1、111.1 命 题预习课本 P24，思考并完成以下问题1命题、真命题、假命题的概念分别是什么？2在命题“若 p，则 q”的形式中， p、 q 分别叫做命题的什么？新 知 初 探 命题Error!点睛 (1)判断一个语句是命题的两个要素：是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；可以判断真假(2)命题的形式：有的命题有明确的条件 p 和结论 q，而有的命题不明显确定命题的条件和结论时，最好把命题写成“若 p，则 q”的形式小 试 身 手 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”)(1)“集合 a， b， c有 3 个子集”是命题( )(2)“x23 x20”是命题( )答案：(1)
2、 (2)2语句“若 ab，则 a cb c”( )A不是命题 B是真命题C是假命题 D不能判断真假答案：B3下列语句中，是假命题的是( )A一条直线有且只有一条垂线B不相等的两个角一定不是对顶角C直角的补角必是直角2D两直线平行，同旁内角互补答案：A4把命题“末位数字是 4 的整数一定能被 2 整除”改写成“若 p，则 q”的形式为_答案：若一个整数的末位数字是 4，则它一定能被 2 整除命题的概念典例 判断下列语句是否是命题，并说明理由(1) 是有理数； 3(2)3x25；(3)梯形是不是平面图形呢？(4)一个数的算术平方根一定是负数解 (1)“ 是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命
3、题 3(2)因为无法判断“3 x25”的真假，所以它不是命题(3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题(4)“一个数的算术平方根一定是负数”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题判断语句是否是命题的策略(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题 活学活用判断下列语句是否为命题，并说明理由(1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形；(2)任何集合都是它自己的子集；(3)对顶角相等吗？(4)x3.解：(1)是陈述句，能判断真假，是命题(2)是陈述句，能判断
4、真假，是命题(3)不是陈述句，不是命题(4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题.3判断命题的真假典例 判断下列命题的真假，并说明理由(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当 x4 时，2 x11 时，该数列为递减数列命题真假的判定方法(1)真命题的判断方法要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证(2)假命题的判断方法通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法 活学活用1下列命题中，为假命题的是( )A若 a0，则 2a1B若 0，则 x y0x yC若 b2 ac，则 a， b， c 成等比数列
5、D若 sin sin ，则不一定有 解析：选 C A 选项，若 a0，则 2a1，正确；B 选项，若 0，可得 x y0，x y正确；C 选项，若 b2 ac，可知 b a c0 也成立，显然不是等比数列故选 C.2判断下列语句是否为命题，并判断命题的真假(1)一个正整数不是素数就是合数；(2)若 x y 和 xy 都是有理数，则 x， y 都是有理数；(3)60x94；(4)若 xN，则 x24 x70.解：(1)该语句是命题由于整数 1 既不是素数，也不是合数，所以它是假命题(2)该语句是命题. ( )和 ( )都是有理数，但 ， 都是无理数，3 3 3 3 3 3所以它是假命题(3)这种
6、含有未知数的语句中，不等式是否恒成立无法确定，即不能判断其真假，所以4它不是命题(4)因为当 xN 时， x24 x70 恒成立，所以该语句是命题，且是真命题命题的结构形式典例 将下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断命题的真假(1)6 是 12 和 18 的公约数；(2)当 a1 时，方程 ax22 x10 有两个不等实根；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)已知 x， y 为非零自然数，当 y x2 时， y4， x2.解 (1)若一个数是 6，则它是 12 和 18 的公约数，是真命题(2)若 a1，则方程 ax22 x10 有两个不等实根，是假命题(3)若一个四边形是平行四
7、边形，则它的对角线互相平分，是真命题(4)已知 x， y 为非零自然数，若 y x2，则 y4， x2，是假命题将命题改写为“若 p，则 q”形式的方法及原则注意 命题改写中的注意点若命题不是以“若 p，则 q”这种形式给出时，首先要确定这个命题的条件 p 和结论q，进而改写成“若 p，则 q”的形式 活学活用把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断命题的真假(1)奇数不能被 2 整除；(2)当( a1) 2( b1) 20 时， a b1；(3)两个相似三角形是全等三角形；(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行解：(1)若一个数是奇数，则它不能被 2 整除，是真命题(2)若(
