1、132.2 空间线面关系的判定对 应 学 生 用 书 P65以前人们为夯实地面，采用的是一种由三人合作使用的石制工具，石墩上有三个石耳，用三根粗绳子拴着，三个人站在三个方位上，同时拉绳子使石墩离开地面，然后落下石墩夯实地面若三个人所站方位使得绳子两两成等角，且与水平地面所成角为 45，为了使重量为 100 kg 的石墩垂直离开地面每个人至少需要用 kg 的力10023问题 1：在空间中给定一个定点 A(一个石耳)和一个定方向(绳子方向)，能确定这条直线在空间的位置吗？提示：能问题 2：石墩下落的过程中，石墩所在的直线和地面垂直吗？提示：垂直问题 3：若一条直线平行于平面，直线的方向向量 u 和
2、平面的的法向量 n 有什么关系？若直线垂直于平面呢？提示： u n， u n. 1空间中平行关系的向量表示设两直线 l、 m 的方向向量分别为 a， b，两平面 、 的法向量分别为 u， v，则线线平行 l ma kb，( kR)线面平行 l a uau0面面平行 u vu kv(kR)2空间垂直关系的向量表示设直线 l， m 的方向向量分别为 a， b，平面 ， 的法向量分别为 u， v，则线线垂直 l mab0线面垂直 l a ua ku，( kR)面面垂直 u v uv02用空间向量解决立体几何问题的步骤为(1)化为向量问题：用空间向量表示立体图形中点、线、面等元素(2)进行向量运算：进
3、行空间向量的运算，研究点、线、面之间的关系(3)回到图形问题：把运算结果“翻译”成相应的几何意义对 应 学 生 用 书 P65证明线线垂直例 1 在棱长为 a 的正方体 OABC O1A1B1C1中， E、 F 分别是 AB、 BC 上的动点，且AE BF，求证： A1F C1E.思路点拨 先将与 1用向量表示，利用向量法证明精解详析 以 O 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1(a,0， a)，C1(0， a， a)设 AE BF x， E(a， x,0)， F(a x， a,0) 1A( x， a， a)，C( a， x a， a) 1 ( x， a， a)(a， x a， a
4、) ax ax a2 a20， 1AF E，即 A1F C1E.一点通 3利用空间向量证明线线垂直的方法：(1)坐标法：根据图形的特征，建立适当的直角坐标系，准确地写出相关点的坐标，表达出两直线的方向向量，证明其数量积为零(2)基向量法：利用向量的加减运算律，结合图形，将要证明的两直线所在的向量用基向量表达出来，利用数量积运算说明两向量的数量积为 0.1.如图，已知正三棱柱 ABC A1B1C1的各棱长都为 1， M 是底面上 BC 边的中点， N 是侧棱 CC1上的点，且 CN CC1.14求证： AB1 MN.证明：法一：(基向量法)设 AB a， C b， 1A c，则由已知条件和正三棱
5、柱的性质，得|a| b| c|1，ac bc0，1 a c， M (a b)，12AN b c， AN a b c，14 12 12 14 1B ( a c)(12a 12b 14c) cos 60 0.12 12 14 1A MN， AB1 MN.法二：(坐标法)设 AB 中点为 O，作 OO1 AA1.以 O 为坐标原点，以 OB， OC， OO1所在直线分别为 x 轴，y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系由已知得 A ，(12， 0， 0)4B ，(12， 0， 0)C ， N ，(0，32， 0) (0， 32， 14)B1 ，(12， 0， 1) M 为 BC 中点， M .
