1、1第一讲 不等式和绝对值不等式 考情分析从近两年的高考试题来看，绝对值不等式主要考查解法及简单的应用，题目难度中档偏下，着重考查学生的分类讨论思想及应用能力解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，化成不含绝对值的不等式，其一是依据绝对值的意义；其二是先令每一个绝对值等于零，找到分界点，通过讨论每一区间内的代数式的符号去掉绝对值 真题体验1(2017全国卷)已知函数 f(x)| x1| x2|. (1)求不等式 f(x)1 的解集；(2)若不等式 f(x) x2 x m 的解集非空，求 m 的取值范围解：(1) f(x)Error!当 x1 时， f(x)1 无解；当1 x2 时，由 f(x)1，
2、得 2x11，解得 1 x2；当 x2 时，由 f(x)1，解得 x2.所以 f(x)1 的解集为 x|x1(2)由 f(x) x2 x m，得 m| x1| x2| x2 x.而| x1| x2| x2 x| x|1| x|2 x2| x| 2 ，(|x|32) 54 54且当 x 时，| x1| x2| x2 x .32 54故 m 的取值范围为 .( ，542(2017全国卷)已知函数 f(x) x2 ax4， g(x)| x1| x1|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x) g(x)的解集；(2)若不等式 f(x) g(x)的解集包含1,1，求 a 的取值范围解：(1)当 a1 时，
3、不等式 f(x) g(x)等价于x2 x| x1| x1|40. 当 x1 时，式化为 x23 x40，无解；当1 x1 时，式化为 x2 x20，从而1 x1；当 x1 时，式化为 x2 x40，2从而 1 x . 1 172所以 f(x) g(x)的解集为Error!.(2)当 x1,1时， g(x)2.所以 f(x) g(x)的解集包含1,1，等价于当 x1,1时， f(x)2.又 f(x)在1,1的最小值必为 f(1)与 f(1)之一，所以 f(1)2 且 f(1)2，得1 a1.所以 a 的取值范围为1,13(2016全国卷)已知函数 f(x)| x1|2 x3|.(1)画出 y f
4、(x)的图象；(2)求不等式| f(x)|1 的解集解：(1)由题意得 f(x)Error!故 y f(x)的图象如图所示(2)由 f(x)的函数表达式及图象可知，当 f(x)1 时，可得 x1 或 x3；当 f(x)1 时，可得 x 或 x5.13故 f(x)1 的解集为 x|11 的解集为Error!.4(2015全国卷)已知函数 f(x)| x1|2| x a|， a0.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集；3(2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围解：(1)当 a1 时，f(x)1 化为| x1|2| x1|10.当 x1 时，不等式化
5、为 x40，无解；当10，解得 0，解得 1 x1 的解集为 .x236，故 a2.23所以 a 的取值范围为(2，)不等式的基本性质利用不等式的性质判断不等式或有关结论是否成立，或利用不等式性质，进行数值或代数式大小的比较，常用到分类讨论的思想例 1 “ a cb d”是“ ab 且 cd”的( )A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析 易得 ab 且 cd 时必有 a cb d.若 a cb d 时，不一定有 ab 且 cd，如 a4， c1， b d2 时， a c b d，但 c d，故选 A.答案 A基本不等式的应用利用基本不等式求最值问题一般有两种
6、类型：和为定值时， 积有最大值；积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时， 一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等” 例 2 若正数 a， b 满足 a b2，则 的最小值是( )1a 1 4b 14A1 B.94C9 D16解析 (52 ) ，当1a 1 4b 1 ( 1a 1 4b 1)(a 1) (b 1)4 141 4 b 1a 1 4(a 1)b 1 14 4 94且仅当 ，即 a ， b 时取等号，故选 B.b 1a 1 4(a 1)b 1 13 53答案 B例 3 设 a， b， c 均为正数，且 a b c1，证明：(1)ab bc ca ；13(2) 1.
