1、1一 平面直角坐标系1平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现数与形的结合(2)坐标法解决几何问题的三步骤： 第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论2平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义：设点 P(x， y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 ：Error!的作用下，点
2、P(x， y)对应到点 P( x， y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换用坐标法解决几何问题例 1 在平行四边形 ABCD 中，求证：| AC|2| BD|22(| AB|2| AD|2)思路点拨 首先在平行四边形 ABCD 所在的平面内建立平面直角坐标系，设出点A， B， C， D 的坐标，再依据两点间的距离公式即可证得结论证明 如图，以 A 为坐标原点， AB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系设 B(a,0)， C(b， c)，则 AC 的中点 E 的坐标为 ，由对称性知 D(b a， c)，(b2， c2)所以| AB|2 a2，| AD|2( b a)2 c
3、2，|AC|2 b2 c2，| BD|2( b2 a)2 c2，|AC|2| BD|24 a22 b22 c24 ab2(2 a2 b2 c22 ab)，|AB|2| AD|22 a2 b2 c22 ab，所以| AC|2| BD|22(| AB|2| AD|2)2根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的规则(1)如果图形有对称中心，选对称中心为原点；(2)如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；(3)使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上1已知在等腰梯形 ABCD 中， AD BC，求证：| AC| BD|.证明：取 BC 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴，建立如图所示的直角
4、坐标系设 A( a， h)， B( b,0)，则 D(a， h)， C(b,0)| AC| ，(b a)2 h2|BD| .(a b)2 h2| AC| BD|，即等腰梯形 ABCD 中，| AC| BD|.2在 ABC 中， D 是 BC 边上的任意一点( D 与 B， C 不重合)，且|AB|2| AD|2| BD|DC|，求证： ABC 为等腰三角形证明：作 AO BC，垂足为 O，以 BC 所在的直线为 x 轴， OA 所在的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示设 A(0， a)， B(b,0)， C(c,0)， D(d,0)，因为| AB|2| AD|2| BD|DC|，所以
5、由距离公式得 b2 a2 d2 a2( d b)(c d)，即( d b)(b d)( d b)(c d)因为 d b0，所以 b d c d，即 b c，所以 O 为线段 BC 的中点又因为 OA BC，所以| AB| AC|.所以 ABC 为等腰三角形用平面直角坐标系解决实际问题例 2 已知某荒漠上有两个定点 A， B，它们相距 2 km，现准备在荒漠上围垦一片以3AB 为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为 8 km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少；(2)该荒漠上有一条水沟 l 恰好经过点 A，且与 AB 成 30的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农
6、艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问暂不加固的部分有多长解 (1)设平行四边形的另两个顶点为 C， D，由围墙总长为 8 km，得|CA| CB|4| AB|2，由椭圆的定义知，点 C 的轨迹是以 A， B 为焦点，长轴长 2a4，焦距 2c2 的椭圆(去除落在直线 AB 上的两点)以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系(如图所示)，则点 C 的轨迹方程为 1( y0)x24 y23易知点 D 也在此椭圆上，要使平行四边形 ACBD 的面积最大，则 C， D 为此椭圆短轴的端点，此时，面积 S 2 22 km2.12
7、3 3(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆 1( y0)内，故暂不需要加固水沟的长x24 y23就是直线 l： y (x1)被椭圆截得的弦长，如图所示33由Error! 得 13x28 x320，则 x1 x2 ， x1x2 ，813 3213那么弦长 L |x1 x2|1 k2 ，1 (33)2 ( 813)2 4( 3213) 4813故暂不加固的部分长为 km.4813运用解析法解决实际问题的步骤(1)建系建立平面直角坐标系建系原则是利于运用已知条件，使表达式简明，运算简便因此，要充分利用已知点和已知直线作为原点和坐标轴(2)设点选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程
8、(3)运算通过运算，得到所需要的结果43已知 B 村位于 A 村的正西方向 1 km 处，原计划经过 B 村沿着北偏东 60的方向埋设一条地下管线 l，但在 A 村的西北方向 400 m 处，发现一古代文物遗址 W.根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址 W 周围 100 m 范围划为禁区试问：埋设地下管线 l 的计划需要修改吗？解：建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)， B(1 000,0)，由 W 位于 A 的西北方向及|AW|400，得 W(200 ，200 )2 2由直线 l 过 B 点且倾斜角为 906030，得直线 l 的方程是 x y1 0000.3于是点 W 到直线
9、l 的距离为| 2002 32002 1 000|2100(5 )113.6100.2 6所以埋设地下管线 l 的计划可以不修改4.如图所示， A， B， C 是三个观察站， A 在 B 的正东，两地相距 6 km， C 在 B 的北偏西30，两地相距 4 km，在某一时刻， A 观察站发现某种信号，并知道该信号的传播速度为 1 km/s,4 s 后 B， C 两个观察站同时发现这种信号，在以过 A， B 两点的直线为 x 轴，以 AB 的垂直平分线为 y 轴建立的平面直角坐标系中，指出发出这种信号的 P 的坐标解：设点 P 的坐标为( x， y)，则 A(3,0)， B(3,0)， C(5,