6、(14， 34， 0) N ， 1AB(1,0,1)，(14， 34， 14) 1 0 0.14 14 ， AB1 MN.2直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，底面 ABCD 是矩形， AB2， AD1， AA13， M 是 BC的中点在 DD1上是否存在一点 N，使 MN DC1？并说明理由解：如图所示，建立以 D 为坐标原点， DA， DC， DD1所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴的空间直角坐标系，则 C1(0,2,3)， M( ，2,0)，12D(0,0,0)，设存在 N(0,0， h)，则 M ，(12， 2， h)1C(0,2,3)，N 1D (0,2,3)43 h，(
7、12， 2， h)当 h 时， 1C0，43此时 M 1，存在 N DD1，使 MN DC1.证明平行关系例 2 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2， E、 F 分别是 BB1、 DD1的中点，求证：(1)FC1平面 ADE；(2)平面 ADE平面 B1C1F.5思路点拨 建立直角坐标系，求得平面的法向量，利用法向量的关系来确定线面平行，面面平行精解详析 如图，建立空间直角坐标系 D xyz，则D(0,0,0)， A(2,0,0)， C(0,2,0)， C1(0,2,2)， E(2，2,1)，F(0,0,1)，所以 1(0,2,1)， D(2,0,0)， A(0,2,1)设 n
8、1( x1， y1， z1)，n2( x2， y2， z2)分别是平面 ADE、平面 B1C1F 的法向量，则 n1 DA， n1 E，Error!Error! 取 y1，则 n1(0,1，2)同理可求 n2(0,1，2)(1) n1FC(0,1，2)(0,2,1)0， n1 ，又 FC1平面 ADE， FC1平面 ADE. (2) n1 n2，平面 ADE平面 B1C1F.一点通 利用向量法证明几何体的平行问题的途径：(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系(2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明3如图，在正方体
9、ABCD A1B1C1D1中， O1为 B1D1的中点，求证：BO1平面 ACD1.证明：法一：以 D 为原点， A， C， 1分别为 x， y， z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为 2，则 A(2,0,0)， D1(0,0,2)， C(0,2,0)， B(2,2,0)， O1(1,1,2)， 1(2,0,2)， 1(0，2,2)，BO(1，1，2)，6 1BO 1AD 1C，12 12 与 ， 共面， 1平面 ACD1.又 BO1平面 ACD1， BO1平面 ACD1.法二：在证法一建立的空间直角坐标系下，取 AC 的中点 O，连接 D1O，则 O(1,1,0)， 1D
10、O(1,1，2)又 B(1，1,2)， 1DO 1B， .又 1与 1不共线， D1O BO1.又 BO1平面 ACD1， BO1平面 ACD1.4长方体 ABCD A1B1C1D1中，DA2， DC3， DD14， M， N， E， F 分别是棱A1D1， A1B1， D1C1， B1C1的中点，求证：平面 AMN平面 EFBD.证明：建立如右图所示的空间直角坐标系，取 MN、 DB 及 EF 的中点 R， T， S，则A(2,0,0)， M(1,0,4)，N ， D(0,0,0)，(2，32， 4)B(2,3,0)， E ，(0，32， 4)F(1,3,4)， R ，(32， 34， 4)
11、S ， T ，(12， 94， 4) (1， 32， 0) MN ， EF ，(1，32， 0) (1， 32， 0)AR ， S ，(12， 34， 4) ( 12， 34， 4) ， T， NEF， RTS，得 MN EF， AR TS， MN平面 EFBD， AR平面 EFBD，又 MN AR R，平面 AMN平面 EFBD.7证明线面垂直例 3 如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E、 F 分别是B1B、 DC 的中点，求证： AE平面 A1D1F.思路点拨 先建立空间直角坐标系，写出相关向量的坐标，证明AE 1D， 1即可精解详析 设正方体的棱长为 1，如图所示，建立
12、空间直角坐标系，则 A(1,0,0)， E ，(1， 1，12)A1(1,0,1)， D1(0,0,1)，F .(0，12， 0) E ，(0， 1，12)1AD(1,0,0)， 1F ，(0，12， 1) 10(1)10 00，12E 1 0，12 12 A D， 1F.即 AE A1D1， AE D1F，又 A1D1 D1F D1， AE平面 A1D1F.一点通 用向量法证明线面垂直的方法及步骤：(1)基向量法：设出基向量，然后表示直线的方向向量找出平面内两条相交直线的向量并用基向量表示利用数量积计算(2)坐标法：建立空间坐标系，将直线的方向向量用坐标表示求平面内任意两条相交直线的方向向量
13、或平面的法向量证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量垂直或与平面的法向量平行85如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别为 BB1， D1B1的中点，求证： EF平面 B1AC.证明：设正方体的棱长为 2，建立如图所示的直角坐标系，则A(2,0,0)， C(0,2,0)， B1(2,2,2)， E(2，2,1)， F(1,1,2)法一： EF(1，1,1)， 1A(0,2,2)，(2,2,0) ， 1(1，1,1)(0,2,2)0，AC(1，1,1)(2,2,0)0， EF AB1， EF AC，又 AB1 AC A， EF平面 B1AC.法二：设平面 B1AC
