1、13.1.3 空间向量基本定理对 应 学 生 用 书 P53空间向量基本定理某次反恐演习中，一特别行动小组获悉：“恐怖分子”将“人质”隐藏在市华联超市往南 1 000 m，再往东 600 m 处的某大厦 5 楼(每层楼高 3.5 m)，行动小组迅速赶到目的地，完成解救“人质”的任务 “人质”的隐藏地由华联超市“南 1 000 m”、 “东 600 m”、 “5楼”这三个量确定，设 e1是向南的单位向量， e2是向东的单位向量， e3是向上的单位向量问题：请把“人质”的位置用向量 p 表示出来提示： p1 000 e1600 e214 e3. 1空间向量基本定理如果三个向量 e1， e2， e3
2、不共面，那么对空间任一向量 p，存在惟一的有序实数组(x， y， z)，使 p xe1 ye2 ze3.2推论设 O、 A、 B、 C 是不共面的四点，则对空间任意一点 P，都存在惟一的有序实数组(x， y， z)，使得 P x yOB z C .基底空间任何一个向量，都可以用空间任意三个向量惟一表示吗？提示：不一定，由空间向量基本定理知，只有三个向量 e1， e2， e3不共面时，空间任何一向量才可以用 e1， e2，e 3惟一表示，否则不可能表示1基底和基向量如果三个向量 e1、 e2、 e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量 e1、 e2、 e3线性表示，我们把 e1， e2， e3
3、称为空间的一个基底， e1， e2， e3叫做基向量2正交基底和单位正交基底如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底2特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用 i， j， k表示1空间向量基本定理表明，用空间三个不共面向量组 a， b， c可以线性表示出空间的任意一个向量，而且表示的结果是惟一的2空间中的基底是不惟一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底对 应 学 生 用 书 P54基底的概念例 1 若 a， b， c是空间的一个基底试判断 a b， b c， c a能否作为该空间的一个基底思路点拨 判断 a b
4、， b c， c a 是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底精解详析 假设 a b， b c， c a 共面，则存在实数 、 使得 a b (b c) (c a)， a b b a( )c. a， b， c为基底， a， b， c 不共面Error! 此方程组无解， a b， b c， c a 不共面 a b， b c， c a可以作为空间的一个基底一点通 空间中任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，所以空间中的基底有无穷多个但是空间中的基底一旦选定，某一向量对这一基底的线性表示只有一种，即在基底 a， b， c下，存在惟一的有序实数组( x， y， z)，使得
5、p xa yb zc.证明三个向量能否构成空间的一个基底，就是证明三个向量是否不共面，证明三个向量不共面常用反证法并结合共面向量定理来证明1设 x a b， y b c， z c a，且 a， b， c是空间的一个基底给出下列向量组： a， b， x， x， y， z， b， c， z， x， y， a b c其中可以作为空间的基底的向量组有_个3解析：如图所设 a AB， b 1， c AD，则 x 1B， y1AD， z C， a b c .由 A， B1， D， C 四点不共面可知向量x， y， z 也不共面同理可知 b， c， z 和 x， y， a b c 也不共面，可以作为空间的基
6、底因为 x a b，故 a， b， x 共面，故不能作为基底答案：32已知 e1， e2， e3是空间的一个基底，且OA e12 e2 e3， OB 3e1 e22 e3， OC e1 e2 e3，试判断 OA， B， C能否作为空间的一个基底？若能，试以此基底表示向量 D2 e1 e23 e3；若不能，请说明理由解：假设、 、共面，由向量共面的充要条件知，存在实数 x、 y 使A x B y C成立 e12 e2 e3 x(3 e1e 22 e3) y(e1 e2 e3)(3 x y)e1( x y)e2(2 x y)e3. e1， e2， e3是空间的一个基底， e1， e2， e3不共面
7、，Error! 此方程组无解，即不存在实数 x、 y 使 OA x B y C， A， B， C不共面故 ， ， 能作为空间的一个基底，设 D p q z ，则有 2e1 e23 e3 p(e12 e2 e3) q(3 e1 e22 e3) z(e1 e2 e3)( p3 q z)e1(2 p q z)e2( p2 q z)e3. e1， e2， e3为空间的一个基底，Error! 解得Error! OD17 A5 B30 OC.用基底表示向量例 2 如图所示，空间四边形 OABC 中， G、 H 分别是 ABC、 OBC 的重心，设OA a， B b， C c，试用向量 a、 b、 c 表示
8、向量.思路点拨 GH O 用 D表示 O 用 B、 C表示 OD，用4OA、 G表示 用 AD表示 G 用 OD、 A表示 用 OB、 C表示D精解详析 H O， H，23 ( B C) (b c)，23 12 13OG A AD23 ( ) O ( B C)23 13 23 12 a (b c)，13 13 GH (b c) a (b c) a，13 13 13 13即 a.13一点通 用基底表示向量的方法及注意的问题：(1)结合已知条件与所求结论，观察图形，就近表示所需向量(2)对照目标，将不符合目标要求的向量作为新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止(3)在进行向量的
