1、115.3 微积分基本定理对应学生用书 P28已知函数 f(x)2 x1， F(x) x2 x.问题 1： f(x) 和 F(x)有何关系？提示： F( x) f(x)问题 2：利用定积分的几何意义求 (2x1)d x的值20提示： (2x 1)dx6.20问题 3：求 F(2) F(0)的值提示： F(2) F(0)426.问题 4：你得出什么结论？提示： f(x)dx F(2) F(0)，且 F( x) f(x) 20问题 5：已知 f(x) x3， F(x) x4，试探究 f(x)dx与 F(1) F(0)的关系14 10提示：因 f(x)dx x3dx .F(1) F(0) ，有 f(
2、x) F(1) F(0)且 F( x)10 10 14 1410 f(x)微积分基本定理对于被积函数 f(x)，如果 F( x) f(x)，那么 f(x)dx F(b) F(a)，即 F( x)ba badx F(b) F(a)1微积分基本定理表明，计算定积分 f(x)dx的关键是找到满足 F( x) f(x)的函ba数 F(x)通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出 F(x)2微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的内在联系，最重要的是它也提供了计算定积分的一种有效方法2对 应 学 生 用 书 P29求简单函数的定积分例 1 求下列定积分：(1) (x22
3、x 3)dx；21(2) (sin xcos x)dx；0(3) (cos xe x)dx.0 思路点拨 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基本定理求解精解详析 (1)取 F(x) x23 x，x33则 F( x) x22 x3，从而 (x22 x 3)dx F( x)dx F(2) F(1) .2121 253(2)取 F(x)cos xsin x，则 F( x)sin xcos x，从而 (sin xcos x)dx F( x)dx F() F(0)2.00(3)取 F(x)sin xe x，则 F( x)cos xe x，从而 (cos xe x)dx F( )dx F(0) F()
4、1.0 0 x 1e一点通 求简单的定积分关键注意两点：(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限1(江西高考改编)若 f(x) x22 f(x)dx，则10f(x)dx_.103解析： f(x) x22 f(x)dx，10 f(x)dx 2 f(x)dx.10 (13x3 2x10f(x)dx)10 1310 f(x)dx .10 13答案：132. (cos x1)d x_.0解析：(sin x x)cos x1， (cos x1)d x(sin x x)0|0(sin
5、 )(sin 00).答案：3求下列定积分：(1) sin2 dx；(2) (2 x2)(3 x)dx.20 x 32解：(1)sin 2 ，x 12 cos x2而 cos x，(12x 12sin x) 12 12所以 sin2 dx dx20 x 20(12 12cos x) .(12x 12sin x)|20 4 12 24(2)原式 (62 x3 x2 x3)dx32 (6x x2 x314x4)|32 (63 32 331434) (62 22 23 1424) .744求分段函数的定积分例 2 (1)设 f(x)Error!求 f(x)dx；1 1(2)求 dx(a0)a ax2
6、思路点拨 按照函数 f(x)的分段标准，求出每一段上的积分，然后求和精解详析 (1) f(x)dx x2dx (cos x1)d x1 1 0 1 10 x3 (sin x x) sin 1 .13 |0 1 |10 23(2)由 Error!得 dx xdx ( x)dx x2 x2 a2.x2a ax2a0 0 a 12 |a0 12 |0 a一点通 (1)分段函数在区间 a， b上的积分可分成几段积分的和的形式(2)分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细4. |x2|d x_.3 4解析：| x2|Error! |x2|d x (x2)d x (
7、 x2)d x3 4 3 2 2 4 .(12x2 2x)|3 2 ( 12x2 2x)| 2 4 292答案：2925设 f(x)Error!若 f(f(1)1，则 a_.解析：显然 f(1)lg 10，故 f(0)0 3t2dt t3 1， a0 |a0得 a1.答案：1求图形的面积例 3 求由曲线 y x22 x3 与直线 y x3 所围成的图形的面积5思路点拨 .在 坐 标 系 中作 出 图 象 求 曲 线 与 直 线 的 交 点 利 用 定 积 分 求 面 积精解详析 画出草图，如图所示解方程组Error!得 A(0,3)， B(3,6)所以 S (x 3)dx (x2 2x3)d