14、的法向量为 n( x， y， z)又 1(0,2,2)，(2,2,0)， AB1 AC A，则Error! Error!令 x1，可得平面 B1AC 的一个法向量为 n(1,1，1)又 EF(1，1,1)1(1,1，1) n. n， EF平面 B1AC.6.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 E 是棱 BC 的中点，点 F 是棱 CD 上的动点确定 F 点的位置，使得 D1E平面 AB1F.解：以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系设 DF x，则 A(0,0,0)， B(1,0,0)，D(0,1,0)， A1(0,0,1)， B1(1,0,1)，D1(0
15、,1,1)， E ，(1，12， 0)F(x，1,0)9 1DE ，(1， 12， 1)AB(1,0,1)， F( x,1,0) 1 1110，即 D1E AB1.由 D1E平面 AB1FD1E AFAF0x 0，即 x .又 AB1 AF A，12 12当点 F 是 CD 的中点时， D1E平面 AB1F.证明面面垂直例 4 在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E 是棱 BC 的中点，试在棱 CC1上求一点 P，使得平面 A1B1P平面 C1DE.思路点拨 画 图 建 系写 出 相 关 点 的 坐 标并 设 出 点 P的 坐 标 相 关 向 量 坐 标 .求 出 平 面 A1B1P与平
16、 面 C1DE的 法 向 量 列 方 程 求 出点 P的 坐 标 确 定 点 P位 置精解详析 如图，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则 A1(1,0,1)， B1(1,1,1)， E ， C1(0,1,1)(12， 1， 0)设点 P 的坐标为(0,1， a) 1(0,1,0)， 1AP(1,1， a1)， DE ， 1C(0,1,1)(12， 1， 0)设平面 A1B1P 的一个法向量为 n1( x1， y1， z1)，则Error! Error!令 z11，则得 x1 a1，所以平面 A1B1P 的一个法向量为 n1( a1,0,1)设平面 C1DE 的一个法向量为 n2( x2，
17、 y2， z2)，则Error! 即Error!Error!取 y21，则得 x22， z21，平面 C1DE 的一个法向量为 n2(2,1，1)，因为平面 A1B1P平面 C1DEn1 n2.n1n202( a1)10，10 a .12故当点 P 为 CC1的中点时，平面 A1B1P平面 C1DE.一点通 证明面面垂直的方法：(1)利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直问题；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直(2)向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰
18、当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法很“公式化” 7.如图，在五面体 ABCDEF 中， FA平面ABCD， AD BC FE， AB AD， M 为 EC 的中点， AF AB BC FE AD.求12证：平面 AMD平面 CDE.证明：法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点 A 为坐标原点，设 AB1，依题意得 B(1,0,0)，C(1,1,0)， D(0,2,0)， E(0,1,1)，F(0,0,1)， M .(12， 1， 12)则 A ， C(1,0,1)， AD(0,2,0)(12， 1， 12) E 0 0，12 12 AM CE，又 D 0，
19、AD CE，又 AM AD A， CE平面 AMD.而 CE平面 CDE，所以平面 CDE平面 AMD.法二：由法一得 CE(1,0,1)， E(0，1,1)，AD(0,2,0)， M( ，1， )12 12设平面 CDE 的法向量为 u( x， y， z)，11则Error!于是Error!令 x1，可得 u(1,1,1)设平面 AMD 的法向量为 v( x， y， z)，则Error! 于是Error!令 z1，可得 v(1,0,1) uv(1,1,1)(1,0,1)1010. u v.平面 CDE平面 AMD.8在四面体 ABCD 中， AB平面 BCD， BC CD， BCD90， A
20、DB30， E、 F 分别是 AC、 AD 的中点，求证：平面 BEF平面 ABC.证明：建系如图，取 A(0,0， a)，则易得 B(0,0,0)， C ，(32a， 32a， 0)D(0， a,0)， E ， F(0， a， )，3 (34a， 34a， a2) 32 a2则有 F ，(34a， 34a， 0)BA(0,0， a)， C ，(32a， 32a， 0) E 0， B0， EF AB， EF BC.又 AB BC B， EF平面 ABC.又 EF平面 BEF，平面 BEF平面 ABC.9在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AA12 AB2 BC， E， F， E1分别是棱
21、AA1， BB1， A1B1的中点求证：(1)CE平面 C1E1F；(2)平面 C1E1F平面 CEF.证明：以 D 为原点， DA， DC， DD1所在的直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 D xyz，设 BC1，12则 C(0,1,0)， E(1,0,1)， C1(0,1,2)， F(1,1,1)， E1 .(1，12， 2)(1)设平面 C1E1F 的法向量 n( x， y， z)， 1 ， 1(1,0,1)，(1， 12， 0)Error! 即Error!令 x1，得 n(1,2,1) CE(1，1,1)， nCE1210， n.又 CE平面 C1E1F， CE平面
