1、1复习课(三) 导数及其应用导数的概念及几何意义的应用近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内容，各种题型均有可能出现，一般题目难度较小考点精要(1)已知切点 A(x0， f(x0)求斜率 k，即求该点处的导数值： k f( x0)；(2)已知斜率 k，求切点 A(x1， f(x1)，即解方程 f( x1) k；(3)已知过某点 M(x1， f(x1)(不是切点)的切线斜率为 k 时，常需设出切点 A(x0， f(x0)，利用 k 求解f x1 f x0x1 x0典例 (2017天津高考)已知 aR，设函数 f(x) axln x 的图象在点(1， f(1)处的切线为 l，则 l 在
2、y 轴上的截距为_解析 由题意可知 f( x) a ，1x所以 f(1) a1，因为 f(1) a，所以切点坐标为(1， a)，所以切线 l 的方程为 y a( a1)( x1)，即 y( a1) x1.令 x0，得 y1，即直线 l 在 y 轴上的截距为 1.答案 1类题通法(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数如果已知点不是切点，则应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解(2)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如， y x3在(1,1)处的切线 l 与y x3的图象还有一个交点(2，8)题 组 训 练 1曲线 y 在点(
3、1，1)处的切线方程为( )xx 2A y2 x1 B y2 x1C y2 x3 D y2 x2解析：选 A y ，x x 2 x x 2 x 2 2 2 x 2 22 k y| x1 2，2 1 2 2切线方程为： y12( x1)，即 y2 x1.2已知曲线 y x31 与曲线 y3 x2在 x x0处的切线互相垂直，则 x0的值为( )12A. B.33 333C. D.3393解析：选 D y x31 y3 x2， y3 x2y x，由题意得 3x ( x0)12 201，解得 x ，即 x0 ，故选 D.3013 313 393导数与函数的单调性题型既有选择题、填空题也有解答题，若以
4、选择题、填空题的形式出现，则难度以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主，主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性等问题考点精要函数的单调性与导函数值的关系若函数 f(x)在( a， b)内可导，则 f( x)在( a， b)任意子区间内部不恒等于 0.f( x)0函数 f(x)在( a， b)上单调递增；f( x)0函数 f(x)在( a， b)上单调递减反之，函数 f(x)在( a， b)上单调递增 f( x)0；函数 f(x)在( a， b)上单调递减f( x)0.即 f( x)0( f( x)0)是 f(x)为增(减)函数的充分不必要条件特别要注意写单调区间时，
5、区间之间用“和”或“， ”隔开，绝对不能用“”连接典例 (2017全国卷节选)已知函数 f(x)ln x ax2(2 a1) x.讨论 f(x)的单调性解 f(x)的定义域为(0，)， f( x) 2 ax2 a1 .1x x 1 2ax 1x若 a0，则当 x(0，)时， f( x)0，故 f(x)在(0，)单调递增若 a0，则当 x 时， f( x)0；(0， 12a)当 x 时， f( x)0，(12a， )3故 f(x)在 上单调递增，在 上单调递减(0， 12a) ( 12a， )类题通法求函数的单调区间的方法步骤(1)确定函数 f(x)的定义域(2)计算函数 f(x)的导数 f(
6、x)(3)解不等式 f( x)0，得到函数 f(x)的递增区间；解不等式 f( x)0，得到函数f(x)的递减区间注意 求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误题 组 训 练 1函数 f(x)2 x2ln x 的单调递增区间是( )A. B. 和(0，12) ( 12， 0) (12， )C. D. 和(12， ) ( ， 12) (0， 12)解析：选 C 由题意得 f( x)4 x ，且 x0，由 f( x)0，即1x 4x2 1x4x210，解得 x .故选 C.122已知函数 f(x) x22 x aex.12(1)若 a1，求 f(x)在 x1 处的切线方
