1、126.2 求曲线的方程对 应 学 生 用 书 P40在平面直角坐标系中， A、 B 两点的坐标分别为(2，3)，(4，1)问题 1：求平面上任一点 M(x， y)到 A 点的距离提示： MA .(x 2)2 (y 3)2问题 2：试列出到点 A、 B 距离相等的点满足的方程提示： MA MB，即 (x 2)2 (y 3)2 .(x 4)2 (y 1)2求曲线方程的一般步骤正确认识求曲线方程的一般步骤：(1)“建立适当的坐标系”所谓“适当”是指若曲线是轴对称图形，则可以选它的对称轴为坐标轴；其次，可以选曲线上的特殊点作为原点(2)“设曲线上任意一点 M 的坐标为( x， y)”这一步实际上是在
2、挖掘形成曲线的条件中所含的等量关系(3)“列出符合 p(M)的方程 f(x， y)0.”这里就是等量关系的坐标化，完成这一步需要使用解析几何的基本公式及平面几何、三角等基础知识(4)“化方程 f(x， y)0 为最简形式” 化简时需要使用代数中的恒等变形的方法(5)“说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上” 这一步的证明是必要的从2教材内容看，这一步不作要求，可以省略，但在完成第(4)步时，所用的变形方法应都是可逆的，否则要作适当说明对 应 学 生 用 书 P41直接法求曲线方程例 1 ABC 中，角 A、 B、 C 所对的边分别为 a， b， c， acb，且 a， c， b 成等差数列
3、， AB2，求顶点 C 的轨迹方程思路点拨 由 a， c， b 成等差数列可得 a b2 c；由 acb 可知所求轨迹方程是整个轨迹方程的一部分；由 AB2 可建立适当的坐标系于是可按求曲线方程的一般步骤求解. 精解详析 以 AB 所在直线为 x 轴， AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 A(1,0)，B(1,0)，设 C 点坐标为( x， y)，由已知得 AC BC2 AB.即 4，(x 1)2 y2 (x 1)2 y2整理化简得 3x24 y2120，即 1.x24 y23又 acb， xcb 且 a， c， b 成等差数列”改为“ ABC 的周长为 6 且AB2” ，求
4、顶点 C 的轨迹方程解：以 AB 所在直线为 x 轴， AB 的垂直平分线为 y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系则 A(1,0)， B(1,0)，设 C(x， y)，由已知得 AC BC AB6.即 4.(x 1)2 y2 (x 1)2 y2化简整理得 3x24 y2120，即 1.x24 y23 A、 B、 C 三点不能共线， x2.综上，点 C 的轨迹方程为 1( x2)x24 y232已知三点 O(0,0)， A(2,1)， B(2,1)，曲线 C 上任意一点 M(x， y)满足| AMB|()2.求曲线 C 的方程解：由 (2 x,1 y)， M(2 x,1 y)，得| | ，( 2
5、x)2 (2 2y)2又( A B)( x， y)(0,2)2 y，由已知得 2 y2，( 2x)2 (2 2y)2化简得曲线 C 的方程是 x24 y.定义法求曲线方程例 2 已知圆 A：( x2) 2 y21 与定直线 l： x1，且动圆 P 和圆 A 外切并与直线l 相切，求动圆的圆心 P 的轨迹方程思路点拨 利用平面几何的知识，分析点 P 满足的条件为抛物线，可用定义法求解精解详析 如图，作 PK 垂直于直线 x1，垂足为 K， PQ 垂直于直线 x2，垂足为 Q，则 KQ1，所以 PQ r1，又 AP r1，所以 AP PQ，故点 P 到圆心 A(2,0)的距离和到定直线 x2 的距
6、离相等，所以点 P 的轨迹为抛物线，A(2,0)为焦点，直线 x2 为准线4 2， p4，p2点 P 的轨迹方程为 y28 x.一点通 若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹的方法称为定义法，利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义的特征3点 P 与定点 F(2,0)的距离和它到定直线 x8 的距离的比是 12，求点 P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形解：设 d 是点 F 到直线 x8 的距离，根据题意，得 .PFd 12由圆锥曲线的统一定义可知，点 P 的轨迹是以 F(2,0)为焦点， x8 为准线的椭圆，则Error!解得 Error
7、! b2 a2 c216412.故点 P 的轨迹方程为 1.x216 y2124.如图所示，已知点 C 为圆( x )2 y24 的圆心，点 A( ，0)， P 是圆上的动点，2 2点 Q 在圆的半径 CP 上，且 MQAP0，2 M.当点 P 在圆上运动时，求点 Q的轨迹方程解：圆( x )2 y24 的圆心为 C( ，0)，半径2 2r2， MQAP0，2 M， MQ AP，点 M 为 AP 的中点，即 QM 垂直平分 AP.连结 AQ, 则 AQ QP，| QC QA| QC QP| CP r2.又| AC|2 2，根据双曲线的定义，点 Q 的轨迹是以 C( ，0)， A( ，0)为焦点
8、，2 2 2实轴长为 2 的双曲线，由 c ， a1，得 b21，25因此点 Q 的轨迹方程为 x2 y21.代入法求曲线方程例 3 动点 M 在曲线 x2 y21 上移动， M 和定点 B(3,0)连线的中点为 P，求 P 点的轨迹方程思路点拨 设出点 P、 M 的坐标，用 M 的坐标表示 P 的坐标，再借助 M 满足的关系即可得到 P 的坐标所满足的关系精解详析 设 P(x， y)， M(x0， y0)， P 为 MB 的中点，Error!即Error!又 M 在曲线 x2 y21 上，(2 x3) 2(2 y)21. P 点的轨迹方程为(2 x3) 24 y21.一点通 代入法：利用所求
