1、11圆的极坐标方程1曲线的极坐标方程(1)在极坐标系中，如果曲线 C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 f( ， )0，并且坐标适合方程 f( ， )0 的点都在曲线 C 上，那么方程 f( ， )0 叫做曲线 C 的极坐标方程(2)建立曲线的极坐标方程的方法步骤是：建立适当的极坐标系，设 P( ， )是曲线上任意一点列出曲线上任意一点的极径与极角之间的关系式将列出的关系式整理、化简证明所得方程就是曲线的极坐标方程2圆的极坐标方程(1)圆心在 C(a,0)(a0)，半径为 a 的圆的极坐标方程为 2 acos_ .(2)圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标方程为 r.(3)圆心在点 处且
2、过极点的圆的方程为 2 asin (0 )(a， 2)圆的极坐标方程例 1 求圆心在( 0， 0)，半径为 r 的圆的方程思路点拨 结合圆的定义求其极坐标方程解 在圆周上任取一点 P(如图)，设其极坐标为( ， )由余弦定理知：|CP|2| OP|2| OC|22| OP|OC|cos COP，故其极坐标方程为 r2 22 0cos( 0)20几种特殊情形下的圆的极坐标方程当圆心在极轴上即 00 时，方程为 r2 22 0cos ，若再有 0 r，20则其方程为 2 0cos 2 rcos ，若 0 r， 00，则方程为 2 rcos( 0)，这几个方程经常用来判断图形的形状和位置21求圆心为
3、 C ，半径为 1 的圆的极坐标方程(2， 4)解：设圆 C 上任意一点的极坐标为 M( ， )，如图，在 OCM 中，由 余弦定理，得|OM|2| OC|22| OM|OC|cos COM| CM|2，即 22 cos 10.2 ( 4)当 O， C， M 三点共线时，点 M 的极坐标 也适合上式，(21， 4)所以圆的极坐标方程为 22 cos 10.2 ( 4)2求圆心在 A 处并且过极点的圆的极坐标方程(2，32)解：设 M( ， )为圆上除 O， B 外的任意一点，连接 OM， MB，则有|OB|4，| OM| ， MOB ， BMO90，从而 BOM 为直角三角形32有| OM|
4、OB|cos MOB即 4cos 4sin .( 32)极坐标方程与直角坐标方程的互化例 2 把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并判断图形的形状(1) 2 acos (a0)；(2) 9(sin cos )；(3) 4；(4)2 cos 3 sin 5.解 (1)两边同时乘以 ，得 22 a cos ，即 x2 y22 ax，整理得( x a)2 y2 a2，它是以( a,0)为圆心，以 a 为半径的圆(2)两边同时乘以 ，得 29 (sin cos )，即 x2 y29 x9 y，整理得2 2 .(x92) (y 92) 812它是以 为圆心，以 为半径的圆(92， 92) 9223(3)将
5、 4 两边平方，得 216，即 x2 y216.它是以原点为圆心，以 4 为半径的圆(4)2 cos 3 sin 5，即 2x3 y5，是一条直线两种坐标方程间进行互化时的注意点(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是惟一的，但这里约定只在 0 2 范围内求值(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用 去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形3曲线 C 的直角坐标
6、方程为 x2 y22 x0，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为_解析：将 x2 y2 2， x cos 代入 x2 y22 x0，得 22 cos 0，整理得 2cos .答案： 2cos 4把下列直角坐标方程化为极坐标方程(1)y x；(2) x2 y21.3解：(1)将 x cos ， y sin 代入 y x3得 sin cos ，从而 .3 3(2)将 x cos ， y sin 代入 x2 y21，得 2cos2 2sin2 1，化简，得 2 .1cos 25把下列极坐标方程化为直角坐标方程(1) 6cos ；(2) 2cos .( 4)解：
7、(1)因为 6cos ，所以 26 cos ，所以化为直角坐标方程为 x2 y26 x0.(2)因为 2cos cos 2sin sin 4 44 cos sin ，2 2所以 2 cos sin .2 2所以化为直角坐标方程为 x2 y2 x y0.2 2一、选择题1极坐标方程 sin cos 表示的曲线是( )A直线 B圆C椭圆 D抛物线解析：选 B 极坐标方程 sin cos 即 2 (sin cos )，化为直角坐标方程为 x2 y2 x y，配方得 2 2 ，表示的曲线是以 为圆心，(x12) (y 12) 12 (12， 12)为半径的圆故选 B.222如图，极坐标方程 2sin
