1、1复习课(二) 圆锥曲线与方程圆锥曲线的定义及标准方程圆锥曲线的定义及标准方程在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查，标准方程在解答题中也会涉及，是高考解析几何的必考内容考 点 精 要 椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程椭圆 双曲线 抛物线定义平面内与两个定点F1， F2的距离之和等于常数(大于| F1F2|)的点的轨迹平面内与两个定点F1， F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于| F1F2|且大于零)的点的轨迹平面内与一个定点 F和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹标准方程 1 或x2a2 y2b2 1( ab0)y2a2 x2b2 1 或x2a2 y2b2 1(
2、 a0， b0y2a2 x2b2)y22 px 或 y22 px或 x22 py 或x22 py(p0)关系式 a2 b2 c2 a2 b2 c2典例 (1)椭圆 1 上一点 M 到焦点 F1的距离为 2， N 是 MF1的中点，则| ON|x225 y29等于( )A2 B4C6 D.32(2)(2017全国卷)已知双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线方程为x2a2 y2b2y x，且与椭圆 1 有公共焦点，则 C 的方程为( )52 x212 y23A. 1 B. 1x28 y210 x24 y25C. 1 D. 1x25 y24 x24 y23(3)双曲线 16x29 y214
3、4 的左、右两焦点分别为 F1， F2，点 P 在双曲线上，且2|PF1|PF2|64，则 F1PF2_.解析 (1)设椭圆的另一个焦点为 F2，因为椭圆 1 上一点 M 到焦点 F1的距x225 y29离为 2，即| MF1|2，又| MF1| MF2|2 a10，所以| MF2|8.因为 N 是 MF1的中点， O 是F1F2的中点，所以| ON| |MF2|4.12(2)根据双曲线 C 的渐近线方程为 y x，52可知 .ba 52又椭圆 1 的焦点坐标为(3,0)和(3,0)，x212 y23所以 a2 b29.根据可知 a24， b25，所以 C 的方程为 1.x24 y25(3)双
4、曲线方程 16x29 y2144化简为 1，x29 y216即 a29， b216，所以 c225，解得 a3， c5，所以 F1(5,0)， F2(5,0)设 | PF1| m，| PF2| n，由双曲线的定义知| m n|2 a6，又已知 mn64，在 PF1F2中，由余弦定理知cos F1PF2|PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| m2 n2 2c 22mn m n 2 2mn 4c22mn .36 264 425264 12所以 F1PF260.答案 (1)B (2)B (3)60类题通法求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形
5、，后定式，再定量”的步骤(1)定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置3(2)定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为 mx2 ny21( m0， n0)(3)定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小题 组 训 练 1若中心在坐标原点的椭圆的长轴长与短轴长之比为 2，它的一个焦点是(2 ，0)，15则椭圆的标准方程是( )A. 1 B. 1x230 y220 x240 y220C. 1 D. 1x275 y215 x280 y220解析：选 D 不妨设椭圆的标准方程为 1( ab0)，依题意得，x2a2
6、 y2b2 2 a 2b， c2 ， c2 a2 b2，(2 )2 (2b)2 b2b220，得2a2b ab 15 15a24 b280，故所求椭圆的标准方程为 1.x280 y2202已知 P 为抛物线 y x2上的动点，点 P 在 x 轴上的射影为 Q， A ，则12 (6， 172)|PA| PQ|的最小值是( )A. B.152 172C. D10192解析：选 C 抛物线的准线方程为 y .设抛物线的焦点为 F，则 F .根据抛物12 (0， 12)线的定义可得| PQ| PF| ，所以| PA| PQ| PF| PA| .所以| PA| PQ|的最小值12 12为| FA| .1
