1、131.2 共面向量定理对 应 学 生 用 书 P50如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，观察下列几组向量，回答问题问题 1： AB、 、 1可以移到一个平面内吗？提示：可以，因为 ，三个向量可移到平面 ABCD 内问题 2： 1， C， 1三个向量的位置关系？提示：三个向量都在平面 ACC1A1内问题 3： 1B、 、 D三个向量是什么关系？提示：相等 1共面向量一般地，能够平移到同一平面内的向量叫做共面向量2共面向量定理如果两个向量 a， b 不共线，那么向量 p 与向量 a， b 共面的充要条件是存在有序实数组( x， y)，使得 p xa yb.1空间中任意两个向量都是共
2、面的，空间中任意三个向量可能共面，也可能不共面2向量共面不具有传递性3共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平面，它是判定三个向量是否共面的依据对 应 学 生 用 书 P51向量共面的判定2例 1 给出以下命题：用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量，则这两个向量一定不共面；已知空间四边形 ABCD，则由四条线段 AB、 BC、 CD、 DA 分别确定的四个向量之和为零向量；若存在有序实数组( x， y)使得 OP x A y B，则 O、 P、 A、 B 四点共面；若三个向量共面，则这三个向量的起点和终点一定共面；若 a， b， c 三向量两两共面，则
3、a， b， c 三向量共面其中正确命题的序号是_思路点拨 先紧扣每个命题的条件，再充分利用相关概念做出正确的判断精解详析 错：空间中任意两个向量都是共面的；错：因为四条线段确定的向量没有强调方向；正确：因为 OP、 A、 B共面， O、 P、 A、 B 四点共面；错：没有强调零向量；错：例如三棱柱的三条侧棱表示的向量答案 一点通 共面向量不一定在同一个平面内，但可以平移到同一个平面内判定向量共面的主要依据是共面向量定理1下列说法正确的是_(填序号)以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体；设平行六面体的三条棱是 AB、 1、 D，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是 AB 1 D；若 O
4、P ()成立，则 P 点一定是线段 AB 的中点；12在空间中，若向量 与 C是共线向量，则 A、 B、 C、 D 四点共面若 a， b， c 三向量共面，则由 a， b 所在直线所确定的平面与由 b， c 所在直线确定的平面是同一个平面解析：不正确，正确答案：2已知三个向量 a， b， c 不共面，并且3p a b c， q2 a3 b5 c， r7 a18 b22 c，试问向量 p、 q、 r 是否共面？解：设 r xp yq，则7 a18 b22 c x(a b c) y(2a3 b5 c)( x2 y)a( x3 y)b( x5 y)c，Error! 解得Error! r3 p5 q.
5、 p、 q、 r 共面.向量共面的证明例 2 如图所示，平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， E、 F 分别在 B1B 和D1D 上，且 BE BB1， DF DD1.证明： 1与 、共面13 23思路点拨 由共面向量定理，只要用 、 线性表示出 1AC即可精解详析 1AC B D 1A B D 1 113 23( 1)( 1)13 23 A E F ， 1C与 、共面一点通 利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练的进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件解题过程中注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系，解答本题，实质上是证明存在惟一一对实数 x， y 使向量 1AC x E
6、 y F成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用 、 表示 1.3如图，正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别为 BB1和 A1D1的中点证明：向量 1， ，是共面向量证明：法一： EF 1 1B A 112 124 ( 1B C 1A12 1 .12由向量共面的充要条件知， 1B， C， EF是共面向量法二：连接 A1D， BD，取 A1D 中点 G，连结 FG， BG，则有 FG 綊 DD1，12BE 綊 DD1，12 FG 綊 BE.四边形 BEFG 为平行四边形 EF BG.BG平面 A1BD， EF 平面 A1BD EF平面 A1BD.同理， B1C
