1、12绝对值不等式的解法1| ax b| c，| ax b| c(c0)型不等式的解法只需将 ax b 看成一个整体，即化成| x| a，| x| a(a0)型不等式求解|ax b| c(c0)型不等式的解法：先化为 c ax b c，再由不等式的性质求出原不等式的解集不等式| ax b| c(c0)的解法：先化为 ax b c 或 ax b c，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集2| x a| x b| c 和| x a| x b| c 型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键(2)以绝对值的零
2、点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键|f(x)| g(x)和| f(x)| g(x)型不等式的解法例 1 解下列不等式：(1)17 x；(3) .1x2 2 1|x|思路点拨 (1)可利用公式转化为| ax b|c(c0)或| ax b|0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式；(2)可利用公式法
3、转化为不含绝对值的不等式；(3)可分类讨论去掉分母和绝对值解 (1)法一：原不等式等价于不等式组Error!即 Error!解得1 x7 x，可得 2x57 x 或 2x52 或 x0 时，原不等式可化为 x22| x|，即| x|2| x|20，| x|2，不等式的解为| x|2，即 x2 或 x2.原不等式的解集为(，2( ，0)(0， )2，)2 2含绝对值不等式的常见类型及其解法(1)形如| f(x)|a(aR)型不等式此类不等式的简单解法是等价命题法，即当 a0 时，| f(x)|af(x)a 或 f(x)af(x)0.当 aaf(x)有意义(2)形如| f(x)|g(x)型不等式此
4、类不等式的简单解法是等价命题法，即3| f(x)|g(x)f(x)g(x)或 f(x)a0)型不等式此类问题的简单解法是利用等价命题法，即af(x)型不等式此类题的简单解法是利用绝对值的定义，即|f(x)|f(x)f(x) x1.解：(1)|32 x| x1 或 x23 x40 或 x22 x35 或 x0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况2解不等式|2 x1| x4|2.解：法一：令 y|2 x1| x4|，则 yError!5作出函数 y|2 x1| x4|与函数 y2 的图象，它们
5、的交点为(7,2)和 .(53， 2)|2 x1| x4|2 的解集为(，7) .(53， )法二：当 x4 时，(2 x1)( x4)2，解得 x3， x4.当 x2，12解得 x ， 2，12解得 x m，分别求出满足下列条件的 m 的取值范围(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为 R；(3)若不等式解集为.思路点拨 解答本题可以先根据绝对值| x a|的意义或绝对值不等式的性质求出6|x2| x3|的最大值和最小值，再分别写出三种情况下 m 的取值范围解 法一：因为| x2| x3|的几何意义为数轴上任意一点 P(x)与两定点 A(2)，B(3)距离的差即| x2| x3| PA| P
6、B|.由图象知(| PA| PB|)max1，(|PA| PB|)min1.即1| x2| x3|1.(1)若不等式有解， m 只要比| x2| x3|的最大值小即可，即 ma 恒成立 f(x)mina.4把本例中的“”改成“ m，其他条件不变时，分别求出7m 的取值范围解：| x2| x3|( x2)( x3)|1，即| x2| x3|1.(1)若不等式有解， m 为任何实数均可，即 mR.(2)若不等式解集为 R，即 m(，1)(3)若不等式解集为，这样的 m 不存在，即 m.1若不等式| ax2| 的解集是( )|x2 x| x2 xA x|02C x|x2解析：选 B 由 ，可知 2.
7、3若关于 x 的不等式| x1| kx 恒成立，则实数 k 的取值范围是( )A(，0 B1,0C0,1 D0，)解析：选 C 作出 y| x1|与 l1： y kx 的图象如图所示，当k0 时，要使| x1| kx 恒成立，只需 k1.综上可知 k0,14如果关于 x 的不等式| x a| x4|1 的解集是全体实数，则实数 a 的取值范围是( )A(，35，)B5，3C3,5D(，53，)8解析：选 D 在数轴上，结合绝对值的几何意义可知 a5 或 a3.5不等式| x2| x|的解集是_解析：不等式两边是非负实数，所以不等式两边可以平方，两边平方得( x2)2 x2， x24 x4 x2
8、.即 x1.原不等式的解集为 x|x1答案： x|x16不等式|2 x1| x2 时，原不等式可化为Error!解得 x2.(2)当3 x2 时，原不等式可化为Error!解得 659已知函数 f(x)| x2| x1|.(1)解不等式 f(x)1；(2)当 x0 时，函数 g(x) (a0)的最小值大于函数 f(x)，试求实数 a 的取ax2 x 1x9值范围解：(1)当 x2 时，原不等式可化为 x2 x11，解集为.当1 x2 时，原不等式可化为 2 x x11，即1 x1，即 x0 时， f(x)Error!所以 f(x)3,1)，所以 2 11，即 a1，a故实数 a 的取值范围是1
9、，)10已知 f(x)| ax2| ax a|(a0)(1)当 a1 时，求 f(x) x 的解集；(2)若不存在实数 x，使 f(x)3 成立，求 a 的取值范围解：(1)当 a1 时，f(x)| x2| x1| x，当 x2 时，原不等式可转化为 x2 x1 x，解得 x3；当 1 x2 时，原不等式可转化为 2 x x1 x，解得 x1， x；当 x1 时，原不等式可转化为 2 x1 x x，解得 x1.综上可得， f(x) x 的解集为 x|x1 或 x3(2)依题意，对 xR，都有 f(x)3，则 f(x)| ax2| ax a|( ax2)( ax a)| a2|3， a23 或 a23， a5 或 a1(舍去)， a 的取值范围是5，)10