7、2 192圆锥曲线的几何性质圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的核心内容，高考非常重视对圆锥曲线几何性质的考查，试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率)，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查考 点 精 要 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质4椭圆 双曲线 抛物线标准方程 1( ab0)x2a2 y2b2 1( a0， b0x2a2 y2b2)y22 px(p0)关系式 a2 b2 c2 a2 b2 c2图形 封闭图形 无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称中心为原点 无对称中心对称性两条对称轴 一条对称轴顶点 四个 两个 一个离心率 01
8、e1准线方程 x p2决定形状的因素 e 决定扁平程度 e 决定开口大小 2p 决定开口大小典例 (1)已知双曲线的渐近线方程为 y x，则双曲线的离心率为( )34A. B.53 54C. 或 D.53 54 3(2)已知椭圆 1( a b0)的左顶点为 A，上顶点为 B，右焦点为 F.设线段 ABx2a2 y2b2的中点为 M，若 2 20，则该椭圆的离心率的取值范围为( )MA MF BF A(0， 1 B.3 (0，32C. D(0， 1(0，12 2解析 (1)由双曲线的渐近线方程为 y x，34得 或 ，又离心率 e ，ba 34 ab 34 1 b2a2所以 e 或 e .53
9、54(2)因为 A( a,0)， B(0， b)， M ， F(c,0)，(a2， b2)5所以 ， ，MA ( a2， b2) MF (c a2， b2)( c， b)，又 2 20，BF MA MF BF 所以 2a22 ac c20，即 e22 e20，结合 0 e1 得 0 e 1.3答案 (1)C (2)A类题通法求解离心率三种方法定义法由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在 x 轴上还是 y 轴上都有关系式 a2 b2 c2(a2 b2 c2)以及 e ，已知其中的ca任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法方程法建立参数 a 与 c 之间的齐次关系
10、式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法几何法求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观题 组 训 练 1如果方程 x2 ky22 表示焦点在 x 轴上，且焦距为 的椭圆，则椭圆的短轴长为3_解析：方程 x2 ky22 可化为 1，则 2 2 ，短轴长为 2 x22 y22k (32) 2k 2k 54 52.5答案： 52过双曲线 1( a0， b0)的一个焦点且垂直于双曲线实轴的直线交双曲线x2a2 y2b2于 A， B 两点若以 AB 为直径的圆恰过双曲线
11、的一个顶点，则双曲线的离心率是_解析：设双曲线的左顶点为 P， A 位于第一象限， B 位于第四象限，把 x c 代入双曲线方程 1，得到| AF| yA ，又| PF| c a，依题意知x2a2 y2b2 b2a|AF| PF|， c ab2 ac a2，又 b2 c2 a2， c2 a2 ac a2，两边同除以 a2b2a6得到 2 20 e2 e20，又 e1， e2.(ca) ca答案：23已知双曲线 1( a0， b0)的焦距为 2c，右顶点为 A，抛物线 x22 py(p0)x2a2 y2b2的焦点为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c，且| FA| c，则双曲线的渐近线
12、方程为_解析： c2 a2 b2，由双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c 知，双曲线过点 ，即 1.(c， p2) c2a2 p24b2由| FA| c，得 c2 a2 ，p24由得 p24 b2.将代入，得 2.c2a2 2，即 1，a2 b2a2 ba故双曲线的渐近线方程为 y x，即 xy0.答案： xy0直线与圆锥曲线的位置关系高考试题中解析几何的解答题一般不会单纯考查圆锥曲线，试题中一般都有直线问题参与，这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如：直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线