7、程；(2)若 f(x)在 R 上是增函数，求实数 a 的取值范围解：(1)当 a1 时， f(x) x22 xe x，12则 f(1) 1221e e，12 32f( x) x2e x， f(1)12e1e，故曲线 y f(x)在 x1 处的切线方程为 y (1e)( x1)，即 y(1e) x .(32 e) 12(2) f(x)在 R 上是增函数， f( x)0 在 R 上恒成立， f(x) x22 x aex，12 f( x) x2 aex，于是有不等式 x2 aex0 在 R 上恒成立，即 a 在 R 上恒成立，2 xex4令 g(x) ，则 g( x) ，2 xex x 3ex令 g
8、( x)0，解得 x3，列表如下：x (，3) 3 (3，)g( x) 0 g(x) 1e3故函数 g(x)在 x3 处取得极小值，亦即最小值，即 g(x)min ，所以 a ，1e3 1e3即实数 a 的取值范围是 .( ， 1e3导数与函数的极值、最值从高考运用情况看，利用导数研究函数极值、最值是导数应用的核心部分，年年高考都有考查，多以解答题形式考查，难度相对较大考点精要1导数与函数单调性、极值的关系(1)f( x)0 在( a， b)上成立，是 f(x)在( a， b)上单调递增的充分不必要条件(2)对于可导函数 f(x)， f( x0)0 是函数 f(x)在 x x0处有极值的必要不
9、充分条件2利用导数求函数极值应注意三点(1)求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；(2)f( x0)0 时， x0不一定是极值点；(3)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论典例 (2017北京高考)已知函数 f(x)e x cos x x.(1)求曲线 y f(x)在点(0， f(0)处的切线方程；(2)求函数 f(x)在区间 上的最大值和最小值0， 2解 (1)因为 f(x)e xcos x x，所以 f( x)e x(cos xsin x)1， f(0)0.又因为 f(0)1，所以曲线 y f(x)在点(0， f(0)处的切线方程为 y1.(2)设
10、 h(x)e x(cos xsin x)1，则 h( x)e x(cos xsin xsin xcos x)2e xsin x.5当 x 时， h( x)0，(0， 2)所以 h(x)在区间 上单调递减0， 2所以对任意 x 有 h(x) h(0)0，(0， 2即 f( x)0.所以函数 f(x)在区间 上单调递减0， 2因此 f(x)在区间 上的最大值为 f(0)1，最小值为 f .0， 2 ( 2) 2类题通法1求函数的极值的方法(1)确定函数的定义区间，求导数 f( x)(2)求方程 f( x)0 的根(3)用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查
11、f( x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则 f(x)在这个根处无极值2求函数的最值的方法(1)求 f(x)在( a， b)内的极值(2)将 f(x)的各极值与 f(a)， f(b)比较得出函数 f(x)在 a， b上的最值题 组 训 练 1函数 f(x)13 x x3( )A有极小值，无极大值 B无极小值，有极大值C无极小值，无极大值 D有极小值，有极大值解析：选 D f( x)3 x23，由 f( x)0，得 x1.当 x(1,1)时， f( x)0， f(x)的
12、单调增区间为(1,1)；同理， f(x)的单调减区间为(，1)和(1，)当 x1 时，函数有极小值1，当 x1 时，函数有极大值 3，故选 D.2已知函数 f(x) (x1)，1 ln xx(1)试判断函数 f(x)的单调性，并说明理由；6(2)若 f(x) 恒成立，求实数 k 的取值范围kx 1解：(1) f( x) ， x1，ln x0， f( x)0.ln xx2故函数 f(x)在1，)上单调递减(2) x1， f(x) k，kx 1 x 1 1 ln xx令 g(x) ， x 1 1 ln xx g( x) . x 1 1 ln x x x 1 1 ln xx2 x ln xx2再令
13、h(x) xln x，则 h( x)1 .1x x1，则 h( x)0， h(x)在1，)上单调递增 h(x)min h(1)10，从而 g( x)0，故 g(x)在1，)上单调递增， g(x)min g(1)2， k2.故实数 k 的取值范围为(，2.生活中的优化问题优化问题是导数在实际生活中的应用之一，高考中有所体现，既可以以小题形式考查，也可以解答题形式考查，难度中低档考点精要解答思路典例 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h 米，体积为 V 立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100 元/平方米，底面的建造成本为 160