8、x，30 30取 F(x) x23 x，则 F( x) x3，12取 H(x) x3 x23 x，则 H( x) x22 x3，13从而 S F(3) F(0) H(3) H(0) 0(1232 33) (1333 32 33) 0 .92一点通 利用定积分求曲线所围成的平面图形的面积的步骤：(1)根据题意画出图形；(2)找出范围，定出积分上、下限；(3)确定被积函数；(4)写出相应的定积分表达式，即把曲边梯形面积表示成若干个定积分的和或差；(5)用微积分基本定理及其运算性质计算定积分，求出结果6曲线 y ，直线 y x2 及 y轴所围成的图形的面积为_x解析：所围成的图形如图阴影部分所示，点
9、 A(0，2)，由Error! 得Error!所以 B(4,2)，因此所围成的图形的面积为dxError! . 40(x x 2) 40163答案：1637设 a0，若曲线 y 与直线 x a， y0 所围成封闭图形的面积为 a2，则x6a_.解析：由已知得 S dx x a a2，所以 a ，所以 a .a0x 2332|a0 2332 12 23 49答案：491求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分(2)求被积函数是分段函数的定积分，应分段求定积分再求和(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号后才能积分2利用定积分求曲边梯形的面积(1)在利用定积分求平面图
10、形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上、下限(2)要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零；而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此当 f(x)0 时要通过绝对值处理为正，一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积，然后相加起来对应课时跟踪训练(十一)一、填空题1. dx_.e11x解析： dxln x ln eln 11.e11x |e1答案：12. (2sin x3e x2)d x_.0解析： (2sin x3e x2)d x(2cos x3e x2 x) 723e .0 |0答案：723
11、e 73(江西高考改编)若 S1 x2dx， S2 dx，21211xS3 exdx，则 S1， S2， S3的大小关系为_21解析： S1 x3Error! ， S2ln xError!ln 2ln 13 83 13 73e1， S3e xError!e 2e2.7 22.74.59，所以 S2S1S3.答案： S2S1S34设 f(x) 则 f(x)dx_.20解析： f(x)dx x2dx (2 x)dx201021 x3 (2 x x2) .13 |10 12 |21 56答案：565(福建高考)如图，在边长为 e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为
12、_解析：因为函数 ye x与函数 yln x互为反函数，其图象关于直线 y x对称，又因为函数 ye x与直线 ye 的交点坐标为(1，e)，所以阴影部分的面积为2(e1 exdx)2e2e x 2e(2e2)2，10 |10由几何概型的概率计算公式，得所求的概率 P .S阴 影S正 方 形 2e2答案：2e2二、解答题6 f(x)是一次函数，且 f(x)dx5， xf(x)dx ， 10 10176求 f(x)的解析式8解：设 f(x) ax b(a0)，则 (ax b)dx a b5.10 (12ax2 bx)|10 12x(ax b)dx (ax2 bx)dx1010 a b ，(13a
13、x3 12bx2)|10 13 12 176所以由Error!解得 a4， b3，故 f(x)4 x3.7求由曲线 y x2与直线 x y2 围成的面积解：如图，先求出抛物线与直线的交点，解方程组Error!得Error! 或Error!即两个交点为(1,1)，(2,4)直线为 y2 x，则所求面积 S为：S (2 x) x2dx1 2 .(2xx22 x33)|1 2 928设 f(x)是二次函数，其图象过点(0,1)，且在点(2， f(2)处的切线方程为2x y30.(1)求 f(x)的表达式；(2)求 f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积；(3)若直线 x t(0 t1)把 f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求 t的值解：(1)设 f(x) ax2 bx c，其图象过点(0,1)， c1，又在点(2， f(2)处的切线方程为 2x y30，Error! f( x)2 ax b，Error!9 a1， b2，故 f(x) x22 x1.(2)依题意， f(x)的图象与两坐标轴所围成的图形如图中阴影部分所示，故所求面积 S (x22 x1)d xError! . 0 1 0 113(3)依题意，有S (x22 x1)d xError! ，12 0 t 0 t 16即 t3 t2 t ，13 162 t36 t26 t10，2( t1) 31， t1 .132