13、)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的考 点 精 要 直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量 y(或 x)得到关于变量 x(或 y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式 ，则有： 0直线与圆锥曲线相交于两点； 0 直线与圆锥曲线相切于一点； 1)，x2a2则右焦点 F( ，0)，a2 1由题设，知 3，|a2 1 22|2解得 a23，故所求椭圆的方程为 y21.x23(2)设点 P 为弦 MN 的中点，由Error!得(3 k21) x26 mkx3( m21)0，由于
14、直线与椭圆有两个交点，所以 0，即 m2m2，解得 00，2m 13解得 m ，12故所求 m 的取值范围是 .(12， 2)类题通法有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法8(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于 x(或 y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交： 0直线与椭圆相交； 0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 0 是直线与双曲线相交的充分不必要条件； 0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 0
15、 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件相切： 0直线与椭圆相切； 0直线与双曲线相切； 0直线与抛物线相切相离： b0)右焦点的直线 x y 0x2a2 y2b2 3交 M 于 A， B 两点， P 为 AB 的中点，且 OP 的斜率为 .12(1)求 M 的方程；9(2)C， D 为 M 上两点，若四边形 ACBD 的对角线 CD AB，求四边形 ACBD 面积的最大值解：(1)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， P(x0， y0)，则 1， 1， 1，x21a2 y21b2 x2a2 y2b2 y2 y1x2 x1由此可得 1.b2 x2 x1a2 y2 y1 y2
16、 y1x2 x1因为 x1 x22 x0， y1 y22 y0， ，y0x0 12所以 a22 b2.又由题意知， M 的右焦点为( ，0)，故 a2 b23.3因此 a26， b23.所以 M 的方程为 1.x26 y23(2)由Error! 解得Error! 或Error!因此| AB| .463由题意可设直线 CD 的方程为y x n ，(533 0， b0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )x2a2 y2b210A2 B. 3C. D.232解析：选 C 由题可知 y x 与 y x 互相垂直，可得 1，则 a b.由离ba ba ba ba心率的计算公式，可得 e2 2
17、， e .c2a2 a2 b2a2 22已知 F 是抛物线 y x2的焦点， P 是该抛物线上的动点，则线段 PF 中点的轨迹方14程是( )A x22 y1 B x22 y116C x2 y D x22 y212解析：选 A 焦点为 F(0,1)，设 P(p， q)，则 p24 q.设 Q(x， y)是线段 PF 的中点，则 x ， y ，p2 q 12即 p2 x， q2 y1，代入 p24 q 得，(2 x)24(2 y1)，即 x22 y1.3已知直线 y kx1 与双曲线 x2 1 交于 A， B 两点，且| AB|8 ，则实数 ky24 2的值为( )A B 或7 3413C D3
18、413解析：选 B 由直线与双曲线交于 A， B 两点，得 k2.将 y kx1 代入 x2 1y24得(4 k2)x22 kx50，则 4 k24(4 k2)50， k25.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，所以| AB| 8 ，解得2k4 k2 54 k2 1 k2 ( 2k4 k2)2 204 k2 2k 或 .34134.我们把由半椭圆 1( x0)与半椭圆 1( xbc0)，如图所示，其中点F0， F1， F2是相应椭圆的焦点若 F0F1F2是边长为 1 的等边三角形，则a， b 的值分别为( )11A. ，1 B. ，172 3C5,3
19、D5,4解析：选 A | OF2| ，| OF0| c |OF2| ， b1 ， a2 b2 c21 ，得 ab2 c212 3 32 34 74.725.如图， F1， F2是椭圆 C1： y21 与双曲线 C2的公共焦点，x24A， B 分别是 C1， C2在第二、四象限的公共点其四边形 AF1BF2为矩形，则 C2的离心率是( )A. B.2 3C. D.32 62解析：选 D 焦点 F1( ，0)， F2( ，0)，3 3在 Rt AF1F2中，| AF1| AF2|4，|AF1|2| AF2|212，所以可解得| AF2| AF1|2 ，2故 a ，所以双曲线的离心率 e ，选 D.