7、a2b b2c c2a证明 (1)由 a2 b22 ab， b2 c22 bc， c2 a22 ca 得 a2 b2 c2 ab bc ca.由题设得( a b c)21，即 a2 b2 c22 ab2 bc2 ca1.所以 3(ab bc ca)1，即 ab bc ca .13(2)因为 b2 a， c2 b， a2 c，a2b b2c c2a故 ( a b c)2( a b c)，a2b b2c c2a即 a b c.a2b b2c c2a所以 1.a2b b2c c2a含绝对值的不等式的解法1.公式法|f(x)|g(x)f(x)g(x)或 f(x)|g(x)|f(x)2g(x)2.3零点
8、分段法解含有两个以上绝对值符号的不等式时，可先求出使每个含绝对值符号的代数式值等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论5每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间上的符号，转化为不含绝对值的不等式去解例 4 解下列关于 x 的不等式：(1)|x x22| x23 x4；(2)|x1| x3|；(3)|x22| x|2|1；(4)|x2|2 x5|2 x.解 (1)法一：原不等式等价于x x22 x23 x4 或 x x223，2 2原不等式的解集为 x|x3法二：| x x22| x2 x2| x2 x2( x2 x20)，原不等式等价于 x2 x2 x23
9、 x4 x3.原不等式的解集为 x|x3(2)|x1| x3|，两边平方得( x1) 2(x3) 2，8 x8， x1，原不等式的解集为 x|x1(3) x2| x|2，原不等式化为1| x|22| x|21，即Error!Error!Error!1 | x|3.2原不等式解集为3，1 1 ，32 2(4)当 x2 x，解得 x2 x，解得 x2 时，原不等式变形为 x22 x52 x，解得 xbc，则一定成立的不等式是( )A a|c|b|c| B abacC a| c|b| c| D. b，C 成立2小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a a，即 ac. abac.4若 2 D|
10、 a| b| a b|ba ab解析：选 D 法一(特殊值法)：令 a1， b2，代入 A、B、C、D，知 D 不正确法二：由 ab， aba2，故 A、B 正确又由 1， 0，且 ，得 2，故 C 正确ba ab ba ab ba ab对于 D，由 b1)的最小值为( )(x1x 1 5)A3 B3C4 D4解析：选 B x1x10， ylog 2 log 2 log 2(26)(x1x 1 5) (x 1 1x 1 6)log 283，当且仅当 x1 ，即 x2 时取等号1x 16若 69,3a|x y| B| x y|0 或至少有一者为零时取等号，当 | a b|0，log 3x0)的最
11、小值为_12x2解析： f(x)3 x 3 9，当且仅当 ，即 x2 时12x2 3x2 3x2 12x2 33x23x212x2 3x2 12x2取等号答案：912设函数 f(x)|2 x1| x3，则 f(2)_，若 f(x)5，则 x 的取值范围是_解析： f(2)|2(2)1|(2)36.|2x1| x35|2 x1|2 xx22 x12 xError!解得1 x1.答案：6 1,113定义运算 xyError!若| m1| m| m1|，则 m 的取值范围是_解析：依题意，有| m1| m，所以 m m1 m，所以 m .12答案： 12， )14已知 x22 y21，则 x2y41
12、 的最大值是_10解析： x22 y21， x2 y2 y21.又 x2y41 x2y2y21，x2y2y2 3 ，(x2 y2 y23 ) 127 x2y41 1 .127 2627即 x2y41 .2627 x2y41 的最大值是 .2627答案：2627三、解答题(本大题共 4 小题，满分 50 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分 12 分)解不等式：| x|2Error! 或Error!2x 1Error!或 x0， y0，证明：(1 x y2)(1 x2 y)9 xy.证明：因为 x0， y0，所以 1 x y23 0，3xy21 x2 y3 0，3x2
13、y故(1 x y2)(1 x2 y)3 3 9 xy.3xy2 3x2y17(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)| x a|3 x，其中 a0.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)3 x2 的解集；11(2)若不等式 f(x)0 的解集为 x|x1，求 a 的值解：(1)当 a1 时， f(x)3 x2 可化为| x1|2.由此可得 x3 或 x1.故不等式 f(x)3 x2 的解集为 x|x3 或 x1(2)由 f(x)0 得| x a|3 x0.此不等式可化为Error!或Error!即Error! 或Error!结合 a0，解得 x ，a2即不等式 f(x)0 的解集为 .x|x a2不等式 f(x)0 的解集为 x|x1， 1，故 a2.a218(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)| x m|5 x|(mR)(1)当 m3 时，求不等式 f(x)6 的解集；(2)若不等式 f(x)10 对任意实数 x 恒成立，求 m 的取值范围解：(1)当 m3 时， f(x)6，即| x3|5 x|6，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集Error!解得 x5；或Error! 解得 46 的解集为 x|x4(2)f(x)| x m|5 x|( x m)(5 x)| m5|，由题意得| m5|10，则10 m510，解得15 m5，故 m 的取值范围为15,512