7、A1D， B1C平面 A1BD， ， EF都与平面 A1BD 平行 1， ， 是共面向量4已知斜三棱柱 ABC A1B1C1，点 M， N 分别在 AC1和 BC 上，且满足 AM k 1C，BN k C (0 k1)求证：与向量，共面证明： 如图，在封闭四边形 MABN 中， A B N.在封闭四边形 MC1CN 中， 1 C AM k， k( 1C)(1 k) k，即(1 k)MA k 10，同理(1 k)BN k 0.(1 k) k 得(1 k) B k 1C， 1C 1A， (1 k) k ，故向量 M与向量 ， 1共面.共面向量定理的应用5例 3 如图所示，已知 E、 F、 G、 H
8、 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、 BC、 CD、 DA 的中点(1)用向量法证明 E， F， G， H 四点共面；(2)用向量法证明 BD平面 EFGH.思路点拨 (1)要证 E， F， G， H 四点共面，根据共面向量定理的推论，只要能找到实数 x， y，使 x y即可(2)要证 BD平面 EFGH，只需证向量 BD与向量 F、 EG共面即可精解详析 (1)如图所示，连接 BG， EG，则：EG B E ( C )12 F H .由共面向量定理知 E， F， G， H 四点共面(2)设 A a， b， AD c，则 BD c a.G (c b) a b c，a2 12 12 12
9、12HF A c (a b) a b c.12 12 12 12 12假设存在 x， y，使 BD xEG yHF.即 c a x y(12a 12b 12c) (12a 12b 12c) a b c.(y2 x2) (x2 y2) (x2 y2) a， b， c 不共线Error! 解得Error! BD EG HF. 、 、 是共面向量， BD 不在平面 EFGH 内 BD平面 EFGH.一点通 1空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在实数对 x、 y，使6MP x A y B.满足这个关系式的点 P 都在平面 MAB 内；反之，平面 MAB 内的任一点 P 都满足这个关系
10、式，这个充要条件常用来证明四点共面在许多情况下，可以用“若存在有序实数组( x， y， z)使得对于空间任意一点 O，有 x A yOB z C，且x y z1 成立，则 P、 A、 B、 C 四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据2用共面向量定理证明线面平行的关键是：(1)在直线上取一向量；(2)在平面内找出两个不共线的向量，并用这两个不共线的向量表示直线上的向量；(3)说明直线不在面内，三个条件缺一不可5如图所示，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， O 是 B1D1的中点求证： B1C平面 ODC1.证明：设 a， D b， 1C c，则 1B c a，又 O 是 B1D1的中
11、点，所以1OD 1 (b a)12 12因为 D1D 綊 C1C，所以 1 c， O 1 D (b a) c.121 (a b)，假设存在实数 x， y，12使 BC x y 1，所以 c a x y (a b)12(b a) c 12 (x y)a xc b，且 a， b， c 不共线，12 (x2 y2)所以 x1， (x y)1，且 0，即 x1， y1.12 x y2所以 BC OD，所以 1BC， OD，是共面向量，又因为 1不在 ， 所确定的平面 ODC1内，所以 B1C平面 ODC1.6如图，已知 P 是平面四边形 ABCD 所在平面外一点，连结 PA、 PB、 PC、 PD，点
12、E、 F、 G、 H 分别为 PAB、 PBC、 PCD、 PDA 的重心求证： E、 F、 G、 H 四点共面7证明：分别延长 PE、 PF、 PG、 PH 交平面四边形 ABCD 各边于 M、 N、 Q、 R. E、 F、 G、 H 分别是所在三角形的重心， M、 N、 Q、 R 为所在边的中点，顺次连结 M、 N、 Q、 R 所得四边形为平行四边形，且有 P ， P，23 23G ， H.23 23 MNQR 为平行四边形， E P Q PM23 23 23 (MN R)23 ( ) ( )23 23 23 (32 32) 23(32 32) EF H.由共面向量定理得 E、 F、 G、
13、 H 四点共面向量 e1， e2， e3共面存在三个不全为 0 的实数 ， ， ，使得 e1 e2 e30.若 e1， e2， e3是不共面的三个向量，且 e1 e2 e30(其中 ， ， R)，则 0.空间一点 P 位于平面 MAB 内的充要条件是存在惟一的有序实数对 x， y，使 MP xMA y B.对应课时跟踪训练(十九) 81下列结论中，正确的是_(填序号)若 a、 b、 c 共面，则存在实数 x， y，使 a xb yc；若 a、 b、 c 不共面，则不存在实数 x， y，使 a xb yc；若 a、 b、 c 共面， b 、 c 不共线，则存在实数 x、 y，使 a xb yc.