14、元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000 元( 为圆周率)(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域(2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为 1002 rh200 rh(元)，底面的总成本为160 r2元，7所以蓄水池的总成本为(200 rh160 r2)元又据题意知 200 rh160 r212 000，所以 h (3004 r2)，15r从而 V(r) r2h (300r4 r3) 5因为 r0，又由 h0 可得 r5 ，3故函数 V(r)的定义域为(0,5 )3(2)因为 V(r) (3
15、00r4 r3)， 5所以 V( r) (30012 r2) 5令 V( r)0，解得 r15， r25(因 r25 不在定义域内，舍去)当 r(0,5)时， V( r)0，故 V(r)在(0,5)上为增函数；当 r(5,5 )时， V( r)0，3故 V(r)在(5,5 )上为减函数3由此可知， V(r)在 r5 处取得最大值，此时 h8.即当 r5， h8 时，该蓄水池的体积最大类题通法利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法(1)分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量 y 与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系 y f(x)，根据实际问题确定 y
16、f(x)的定义域(2)求方程 f( x)0 的所有实数根(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值题 组 训 练 1书店预计一年内要销售某种书 15 万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30 元，每千册书存放一年要耗库存费 40 元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分_次进货、每次进_册，可使所付的手续费与库存费之和最少解析：设每次进书 x 千册(0 x150)，手续费与库存费之和为 y 元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量一半，即 ，故有 y 30 40，x2 150x x2y 20 ，4 500x2 20 x 15 x 15
17、x28当 0 x15 时， y0，当 15 x150 时， y0.故当 x15 时， y 取得最小值，此时进货次数为 10(次)15015即该书店分 10 次进货，每次进 15 000 册书，所付手续费与库存费之和最少答案：10 15 0002一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时 10 千米时的燃料费是每小时 6 元，而其他与速度无关的费用是每小时 96 元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？解：设轮船速度为 x(x0)千米/时的燃料费用为 Q 元，则 Q kx3，由 6 k103，可得 k . Q x3.3500 3500总费用 y x2 .
18、(3500x3 96) 1x 3500 96x y .6x500 96x2令 y0，得 x20.当 x(0,20)时， y0，此时函数单调递减，当 x(20，)时， y0，此时函数单调递增当 x20 时， y 取得最小值，此轮船以 20 千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小1下面求导运算正确的是( )A(2 x)2 xlog2eB( x3sin x)3 x2cos xC. (xcos x) 1sin xD( xlog 3x)11xln 3解析：选 D (2 x)2 xln 2，( x3sin x)3 x2sin x x3cos x， (xcos x)，( xlog 3x)1 ，所以选 D.c
19、os x xsin xcos2x 1xln 32已知函数 f(x) x3 x2 cx d 有极值，则 c 的取值范围为( )13 12A c B c14 149C c D c14 14解析：选 A 由题意得 f( x) x2 x c，若函数 f(x)有极值，则 14 c0，解得 c .143已知函数 f(x)2 x3 ax236 x24 在 x2 处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A(2,3) B(3，)C(2，) D(，3)解析：选 B 因为函数 f(x)2 x3 ax236 x24 在 x2 处有极值，又 f( x)6 x22 ax36，所以 f(2)0 解得 a15.令 f( x)