8、的图形是( )( 4)解析：选 C 圆 2sin 是由圆 2sin 绕极点按顺时针方程旋转 而( 4) 4得，圆心的极坐标为 ，故选 C.(1， 4)3在极坐标系中，圆 2sin 的圆心的极坐标是( )A. B.(1， 2) (1， 2)C(1,0) D(1，)解析：选 B 由 2sin 得 22 sin ，化成直角坐标方程为x2 y22 y，即 x2( y1) 21，圆心坐标为(0，1)，其对应的极坐标为 .故(1， 2)选 B.4在极坐标系中，点 到圆 2cos 的圆心的距离为( )(2， 3)A2 B. 4 295C. D.1 29 3解析：选 D 极坐标系中的点 化为平面直角坐标系中的
9、点为(1， )，极坐标系(2， 3) 3中的圆 2cos 化为平面直角坐标系中的圆为 x2 y22 x，即( x1) 2 y21，其圆心为(1,0)所求两点间的距离为 .故选 D.(1 1)2 (r(3) 0)2 3二、填空题5把圆的普通方程 x2( y2) 24 化为极坐标方程为_解析：圆的方程 x2( y2) 24 化为一般方程为 x2 y24 y0，将 x cos ， y sin 代入，得 2cos2 2sin2 4 sin 0，即 4sin .答案： 4sin 6曲线 C 的极坐标方程为 3sin ，则曲线 C 的直角坐标方程为_解析：由 3sin ，得 23 sin ，故 x2 y2
10、3 y，即所求方程为 x2 y23 y0.答案： x2 y23 y07在极坐标系中，若过点 A(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线 4cos 于 A， B 两点，则| AB|_.解析：由题意知，直线方程为 x3，曲线方程为( x2) 2 y24，将 x3 代入圆的方程，得 y ，则| AB|2 .3 3答案：2 3三、解答题8把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化(1)x2 y22 x0；(2) cos 2sin ；(3) 2cos 2 .解：(1) x2 y22 x0， 22 cos 0， 2cos .(2) cos 2sin ， 2 cos 2 sin ， x2 y2 x2 y，即 x2 y
11、2 x2 y0.(3) 2cos 2 ， 4 2cos2 ( cos )2( x2 y2)2 x2，即 x2 y2 x 或 x2 y2 x.9过极点 O 作圆 C： 8cos 的弦 ON，求弦 ON 的中点 M 的轨迹方程6解：法一(代入法)：设点 M( ， )， N( 1， 1)因为点 N 在圆 8cos 上，所以 18cos 1.因为点 M 是 ON 的中点，所以 12 ， 1 ，所以 2 8cos ，所以 4cos .所以点 M 的轨迹方程是 4cos .(点 (0， 2)除 外 )法二(定义法)：如图，圆 C 的圆心 C(4,0)，半径 r| OC|4，连接 CM.因为 M 为弦 ON
12、 的中点，所以 CM ON.故 M 在以 OC 为直径的圆上，所以动点 M 的轨迹方程是 4cos .(点 (0， 2)除 外 )10若圆 C 的方程是 2 asin ，求：(1)关于极轴对称的圆的极坐标方程；(2)关于直线 对称的圆的极坐标方程34解：法一：设所求圆上任意一点 M 的极坐标为( ， )(1)点 M( ， )关于极轴对称的点为( ， )，代入圆 C 的方程 2 asin ，得 2 asin( )，即 2 asin 为所求(2)点 M( ， )关于直线 对称的点为 ，代入圆 C 的方程34 ( ， 32 ) 2 asin ，得 2 asin ，(32 )即 2 acos 为所求法
13、二：由圆的极坐标方程 2 asin 得 22 a sin ，利用公式 x cos ， y sin ， ，x2 y2化为直角坐标方程为 x2 y22 ay，即 x2( y a)2 a2，故圆心为 C(0， a)，半径为| a|.(1)关于极轴对称的圆的圆心为(0， a)，圆的方程为 x2( y a)2 a2，即 x2 y22 ay，所以 22 a sin ，故 2 asin 为所求(2)由 得 tan 1，347故直线 的直角坐标方程为 y x.34圆 x2( y a)2 a2关于直线 y x 对称的圆的方程为( y)2( x a)2 a2，即(x a)2 y2 a2，于是 x2 y22 ax，所以 22 a cos .故此圆的极坐标方程为 2 acos .