14、解析：要注意共面向量定理给出的是一个充要条件所以第个命题正确但定理的应用又有一个前提： b、 c 是不共线向量，否则即使三个向量 a、 b、 c 共面，也不一定具有线性关系，故不正确，正确答案：2已知 A， B， C 三点不共线， O 为平面 ABC 外一点，若由向量OP 确定的点 P 与 A， B， C 共面，那么 _.15 23解析： P 与 A， B， C 共面， ， ( O) ()，即 OA(1 ) A B C，1 1.因此 1.15 23解得 .215答案：2153如图，平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， E、 F 分别在 B1B 和 D1D 上，且BE BB1， DF DD
15、1，若 EF x y zAA1，则 x y z_.13 23解析： EF A D ( B E) D 1 AB 123 13 1139 x1， y1， z .13 x y z .13答案：134 i， j， k 是三个不共面的向量，AB i2 j 2k， C2 i j3 k， D i3 j5 k，且 A、 B、 C、 D 四点共面，则 的值为_解析：若 A、 B、 C、 D 四点共面，则向量 B、 共面，故存在不全为零的实数 a， b， c，使得 a b c0.即 a(i2 j2 k) b(2i j3 k) c( i3 j5 k)0.( a2 b c )i(2 a b3 c)j(2 a3 b5
16、c)k0. i， j， k 不共面，Error! Error!答案：15命题：若 A、 B、 C 三点不共线， O 是平面 ABC 外一点， OM A B13 13 13OC，则点 M 一定在平面 ABC 上，且在 ABC 内部是_命题(填“真”或“假”)解析： A B C23 13 13 ( B A) (OC ) ( )13 13 13令 BC 中点为 D，则 ，点 M 一定在平面 ABC 上，且在 ABC 内部，故命23题为真命题答案：真6已知 A， B， C 三点不共线，平面 ABC 外的一点 O 满足 A OB C.判13 13 13断 M， ，三个向量是否共面解：(1)由已知得 O3
17、 M， ( )( C)，即 A B C B ， ， ，共面107若 e1， e2， e3是三个不共面的向量，试问向量a3 e12 e2 e3， b e1 e23 e3， c2 e1 e24 e3是否共面，并说明理由解：法一：令 x(3e12 e2 e3) y( e1 e23 e3) z(2e1 e24 e3)0，亦即(3 x y2 z)e1(2 x y z)e2( x3 y4 z)e30，因为 e1， e2， e3是三个不共面的向量，所以Error! 解得Error!从而 a7 b5 c， a， b， c 三个向量共面法二：令存在 ， ，使 a b c 成立，即 3e12 e2 e3 ( e1
18、 e23 e3) (2e1 e24 e3)，因为 e1， e2， e3是三个不共面向量，所以Error!解这个方程组得 7， 5，从而 a7 b5 c，即 a， b， c 三向量共面8如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形， EF AB， AB2 EF， H 为 BC 的中点求证： FH平面 EDB.证明：因为 H 为 BC 的中点，所以 FH ( B C)12 (FE B ED C) (2 E D)12 12因为 EF AB， CD 綊 AB，且 AB2 EF，所以 2 0，所以 H () B.12 12 12又 EB与 D不共线，根据向量共面的充要条件可知 FH， EB， D共面由于 FH不在平面 EDB 内，所以 FH平面 EDB11
