1、3 双曲线,3.1 双曲线及其标准方程,一,二,思考辨析,一、双曲线 定义平面内到两定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.定点F1,F2叫作双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距 名师点拨要注意定义中的限制条件:“小于|F1F2|”“绝对值”“非零”. (1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其余条件不变,此时动点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线(包括端点).若将其改为“大于|F1F2|”,其余条件不变,此时动点轨迹不存在. (2)若将绝对值去掉,其余条件不变,则动点的轨迹成为双曲线的一支. (3)若将“等于非零
2、常数”改为“等于零”,则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.,一,二,思考辨析,【做一做1】 已知A(0,-5),B(0,5),|PA|-|PB|=2a,当a=3或5时,P点的轨迹为( ) A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线的一支或一条直线 D.双曲线的一支或一条射线 解析:当a=3时,2a=6,此时|AB|=10, P点的轨迹为双曲线的一支(靠近点B). 当a=5时,2a=10,此时|AB|=10, P点的轨迹为射线,是以B为端点向上的一条射线. 答案:D,一,二,思考辨析,二、双曲线的标准方程,一,二,思考辨析,名师点拨1.在双曲线的标准方程中,可用x2,y2项的
3、系数的正负来判断双曲线的焦点在哪一个坐标轴上:焦点在系数为正项对应的坐标轴上. 2.双曲线标准方程中的两个参数a,b是双曲线的定形条件,但不定位,双曲线在坐标系中的位置由焦点来确定.,一,二,思考辨析,【做一做2】 若k1,则关于x,y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是( ) A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆 C.焦点在y轴上的双曲线 D.焦点在x轴上的双曲线,方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线.,答案:C,一,二,思考辨析,【做一做3】 已知双曲线 ,则双曲线的焦点坐标为( ),解析:由双曲线的标准方程可知a2=16,b2=9,则c2=a2+b2=16+9=
4、25,故c=5.又焦点在x轴上,所以焦点坐标为(-5,0),(5,0). 答案:B,一,二,思考辨析,判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹就是双曲线. ( ) (2)对于双曲线标准方程,三个参数a,b,c中,最大的一定是c. ( ),探究一,探究二,探究三,思维辨析,双曲线的定义及应用 【例1】 若一个动点P(x,y)到两个定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离的差的绝对值为定值a(a0),试讨论点P的轨迹方程. 思维点拨:从题设条件看,P点的轨迹似乎是双曲线,但注意到双曲线定义中的条件,所以要确定点P的轨迹方
5、程,应依据条件,对a进行分类讨论.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:|F1F2|=2. (1)当a=2时,轨迹是两条射线y=0(x1)与y=0(x-1); (2)当a=0时,轨迹是线段F1F2的垂直平分线,即y轴,方程为x=0;,(4)当a2时,轨迹不存在. 反思感悟利用双曲线的定义确定点的轨迹方程时,要注意定义中的条件02a|F1F2|.若条件中不能确定|F1F2|与2a的大小,需分类讨论.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1已知在ABC中,C(-2,0),B(2,0),sin B-sin C= sin A,求顶点A的轨迹方程.,由双曲线的定义知,顶点A的轨迹是以C,B为焦点
6、,实轴长为2的双曲线的右支, c=2,a=1, b2=c2-a2=3,探究一,探究二,探究三,思维辨析,求双曲线的标准方程,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:(方法一)当双曲线的焦点在x轴上时,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(方法二)双曲线的焦点位置不确定, 设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn0). 点P1,P2在双曲线上,反思感悟当双曲线的焦点位置不确定时,将双曲线方程设为mx2+ny2=1(mn0),运算比较简便.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2求下列双曲线的标准方程. (1)焦点的坐标是(-6,0),(6,0),并且经过点A(-
7、5,2);,解:(1)由焦点坐标知焦点在x轴上,且c=6. 而c2=a2+b2,即b2=36-a2,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)方法一:当双曲线焦点在x轴上时,探究一,探究二,探究三,思维辨析,方法二:设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn0).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,焦点三角形问题 【例3】 已知双曲线16x2-9y2=144,F1,F2是左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|PF2|=32,求F1PF2. 思维点拨:本题主要考查双曲线中的有关焦点三角形问题,要注意灵活运用双曲线的定义及余弦定理求解.,解:|PF1|-|PF2|=2a=6, (|PF1|-|PF2|
8、)2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=36. |PF1|2+|PF2|2=36+232=100. 又|F1F2|=2c=10,F1PF2=90.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟本题采用整体代换的思想,避免了单独求解|PF1|与|PF2|的值,这种思想在圆锥曲线问题中经常用到.另外,与焦点三角形有关的问题是椭圆、双曲线中一类重要问题,解题的思路一般是定义和余弦定理结合,采用整体代换的方法.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3设F1,F2为双曲线 -y2=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足F1PF2=90,则F1PF2的面积为 .,解析:由双曲线定义,得|P
9、F1|-|PF2|=4, |PF1|2-2|PF1|PF2|+|PF2|2=16.,答案:1,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因对双曲线的定义理解不当而致误 【典例】 双曲线 上的点P到点(5,0)的距离为8.5,求点P到(-5,0)的距离. 易错分析:解答本题易错点有两处,一是对双曲线的定义模糊不清,忽略绝对值而出现漏解,二是需对解的个数进行检验,如右顶点到右焦点的距离是双曲线上的点到右焦点距离的最小值. 解:设F1(-5,0),F2(5,0),由双曲线定义,知|PF1|-|PF2|=8.故|PF2|=16.5或0.5.又因为左顶点到右焦点的距离为98.5,所以点P只能在双曲线的右支上,所
10、以|PF1|=16.5,即点P到(-5,0)的距离为16.5.,纠错心得由题意,知双曲线左支上的点到左焦点的最短距离为1,所以|PF1|=0.5不合题意.事实上,在求解此类问题时,应灵活运用双曲线的定义,分析出点P的位置情况,然后再求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练若双曲线x2-3y2=k的焦距等于8,则实数k= .,答案:12或-12,1 2 3 4 5,A.-10 C.k0 D.k1或k0,-1k1. 答案:A,1 2 3 4 5,2.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F1(- ,0),点P位于该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则双曲线的方程是( ),答案:B,1
11、 2 3 4 5,答案:B,1 2 3 4 5,4.如图,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A,B为左、右焦点,且过C,D两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为 .,解析:A,B为双曲线的左、右焦点,且AB=4, 双曲线的焦点为(-2,0),(2,0),c=2.,1 2 3 4 5,5.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到该巨响的时间比其他两个观测点晚4 s.已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m.试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播速度为340 m/s,相关各点均在同一平面上).,解:如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正方向,建立直角坐标系.,1 2 3 4 5,设A,B,C分别是正西、正东、正北观测点,则A(-1 020,0),B(1 020,0),C(0,1 020).设P(x,y)为巨响发生点.由A,C同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,故点P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=-x.B点比A点晚4 s听到巨响声,|PB|-|PA|=3404=1 36021 020=2 040.由双曲线的定义,知P点在以A,B为焦点的双曲线 上.由题意,得a=680,c=1 020,b2=c2-a2=1 0202-6802=53402.,