20、0，解得 x3 或 x2，所以函数的一个递增区间是(3，)4已知 f(x)3 x2ln x，则 li ( )m f 1 2 x f 1 x xA7 B.73C21 D21解析：选 C f( x)6 x ，1xli m f 1 2 x f 1 x x3li 3 f(1)21.m f 1 2 x f 1 x3 x5函数 yln x x 在 x(0，e上的最大值为( )Ae B1C1 De解析：选 C 函数 yln x x 的定义域为(0，)，又 y 1 ，令1x 1 xxy0 得 x1，当 x(0,1)时， y0，函数单调递增；当 x(1，e)时， y1”的否定是( )A x0R,2 x031 B
21、 xR,2 x31C xR,2 x31 D x0R,2 x031解析：选 C 由特称命题的否定的定义即知132函数 y 的图象在点(1，1)处的切线的方程是( )1xA x y20 B2 x2 y30C x y0 D x y0解析：选 A y ， yError!，1x2 y 在点(1，1)处的切线的斜率为 1，1x切线的方程为 y(1) x1，即 x y20，故选 A.3抛物线 y ax2的准线方程是 y2，则 a 的值为( )A. B18 18C8 D8解析：选 B 由 y ax2得 x2 y， 8，1a 1a a .184下列说法中正确的是( )A一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为
22、真B “ab”与“ a cb c”不等价C “a2 b20，则 a， b 全为 0”的逆否命题是“若 a， b 全不为 0，则 a2 b20”D一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：选 D 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选 D.5已知甲： a， b， c 成等差数列；乙： 2.则甲是乙的( )ab cbA必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选 A 若 2，则 a c2 b，ab cb由此可得 a， b， c 成等差数列；当 a， b， c 成等差数列时，可得 a c2 b，但不一定得出 2，如 a1， b0， c1.ab cb所以
23、甲是乙的必要不充分条件，故选 A.6双曲线 1( mn0)的离心率为 2，它的一个焦点与抛物线 y24 x 的焦点重x2m y2n14合，则 mn 的值为( )A. B.316 38C. D.163 83解析：选 A 抛物线 y24 x 的焦点为 F(1,0)，故双曲线 1 中，x2m y2nm0， n0 且 m n c21.又双曲线的离心率 e 2，cm m nm联立方程，解得Error!故 mn .3167下列命题的否定是真命题的是( )A存在向量 m，使得在 ABC 中， m 且 mAB AC B对所有正实数 x，都有 x 21xC对所有第四象限的角 ，都有 sin 0，所以 x 2 2
24、，1x x1x当且仅当 x ，即 x1 时等号成立，所以 B 是真命题，其否定是假命题；1xC 中，由于第四象限角的正弦值是负数，所以 C 是真命题，其否定是假命题；D 中，对于幂函数 f(x) x ，均有 f(1)1，所以幂函数的图象均经过点(1,1)，所以 D 是假命题，其否定是真命题故选 D.8.函数 f(x) ax3 bx2 cx d 的图象如图，则函数 y ax2 bx32的单调递增区间是( )c3A(，2 B.12， )C2,3 D.98， )15解析：选 D 由题图可知 d0.不妨取 a1， f(x) x3 bx2 cx， f( x)3 x22 bx c.由图可知 f(2)0，
25、f(3)0，124 b c0,276 b c0， b ， c18. y x2 x6， y2 x . 32 94 94当 x 时， y0， y x2 x6 的单调递增区间为 .故选 D.98 94 98， )9已知 F1(3,0)， F2(3,0)是椭圆 1 的两个焦点，点 P 在椭圆上，x2m y2n F1PF2 .当 时， F1PF2面积最大，则 m n 的值是( )23A41 B15C9 D1解析：选 B 由 S F1PF2 |F1F2|yP3 yP，知 P 为短轴端点时， F1PF2面积最12大此时 F1PF2 ，得 a 2 ， b ，故 m n15.23 m 3 n 310已知双曲线