9、拆分过程中要正确使用三角形法则及平行四边形法则3. 如图，已知正方体 ABCD A B C D，点 E 是上底面A B C D的中心，求下列各式中 x、 y、 z 的值(1) x y z ；(2) E x y z .解：(1) B A C D ，又 x y zA， x1， y1， z1.(2) AE C125 A ( B D)12 12 12 12 12又 AE x D y B zA x ， y ， z1.12 124如图，四棱锥 P OABC 的底面为一矩形， PO平面 OABC，设O a， C b， O c， E， F 分别是 PC 和 PB 的中点，试用a， b， c 表示： B， A，
10、.解：连接 BO，则 P (B O) (c b a) a b c.12 12 12 12 12 12E C a a (C P) a b c.12 12 12 12A P A ( ) a c ( c b)12 12 a b c.12 12EF CB O a12 12 12.空间向量基本定理的应用例 3 证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点互相平分思路点拨 利用空间向量基本定理，只要证明四条对角线的中点与 A 点所构成的向量的线性表示是同一种形式即可精解详析 如图所示，平行六面体 ABCD A1B1C1D1，设点 O 是 AC1的中点，则 AO 1C12 ( B 1)126 (AB D 1
11、)，12设 P， M， N 分别是 BD1， CA1， DB1的中点，则 1B12 AB ( D 1)12 ( 1A) ( D A 1)，12 12同理可证： M ( B 1)， N ( B 1)12 12由此可知， O， P， M， N 四点重合故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分一点通 用空间向量基本定理证明立体几何问题的步骤：(1)作出空间几何体的图形；(2)将立体几何问题转化为空间向量问题，选取一组不共面的向量作基底；(3)用基向量将其它向量表示出来；(4)利用向量的性质得到向量的关系，进而得到几何结论5求证：在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， 1AB D2 1
12、C.证明：因为平行六面体的六个面均为平行四边形，所以 ，1AB 1， 1， C ( D)( AB 1)( 1D A)2( )，又 1 ， C， 1 1 C， AC B D2 1A.6如图， M、 N 分别是四面体 OABC 的边 OA、 BC 的中点， P、 Q 是 MN 的三等分点，用向量 O、 、表示 P和 Q.7解： OP M OA N12 23 A ( N ) ( A)12 23 12 23 12 ( B C) B C.16 23 12 16 13 13OQ OA12 13 A ( N M) ( N OA)12 13 12 13 12 ( B C) B C.13 13 12 13 16
13、 161空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量组 a， b， c可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的2空间任意三个不共面的向量 a、 b、 c 皆可构成空间向量的一个基底，因此，基底有无数个，所以基底往往选择具有特殊关系的三个不共面向量作为基底3由于 0 可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个基向量中，就隐含着它们都不是 0.对应课时跟踪训练(二十) 1空间中的四个向量 a， b， c， d 最多能构成基底的个数是_解析：当四个向量任何三个向量都不共面时，每三个就可构成一个基底，共有 4 组答案：42.如图所示，设 O 为 ABCD 所在平
14、面外任意一点， E 为 OC 的中点，若 AE D x B y A，则 x_， y_.12解析： OC128 (OD C) A12 B12 12 ( ) O12 12 OD A，12 12 32 x ， y .12 32答案： 12 323已知空间四边形 OABC，其对角线为 AC、 OB， M、 N 分别是 OA、 BC 的中点，点 G 是MN 的中点，取 OA， B， C为基底，则 OG_.解析： 如图， G ( )12 M ( )12 12 12 OA B C14 14 14 ( )14答案： ( )144平行六面体 ABCD A B C D中，若 A x B2 y C3 z ，则x y
15、 z_.解析： x 2 y 3 z ， x1,2 y1，3 z1，即 x1， y ， z .12 13 x y z1 .12 13 76答案：765设 a、 b、 c 是三个不共面向量，现从 a b， a b， a c， b c， a b c 中选出一个使其与 a、 b 构成空间向量的一个基底，则可以选择的向量为_(填写序号)9解析：根据基底的定义， a， b， c 不共面， a c， b c， a b c 都能与 a， b 构成基底答案：6若 a e1 e2 e3， b e1 e2 e3， c e1 e2 e3， d e12 e23 e3， d a b c，求 、 、 的值解：由题意 a、
16、b、 c 为三个不共面的向量，所以由空间向量定理可知必然存在惟一的有序实数对 ， ， ，使 d a b c， d (e1 e2 e3) (e1 e2 e3) (e1 e2 e3)( )e1( )e2( )e3.又 d e12 e23 e3，Error!解得Error!7.如图所示，平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， M， N 分别是 AC 和 A1D 的一个三等分点，且 ， 2，设 a， b， 1 c，试用 a， b， c 表示 N.AMMC 12 A1NND解：如图所示，连接 AN，则 由 ABCD 是平行四边形，可知 AC B a b，M (a b)13 13ND 1 (b c)，13 13A AD N b (b c) (c2 b)，13 13所以 (a b) (c2 b)13 13 ( a b c)138如图所示，平行六面体 OABC O A B C，且 a， OC b， c，用a， b， c 表示如下向量：10(1) OB、 、 AC；(2)GH (G、 H 分别是 B C 和 O B的中点)解：(1) a b c，B A c a b a b c， AC A O C b c a.(2)GH G OH ( B ) ( B )12 12 (a b c b) (a b c c)12 12 (c b)12