9、曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点具体地说，就是用所求动点的坐标( x， y)来表示已知动点的坐标，并代入已知动点满足的曲线方程，由此即可求得所求动点坐标的轨迹方程5已知圆 C 的方程为 x2 y24，过圆 C 上的一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m，设直线 m 与 y 轴的交点为 N，若 OQ N，求动点 Q 的轨迹方程解：设点 Q 的坐标为( x， y)，点 M 的坐标为( x0， y0)(y00)，则点 N 的坐标为(0， y0)因为 ，即( x， y)( x0， y0)(0， y0)( x0,2y0)，则 x0 x， y0 .y2又因为点 M 在圆
10、C 上，所以 x y 4.20 20即 x2 4( y0)y24所以动点 Q 的轨迹方程是 1( y0)x24 y2166已知曲线 C： y2 x1，定点 A(3,1)， B 为曲线 C 上的任意一点，点 P 在线段 AB上，且有 BP PA12，当 B 点在曲线 C 上运动时，求点 P 的轨迹方程解：设 P 点坐标为( x， y)， B 点坐标为( x0， y0)，6由 BP PA12，得 PA2 B，即(3 x,1 y)2( x x0， y y0)Error!Error!点 B(x0， y0)在曲线 y2 x1 上， 2 1.(3y 12 ) 3x 32化简得： 2 .(y13) 23(x
11、 13)即点 P 的轨迹方程为 2 .(y13) 23(x 13)1求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原则，即借助图形中互相垂直的直线建系，借助图形的对称性建系一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简捷2求曲线的方程常用的方法(1)直接法；(2)定义法；(3)相关点代入法；(4)待定系数法等对应课时跟踪训练(十六) 1到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是_解析：设动点 M(x， y)，到两坐标轴的距离为| x|，| y|.则| x| y|， x2 y2.答案： x2 y22等腰三角形底边的两个顶点是 B(2,1)， C(0，3)，
12、则另一顶点 A 的轨迹方程是_解析：设点 A 的坐标为( x， y)由已知得 AB AC，即 .(x 2)2 (y 1)2 x2 (y 3)2化简得 x2 y10.点 A 不能在直线 BC 上， x1，7顶点 A 的轨迹方程为 x2 y10( x1)答案： x2 y10( x1)3已知两定点 A(1,0)， B(2,0)，动点 P 满足 ，则 P 点的轨迹方程是PAPB 12_解析：设 P(x， y)，由已知得 ，(x 1)2 y2(x 2)2 y2 12化简得： x24 x y20.即( x2) 2 y24.答案：( x2) 2 y244已知两定点 A(2,0)， B(1,0)，如果动点 P
13、 满足 PA2 PB，则点 P 的轨迹所包围的图形的面积等于_解析：设 P(x， y)，由题知( x2) 2 y24( x1) 2 y2，整理得 x24 x y20，配方得( x2) 2 y24，可知圆的面积为 4.答案：45已知直线 l：2 x4 y30， P 为 l 上的动点， O 为坐标原点，点 Q 分线段 OP 为12 两部分，则 Q 点的轨迹方程是_解析：据题意， O3 ，设 P(x， y)， Q(x， y)，则Error! 又 P(x， y)在 2x4 y30 上，2(3 x)4(3 y)30，即 2x4 y10，即点 Q 的轨迹方程为 2x4 y10.答案：2 x4 y106若动
14、点 P 在曲线 y2 x21 上移动，求点 P 与 Q(0，1)连线中点 M 的轨迹方程解：设 P(x0， y0)，中点 M(x， y)，则Error! Error!又 P(x0， y0)在曲线 y2 x21 上，2 y12(2 x)21，即 y4 x2.点 M 的轨迹方程为 y4 x2.7已知双曲线 2x22 y21 的两个焦点为 F1、 F2， P 为动点，若 PF1 PF26，求动点P 的轨迹 E 的方程解：依题意双曲线方程可化为 1，x212y212则 F1F22. PF1 PF26 F1F22，8点 P 的轨迹是以 F1， F2为焦点的椭圆，其方程可设为 1( ab0)x2a2 y2
15、b2由 2a6,2 c2 得 a3， c1. b2 a2 c28.则所求椭圆方程为 1.x29 y28故动点 P 的轨迹 E 的方程为 1.x29 y288.如图所示， A(m， m)和 B(n， n)两点分别在射线 OS， OT 上移3 3动，且 O ， O 为坐标原点，动点 P 满足 O A B.12(1)求 mn 的值；(2)求动点 P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？解：(1)由 A B( m， m)(n， n)2 mn.3 3得2 mn ，即 mn .12 14(2)设 P(x， y)(x0)，由 OP A B，得( x， y)( m， m)( n， n)( m n， m n)，3 3 3 3Error!整理得 x2 4 mn，y23又 mn ，14 P 点的轨迹方程为 x2 1( x0)y23它表示以原点为中心，焦点在 x 轴上，实轴长为 2，焦距为 4 的双曲线 x2 1 的y23右支9