26、C 的离心率为 2，焦点为 F1， F2，点 A 在 C 上若| F1A|2| F2A|，则cos AF2F1( )A. B.14 13C. D.24 23解析：选 A 由题意得Error!解得| F2A|2 a，| F1A|4 a，又由已知可得 2，所以 c2 a，即| F1F2|4 a，cacos AF2F1|F2A|2 |F1F2|2 |F1A|22|F2A|F1F2| .故选 A.4a2 16a2 16a222a4a 1411若不等式 2xln x x2 ax3 对 x(0，)恒成立，则实数 a 的取值范围是( )A(，0) B(，4C(0，) D4，)16解析：选 B 由 2xln
27、x x2 ax3，得 a2ln x x ，3x设 h(x)2ln x x (x0)，3x则 h( x) . x 3 x 1x2当 x(0,1)时， h( x)0，函数 h(x)单调递减；当 x(1，)时， h( x)0，函数 h(x)单调递增，所以 h(x)min h(1)4.所以 a h(x)min4.故 a 的取值范围是(，412定义在 R 上的函数 f(x)满足： f( x) f(x)恒成立，若 x1 x2，则 ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为( )Ae x1f(x2)e x2f(x1)Be x1f(x2)e x2(x1)Ce x1f(x2)e x2f(x1)De x1f(
28、x2)与 ex2f(x1)的大小关系不确定解析：选 A 设 g(x) ，f xex则 g( x) ，f x ex f x ex ex 2 f x f xex由题意 g( x)0，所以 g(x)单调递增，当 x1 x2时， g(x1) g(x2)，即 ，f x1ex1 f x2ex2所以 ex1f(x2)e x2f(x1)二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分请把正确答案填在题中的横线上)13已知函数 f(x)(2 x1)e x， f( x)为 f(x)的导函数，则 f(0)的值为_解析：因为 f(x)(2 x1)e x，所以 f( x)2e x(2 x1)e x(2 x3
29、)e x，所以 f(0)3e 03.答案：314命题“ x0R,2 x 3 ax090”为假命题，则实数 a 的取值范围是_20解析： x0R,2 x 3 ax090 为假命题，20 xR,2 x23 ax90 为真命题，17 9 a24290，即 a28，2 a2 .2 2答案：2 ，2 2 215若双曲线 1( a0， b0)的渐近线与抛物线 x24 y 的准线所围成的三角x2a2 y2b2形的面积为 2，则该双曲线的离心率为_解析：依题意，得双曲线的渐近线方程是 y x，ba抛物线的准线方程是 y1，因此所围成的三角形的三个顶点坐标分别是 ， ，(0,0)，(ab， 1) (ab， 1)
30、该三角形的面积等于 2 1 2，12 ab ab因此该双曲线的离心率 e ca 1 (ba)2 .1 (12)2 52答案：5216某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品，若该商品零售价为 p 元，销量Q(单位：件)与零售价 p(单位：元)有如下关系： Q8 300170 p p2，则该商品零售价定为_元时利润最大，利润的最大值为_元解析：设商场销售该商品所获利润为 y 元，则y( p20)(8 300170 p p2) p3150 p211 700 p166 000( p20)，则 y3 p2300 p11 700.令 y0 得 p2100 p3 9000，解得 p30 或 p130(
31、舍去)则 p， y， y变化关系如下表：p (20,30) 30 (30，)y 0 y 极大值 故当 p30 时， y 取极大值为 23 000 元又 y p3150 p211 700p166 000 在20，)上只有一个极值，故也是最值所以该商品零售价定为每件 30 元，所获利润最大为 23 000 元18答案：30 23 000三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知命题 p：方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆；命题x22 y2mq： xR,4 x24 mx4 m30. 若(綈 p) q 为真，求 m 的
32、取值范围解： p 真时， m2.q 真时，4 x24 mx4 m30 在 R 上恒成立 16 m216(4 m3)0，解得 1 m3.(綈 p) q 为真， p 假， q 真Error! 即 1 m2.所求 m 的取值范围为1,218(本小题满分 12 分)已知抛物线 C： x22 py(p0)上一点 M(m,4)到其焦点的距离为 5.(1)求抛物线 C 的方程；(2)若过点 M 的双曲线 1( a0， b0)的一个顶点为抛物线 C 的焦点，求该双y2a2 x2b2曲线的渐近线方程解：(1)由抛物线的定义可得 4 5，p2解得 p2，所以抛物线 C 的方程为 x24 y.(2)把 M(m,4)