22、C1E1F.(2)设平面 EFC 的法向量为 m( a， b， c)，(0,1,0)，(1,0，1)，Error! 即Error!令 a1，得 m(1,0,1) nm1(1)2011110，平面 C1E1F平面 CEF.1利用向量方法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现，一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；二是通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明2用向量法处理空间中垂直关系的关键是求得直线的方向向量和平面的法向量，借助直线的方向向量与平面的法向量之间的关系确定空间中的线面垂直问题对应课时跟踪训练(二十四) 1若
23、两平面 ， 的法向量分别为 u(2，3,4)， v ，则 与 (23， 1， 43)的位置关系是_解析： u3 v， u v， .答案：平行2若平面 、 的法向量分别为(1,2,4)，( x，1，2)，并且 ，则 x 的13值为_解析： ， x280. x10.答案：103在正方体 ABCD A1B1C1D1中， O 是 B1D1的中点，则 B1C 与平面 ODC1的关系是_解析： 1BC 1 1 1 1 OD， 1， 1C，OD共面又 B1C 不在平面 ODC1内， B1C平面 ODC1.答案：平行4若 A E ( ， R)，则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是_解析： B CD (
24、， R)，与 ，共面 AB平面 CDE 或 AB平面 CDE.答案： AB平面 CDE 或 AB平面 CDE5已知 AB(1,5，2)， BC(3,1， z)，若 AB C， P( x1， y，3)，且 BP平面 ABC，则( x， y， z)等于_解析： 352 z0，故 z4.P x15 y60，且 B C3( x1) y120，得 x ， y .407 157答案： (407， 157， 4)6如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面ABCD， PD DC， E 为 PC 的中点， EF BP 于点 F.求证：(1)PA平面 EDB；(2)PB平面 EF
25、D.证明：以 D 为坐标原点， DA， DC， DP 所在直线分别为 x 轴， y 轴，14z 轴建立空间直角坐标系 D xyz，如图，设 DC PD1，则 P(0,0,1)， A(1,0,0)， D(0,0,0)，B(1,1,0)， E .(0，12， 12) P(1,1，1)， ， EB ，设 F(x， y， z)，则(0，12， 12) (1， 12， 12)F( x， y， z1)， F .(x， y12， z 12) E B， x 0，即 x y z0.(y12) (z 12)又 P ，可设 P B， x ， y ， z1 .由可知， x ， y ， z ，13 13 23 EF .
26、(13， 16， 16)(1)设 n1( x1， y1， z1)为平面 EDB 的一个法向量，则有Error!Error!取 z11，则 n1(1,1，1) PA(1,0，1)， PAn10.又 PA平面 EDB， PA平面 EDB.(2)设 n2( x2， y2， z2)为平面 EFD 的一个法向量，则有Error! Error!取 z21，则 n2(1，1,1) PB n2， PB平面 EFD.7如图所示，在四棱锥 P ABCD 中， PC平面 ABCD， PC2，在四边形 ABCD 中， B C90， AB4， CD1，点 M 在 PB 上，PB4 PM， PB 与平面 ABCD 成 3
27、0的角求证：(1)CM平面 PAD；(2)平面 PAB平面 PAD.证明：以 C 为坐标原点， CB 所在直线为 x 轴， CD 所在直线为y 轴， CP 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz. PC平面 ABCD， PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角， PBC30. PC2， BC2 ， PB4.315 D(0,1,0)， B(2 ，0,0)， A(2 ，4,0)， P(0,0,2)， M ，3 3 (32， 0， 32) P(0，1,2)， D(2 ，3,0)， C ，3 (32， 0， 32)(1)法一：令 n( x， y， z)为平面 PAD 的一个法向量
28、，则Error!即Error!Error!令 y2，得 n( ，2,1)3 nCM 201 0，332 32 n ，又 CM平面 PAD， CM平面 PAD.法二： PD(0,1，2)， PA(2 ，4，2)，3令 x y ，则Error!方程组有解为Error! C ，由共面向量定理知 CM与 PD， A共面，14又 CM平面 PAD， CM平面 PAD.(2)取 AP 的中点 E，连接 BE，则 E( ，2,1)，3B( ，2,1)，3 PB AB，则 BE PA.又 BEDA( ， 2,1)(2 ，3,0)0，3 3 BE， BE DA，又 PA DA A. BE平面 PAD，又 BE平
29、面 PAB，平面 PAB平面 PAD.8.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，用向量法证明：(1)平面 A1BD平面 CB1D1；(2)AC1平面 A1BD.证明：建系如图，设正方体的棱长为 1.则 A1(1,0,1)、 B(1,1,0)、 D1(0,0,1)、 B1(1,1,1)、 C(0,1,0)、 A(1,0,0)、C1(0,1,1)(1) 1AD(1,0，1)，161AB(0,1，1)，D(1,1,0)，1C(0,1，1)，设平面 A1BD 的一个法向量为 n1( x1， y1， z1)，则Error! Error!令 z11，得 x11， y11.平面 A1BD 的一个法向量为 n1(1,1,1)设平面 CB1D1的一个法向量为 n2( x2， y2， z2)，则Error! Error!令 y21，得 x21， z21， n2(1,1,1) n1 n2，即 n1 n2.平面 A1BD平面 CB1D1.(2)又 C(1,1,1)， 1AC n1. 1是平面 A1BD 的一个法向量，平面 A1BD.