8、 a1) 2( b1) 20，则 a b1，是真命题(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题5层级一 学业水平达标1下列语句不是命题的有( )若 ab， bc，则 ac； x2；30，且 a1)在 R 上是增函数A0 个 B1 个C2 个 D3 个解析：选 C 是可以判断真假的陈述句，是命题；不能判断真假，不是命题2已知命题“非空集合 M 中的元素都是集合 P 中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为( ) M 中的元素都不是 P 的元素； M 中有不属于 P 的元素； M 中有属于 P
9、的元素； M 中的元素不都是 P 的元素A1 B2C3 D4解析：选 B 错误；正确3给出命题“方程 x2 ax10 没有实数根” ，则使该命题为真命题的 a 的一个值可以是( )A4 B2C0 D3解析：选 C 方程无实根时，应满足 a24x，则 x1；函数 y x3是指数函数其中假命题的个数为( )A1 B2C3 D4解析：选 C 中，显然 l m 或 l 与 m 重合，所以是假命题；由基本不等式，知是真命题；中，由 x2x，得 x1，所以是假命题；中，函数 y x3是幂函数，不是指数函数，所以是假命题故选 C.6下列语句中是命题的有_(填序号)，其中是真命题的有_(填序号)垂直于同一条直
10、线的两条直线必平行吗？一个数不是正数就是负数；大角所对的边大于小角所对的边； ABC 中，若 A B，则 sin Asin B；求证方程 x2 x10 无实根解析：疑问句没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；是假命题，0 既不是正数也不是负数；是假命题，没有考虑在同一个三角形内；是真命题；祈使句，不是命题答案： 7给出下列命题：22 340 能被 3 或 5 整除；不存在 xR，使得 x2 x1 x；方程 x22 x30 有两个不等的实根其中假命题有_(填序号)解析：易知为真命题；中 4120 不成立”是真命题，则实数 a 的取值范围是_解析： ax22 ax30 不成立
11、， ax22 ax30 恒成立当 a0 时，30 恒成7立；当 a0 时，则有Error!解得3 a 时， mx2 x10 无实根；14(2)奇函数的图象关于原点对称；(3)与同一直线平行的两个平面平行；(4)能被 6 整除的数既能被 3 整除也能被 2 整除解：(1)原命题可以改写成：若 m ，则 mx2 x10 无实根14因为 14 m a， B： x1，请选择适当的实数 a，使得利用 A， B 构造的命题“若 p，则 q”为真命题解：若视 A 为 p，则命题“若 p，则 q”为“若 x ，则 x1”由命题为真命题可1 a5知 1，解得 a4；1 a5若视 B 为 p，则命题“若 p，则
12、q”为“若 x1，则 x ”由命题为真命题可知1 a51，解得 a4.1 a5故 a 取任一实数均可利用 A， B 构造出一个真命题，比如这里取 a1，则有真命题“若 x1，则 x ”25层级二 应试能力达标1下列命题为真命题的是( )A若 ，则 x y B若 x21，则 x11x 1yC若 x y，则 D若 x0caC如果 MN，那么 M N MD在 ABC 中，若 0，则 B 为锐角AB BC 解析：选 B ysin 2x ， T ，故 A 为假命题；当 MN 时，1 cos 2x2 22M N N，故 C 为假命题；在三角形 ABC 中，当 0 时，向量 与 的夹角AB BC AB BC
13、 为锐角， B 应为钝角，故 D 为假命题故选 B.5命题“若 a0，则二元一次不等式 x ay10 表示直线 x ay10 的右上方区域(包括边界)”条件 p：_，结论 q：_.它是_命题(填“真”或“假”)解析： a0 时，设 a1，把(0,0)代入 x y10 得10 不成立， x y10 表示直线的右上方区域(包括边界)，命题为真命题答案： a0 二元一次不等式 x ay10 表示直线 x ay10 的右上方区域(包含边界) 真6函数 f(x)的定义域为 A，若当 x1， x2 A 且 f(x1) f(x2)时，总有 x1 x2，则称9f(x)为单函数例如，函数 f(x)2 x1( x
14、R)是单函数下列命题：函数 f(x) x2(xR)是单函数；指数函数 f(x)2 x(xR)是单函数；在定义域上具有单调性的函数一定是单函数其中的真命题是_(填序号)解析：由 x x ，未必有 x1 x2，故为假命题；对于 f(x)2 x，当 f(x1) f(x2)时21 2一定有 x1 x2，故为真命题；当函数在其定义域上单调时，一定有“若 f(x1) f(x2)，则 x1 x2”，故为真命题故真命题是.答案：7已知 p： x22 x2 m 的解集为 R； q：函数 f(x)(73 m)x是减函数若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数 m 的取值范围解：若命题 p 为真命题，由 x22
15、x2( x1) 21 m，可知 m1；若命题 q 为真命题，则 73 m1，即 m2.命题 p 和 q 中有且只有一个是真命题，则 p 真 q 假或 p 假 q 真，即Error! 或Error!所以 1m2.故实数 m 的取值范围是(1,2)8试探究命题“方程 ax2 bx10 有实数解”为真命题时， a， b 满足的条件解：方程 ax2 bx10 有实数解，要考虑方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况：当 a0 时，方程 ax2 bx10 为 bx10，只有当 b0 时，方程有实数解x ；1b当 a0 时，方程 ax2 bx10 为一元二次方程，方程有实数解的条件为 b24 a0.综上知，当 a0， b0 或 a0， b24 a0 时，方程 ax2 bx10 有实数解10
