 P 的直角坐标为( ，1)(2， 6
5、) 3直线 l： sin 1 可化为( 6) sin cos cos sin 1，6 6即直线 l的直角坐标方程为 x y20.3点 P( ，1)到直线 x y20 的距离为3 3d 1.|3 3 2|1 ( r(3)2 3故点 P 到直线 l的距离为 1.(2， 6) 3对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题，通常是将它们化为直角坐标方程，在直角坐标系下研究3在极坐标系中，曲线 C1和 C2的方程分别为 sin2 cos 和 sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C1和C2的交点的直角坐标为_解析：由 sin2 cos 2sin2 c
6、os y2 x，又由 sin 1 y1，联立Error! Error!故曲线 C1和 C2交点的直角坐标为(1,1)答案：(1,1)4已知直线的极坐标方程为 sin ，则点 A 到这条直线的距离是( 4) 22 (2， 74)_4解析：点 A 的直角坐标为( ， )(2，74) 2 2直线 sin ，( 4) 22即 sin cos cos sin ，其直角坐标方程为4 4 22x y ，即 x y1.22 22 22点 A( ， )到直线 x y10 的距离为2 2d ，|2 2 1|1 1 22故点 A 到直线 sin 的距离为 .(2，74) ( 4) 22 22答案：22一、选择题1极
7、坐标方程 cos ( 0)表示的曲线是( )22A余弦曲线 B两条相交直线C一条射线 D两条射线解析：选 D cos ，22 2 k( kZ)4又 0，cos 表示两条射线222已知点 P的坐标为(2，)，则过点 P且垂直于极轴的直线方程是( )A 1 B cos C D 2cos 2cos 解析：选 C 由点 P的坐标可知，过点 P且垂直于极轴的直线的直角坐标方程为x2，即 cos 2.故选 C.3如果直线 与直线 l关于极轴对称，那么直线 l的极坐标方程1cos 2sin 是( )5A B 1cos 2sin 12sin cos C D 12cos sin 12cos sin 解析：选 A
8、 由 知 cos 2 sin 1，故 cos 1cos 2sin 2 sin 1，即 为所求1cos 2sin 4在极坐标系中，点 到曲线 cos sin 10 上的点的最小距离(2，4)等于( )A. B.22 2C. D2322解析：选 A 将极坐标化为直角坐标即为点(1,1)到直线 x y10 的距离最小，即 ，故选 A.|1 1 1|2 22二、填空题5极坐标方程 cos 1 的直角坐标方程是_( 6)解析：将极坐标方程变为 cos sin 1，化为直角坐标方程为32 12x y1，即 x y20.32 12 3答案： x y2036若直线 sin 与直线 3x ky1 垂直，则常数
9、k_.( 4) 22解析：直线的极坐标方程可化为 sin cos ，即 x y10，由22 22 22题意知 1，解得 k3.3k答案：37在极坐标系中，点 到直线 sin 2 的距离为_(2，6)解析：点 对应的直角坐标为( ，1)，直线 sin 2 对应的直角坐标方程(2，6) 3为 y2，所以点到直线的距离为 1.答案：16三、解答题8设 M， N分别是曲线 2sin 0 和 sin 上的动点，求 M， N的最( 4) 22小距离解：因为 M， N分别是曲线 2sin 0 和 sin 上的动点，即 M， N( 4) 22分别是圆 x2 y22 y0 和直线 x y10 上的动点，要求 M
10、， N两点间的最小距离，即在直线 x y10 上找一点到圆 x2 y22 y0 的距离最小，即圆心(0，1)到直线x y10 的距离减去半径，故最小值为 1 1.|0 1 1|2 2故 M， N的最小距离为 1.29求过点(2,3)且斜率为 2的直线的极坐标方程解：由题意知，直线的直角坐标方程为 y32( x2)，即 2x y70.设 M( ， )为直线上任意一点，将 x cos ， y sin 代入直角坐标方程2x y70，得 2 cos sin 70，这就是所求的极坐标方程10已知双曲线的极坐标方程为 ，过极点作直线与它交于 A， B两点，31 2cos 且| AB|6，求直线 AB的极坐标方程解：设直线 AB的极坐标方程为 1.A( 1， 1)， B( 2， 1)， 1 ， 2 .31 2cos 1 31 2cos( 1 ) 31 2cos 1|AB| 1 2| ，|31 2cos 1 31 2cos 1| | 61 4cos2 1| 1，cos 10 或 cos 111 4cos2 1 22故直线 AB的极坐标方程为 ， 或 .2 4 347