20、232 626若过点 A(0， h)(h1)的两条直线 l1和 l2与椭圆 E： y21 都只有一个交点，x22且 l1 l2，则 h 的值为( )A. B.3 5C2 D. 6解析：选 A 由题意知 l1， l2的斜率都存在且不为 0.设 l1： y kx h，则由 l1 l2，知 l2： y x h，1k将 l1： y kx h 代入 y21 得 ( kx h)21，x22 x22即(12 k2)x24 khx2 h220，由 l1与椭圆 E 只有一个交点知 16 k2h24(12 k2)(2h22)0，即 12 k2 h2.同理，由 l2与椭圆 E 只有一个交点知，1 h2，2k212得
21、 k2，即 k21，从而 h212 k23，即 h .1k2 37已知双曲线 1( a0， b0)的实轴长为 4，离心率为 ，则双曲线的方程x2a2 y2b2 5为_解析：因为双曲线 1( a0， b0)的实轴长为 4，x2a2 y2b2所以 a2，由离心率为 ，可得 ， c2 ，5ca 5 5所以 b 4，c2 a2 20 4则双曲线的方程为 1.x24 y216答案： 1x24 y2168已知 A(0，4)， B(3,2)，抛物线 y x2上的点到直线 AB 的最短距离为_解析：直线 AB 为 2x y40，设抛物线 y x2上的点 P(t， t2)， d |2t t2 4|5 .t2 2
22、t 45 t 1 2 35 35 355答案：3559(2017全国卷)已知 F 是抛物线 C： y28 x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点，则| FN|_.解析：法一：依题意，抛物线 C： y28 x 的焦点 F(2,0)，因为 M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N， M 为 FN 的中点，设 M(a， b)(b0)，所以 a1， b2 ，2所以 N(0,4 )，| FN| 6.2 4 32法二：如图，不妨设点 M 位于第一象限内，抛物线 C 的准线交 x 轴于点 A，过点 M 作准线的垂线，垂足为点 B，交 y
23、轴于点 P， PM OF.由题意知， F(2,0)，| FO| AO|2.点 M 为 FN 的中点， PM OF，| MP| |FO|1.12又| BP| AO|2，| MB| MP| BP|3.由抛物线的定义知| MF| MB|3，13故| FN|2| MF|6.答案：610如图，已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率为 ，若它的一个顶点32恰好是抛物线 x24 y 的焦点2(1)求椭圆 C 的方程；(2)直线 x2 与椭圆 C 交于 P， Q 两点，点 P 位于第一象限， A， B 是椭圆 C 上位于直线 x2 两侧的动点若直线 AB 的斜率为 ，求四边形 APBQ 面积的最
24、大值12解：(1)设椭圆 C 的方程为 1( a b0)x2a2 y2b2抛物线 x24 y 的焦点是(0， )，2 2 b .2由 ， a2 b2 c2，得 a2 ，ca 32 2椭圆 C 的方程为 1.x28 y22(2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 AB 的方程为 y x t，12联立Error! 得 x22 tx2 t240，则 x1 x22 t， x1x22 t24.在 1 中，令 x2，得 P(2,1)， Q(2，1)x28 y22四边形 APBQ 的面积S S APQ S BPQ |PQ|x2 x1|12 2|x2 x1|12| x2 x1| x1 x2 2
25、 4x1x2 4t2 4 2t2 414 . 4t2 16当 t0 时， Smax4.四边形 APBQ 面积的最大值为 4.11已知经过点 A(4,0)的动直线 l 与抛物线 G： x22 py(p0)相交于 B， C.(1)当直线 l 的斜率是 时， ，求抛物线 G 的方程；12 AC 14AB (2)设线段 BC 的垂直平分线在 y 轴上的截距为 b，求 b 的取值范围解：(1)设 B(x1， y1)， C(x2， y2)，由已知得，直线 l 的方程为 y (x4)，即 x2 y4.12由Error! 得 2y2(8 p)y80，则 y1 y2 ， y1y24，8 p2又因为 ，所以 y2 y1或 y14 y2.AC 14AB 14由 p0 得， y14， y21， p2，所以抛物线 G 的方程为 x24 y.(2)由题意知 l 的斜率存在设 l： y k(x4)， BC 中点坐标为( x0， y0)，由Error! 得 x24 kx16 k0. 所以 x0 2 k， y0 k(x04)2 k24 k.x1 x22所以 BC 的垂直平分线的方程为y2 k24 k (x2 k)，1k所以 BC 的垂直平分线在 y 轴上的截距为 b2 k24 k22( k1) 2，对于方程由 16 k264 k0 得 k0 或 k4.所以 b(2，)所以 b 的取值范围为(2，)15