10、2 )3因为| PB| PC|，所以点 P 在 BC 的中垂线上因为 kBC ， BC 的中点 D(4， )，3 3所以直线 PD 的方程为 y (x4)313又因为| PB| PA|4，所以点 P 必在以 A， B 为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为 1( x2)x24 y25联立，解得 x8 或 x (舍去)，32115所以 y5 .3所以点 P 的坐标为(8,5 )3例 3 伸缩变换的坐标表达式为Error!曲线 C 在此变换下变为椭圆 x 2 1，y 216求曲线 C 的方程解 设 P(x， y)为曲线 C 上的任意一点把Error! 代入 x 2 1，得 x2 y21，y 216故
11、曲线 C 的方程为 x2 y21.坐标伸缩变换 ：Error!注意变换中的系数均为正数在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，即在同一坐标系下只对点的坐标进行伸缩变换利用坐标伸缩变换 可以求变换前和变换后的曲线方程已知前换前后曲线方程也可求伸缩变换 .5求 4x29 y21 经过伸缩变换Error!后的图形所对应的方程解：由伸缩变换Error!得Error!将其代入 4x29 y21，得 4 29 21.(12x ) (13y )整理得 x 2 y 21.经过伸缩变换后图形所对应的方程为 x 2 y 21.6若函数 y f(x)的图象在伸缩变换 ：Error!的作用下得到曲线的方程为y3sin
12、，求函数 y f(x)的最小正周期(x 6)解：由题意，把变换公式代入方程 y3sin 得 3y3sin ，整理得(x 6) (2x 6)ysin ，故 f(x)sin .所以 y f(x)的最小正周期为 .(2x 6) (2x 6) 22一、选择题1将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是( )A椭圆 B比原来大的圆C比原来小的圆 D双曲线解析：选 D 由伸缩变换的意义可得62在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换Error!后，曲线 C 变为曲线x 2 y 21，则曲线 C 的方程为( )A25 x29 y20 B25 x29 y21C9 x225 y20 D9 x225 y21解析：选 B
13、 把Error!代入方程 x 2 y 21，得 25x29 y21，曲线 C 的方程为25x29 y21.3圆 x2 y21 经过伸缩变换Error!后所得图形的焦距为( )A4 B2 13C2 D65解析：选 C 由伸缩变换Error!得Error!代入 x2 y21，得 1，该方程表示椭圆，x 24 y 29椭圆的焦距为 2 2 .9 4 54在同一平面直角坐标系中，将曲线 y sin 3x 变为曲线 ysin x的伸缩变换12是( )A.Error! B.Error!C.Error! D.Error!解析：选 D 设伸缩变换公式为Error!则 y sin x ，即 y sin x ，1
14、Error! 伸缩变换公式为Error!二、填空题5 ycos x 经过伸缩变换Error!后，曲线方程变为_解析：由Error!得Error! 代入 ycos x，得 ycos x，即 y3cos .13 12 x2答案： y3cosx26将点 P(2，2)变换为 P(6,1)的伸缩变换公式为_解析：设伸缩变换公式为Error!则Error! 解得Error!所以伸缩变换公式为Error!答案：Error!7已知 f1(x)cos x， f2(x)cos x ( 0)， f2(x)的图象可以看作是把 f1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)而得到的，则 为137
15、_解析：函数 f2(x)cos x ， xR( 0， 1)的图象可以看作把余弦曲线上所有点的横坐标缩短(当 1 时)或伸长(当 0 1 时)到原来的 (纵坐标不变)而得到的，所1以 ，即 3.13 1答案：3三、解答题8在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换Error!后的图形(1)5x2 y0；(2) x2 y21.解：由伸缩变换Error!得到Error!(1)将代入 5x2 y0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是 5x3 y0，表示一条直线(2)将代入 x2 y21，得到经过伸缩变换后的图形的方程是 1，表示焦x 214y 219点在 x 轴上的椭圆9已知 ABC 是直角
16、三角形，斜边 BC 的中点为 M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM| |BC|.12证明：以 Rt ABC 的直角边 AB， AC 所在直线分别为 x 轴， y 轴建立如图所示的平面直角坐标系设 B(b,0)， C(0， c)，则 M 点的坐标为 .(b2， c2)由于| BC| ，| AM| ，b2 c2b24 c24 12 b2 c2故| AM| |BC|.1210在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换使其满足下列曲线的变换，并叙述变换过程(1)曲线 y2sin 变换为曲线 ysin 2 x；x4(2)圆 x2 y21 变换为椭圆 1.x29 y24解：(1)将变换后的曲线方程ysi
17、n 2 x 改写为 ysin 2 x，8设伸缩变换为Error!代入 ysin 2 x得 y sin 2 x ，即 y sin 2 x，1与原曲线方程比较系数得Error!所以Error! 所以伸缩变换为Error!即先使曲线 y2sin 上的点的纵坐标不变，x4将曲线上的点的横坐标缩短为原来的 ，18得到曲线 y2sin 2sin 2x，再将其纵坐标缩短到原来的 ，得到曲线14(8x) 12ysin 2 x.(2)将变换后的椭圆方程 1 改写为 1，设伸缩变换为Error!代入x29 y24 x 29 y 24 1 得 1，即 2x2 2y21，与 x2 y21 比较系数得x 29 y 24 2x29 2y24 ( 3) ( 2)Error!所以 Error!所以伸缩变换为Error!即先使圆 x2 y21 上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长为原来的 3 倍，得到椭圆 y21，再将该椭圆的纵坐标伸长为原来的x292 倍，得到椭圆 1.x29 y248