33、代入 x24 y 可得 m4，所以 M 点的坐标为(4,4)，抛物线 x24 y 的焦点为(0,1)， a1，双曲线的方程为 y2 1( b0)，x2b2代入 M(4,4)得 b2 ， b ，1615 415双曲线的渐近线方程为 y x，1415即为 y x.15419(本小题满分 12 分)已知 a2，函数 f(x)( x2 ax a)ex.(1)当 a1 时，求 f(x)的单调递增区间；(2)若 f(x)的极大值是 6e2 ，求 a 的值19解：(1)当 a1 时， f(x)( x2 x1)e x，则 f( x)( x23 x2)e x.由 f( x)0 得 x23 x20，即 x1 或
34、x2，所以函数的单调递增区间为(，2和1，)(2)f( x)(2 x a)ex( x2 ax a)ex x2( a2) x2 aex.由 f( x)0 得 x2 或 x a，因为 a2，所以 a2.当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如表所示：x (，2) 2 (2， a) a ( a，)f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 所以 x2 时 f(x)取得极大值，即(42 a a)e2 6e 2 ，所以 a2.20(本小题满分 12 分)已知椭圆 C： x22 y24.(1)求椭圆 C 的离心率；(2)设 O 为原点，若点 A 在直线 y2 上，点 B 在椭圆 C 上，且
35、OA OB，求线段 AB 长度的最小值解：(1)由题意，得椭圆 C 的标准方程为 1，x24 y22所以 a24， b22，从而 c2 a2 b22.因此 a2， c .故椭圆 C 的离心率 e .2ca 22(2)设点 A， B 的坐标分别为( t,2)，( x0， y0)，其中 x00.因为 OA OB，所以 OA 0，OB 即 tx02 y00，解得 t .2y0x0又 x 2 y 4，20 20所以| AB|2( x0 t)2( y02) 2 2( y02) 2(x02y0x0) x y 420 204y20x2020 x 4204 x202 2 4 x20x20 4(0 x 4)x2
36、02 8x20 20因为 4(0 x 4)，x202 8x20 20当且仅当 x 4 时等号成立，所以| AB|28.20故线段 AB 长度的最小值为 2 .221(本小题满分 12 分)设椭圆 E： 1( a0)的焦点在 x 轴上x2a2 y21 a2(1)若椭圆 E 的焦距为 1，求椭圆 E 的方程；(2)设 F1， F2分别是椭圆 E 的左、右焦点， P 为椭圆 E 上的第一象限内的点，直线 F2P交 y 轴于点 Q，并且 F1P F1Q，证明：当 a 变化时，点 P 在某定直线上解：(1)因为 a21 a2,2c1， a21 a2 c2，则 a2 ，所以椭圆 E 的方程为 1.58 8
37、x25 8y23(2)证明：设 F1( c,0)， F2(c,0)， P(x， y)， Q(0， m)，则 ( x c， y)， ( c， m)，F2P QF2 ( x c， y)， ( c， m)F1P F1Q 由 ， ，F2P QF2 F1P F1Q 得Error! 所以( x c)(x c) y2，即 x2 y2 c2.由椭圆 E 的方程可知， c2 a2(1 a2)2 a21，所以 x2 y22 a21, 即 y2 x22 a21.将上式代入椭圆 E 的方程，得 1，x2a2 x2 2a2 11 a2解得 x2 a4.因为点 P 是第一象限内的点，所以 x a2， y1 a2.故点 P
38、 在定直线 x y1 上22(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)e x2 x23 x.(1)求证：函数 f(x)在区间0,1上存在唯一的极值点(2)当 x 时，若关于 x 的不等式 f(x) x2( a3) x1 恒成立，试求实数 a 的取12 52值范围21解：(1)证明： f( x)e x4 x3， f(0)e 0320， f(0) f(1)0， f( x)在区间0,1上单调递增， f( x)在区间0,1上存在唯一零点， f(x)在区间0,1上存在唯一的极小值点(2)由 f(x) x2( a3) x1，52得 ex2 x23 x x2( a3) x1，52即 axe x x21，12 x ， a .12 ex 12x2 1x令 g(x) ，ex 12x2 1x则 g( x) .ex x 1 12x2 1x2令 (x)e x(x1) x21，则 ( x) x(ex1)12 x ， ( x)0.12 (x)在 上单调递增12， ) (x) 0.(12) 78 12e因此 g( x)0，故 g(x)在 上单调递增，12， )则 g(x) g 2 ，(12)e12 18 112 e 94 a 的取值范围是 .( ， 2e94)22
