1、习题课二项式定理的应用,二项展开式的应用 1.利用通项公式 求指定项、特征项(常数项,有理项等)或特征项的系数. 2.近似计算,当|a|与1相比较很小且n不大时,常用近似公式(1a)n1na,使用公式时要注意a的条件以及对计算精确度的要求. 3.整除性问题与求余数问题,对被除式进行合理的变形,把它写成恰当的二项式的形式,使其展开后的每一项含有除式的因式或只有一、二项不能整除. 4.解决与杨辉三角有关的问题的一般方法是:观察分析,试验猜想结论证明,要得出杨辉三角中的数字的诸多排列规律,取决于我们的观察能力,注意观察方法:横看、竖看、斜看、连续看、隔行看,从多角度观察.,探究一,探究二,探究三,思
2、维辨析,【例1】 在(3x-2y)20中,求: (1)二项式系数最大的项; (2)系数绝对值最大的项; (3)系数最大的项.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例2】 (1)用二项式定理证明1110-1能被100整除; (2)求9192被100除所得的余数. 分析利用二项式定理证明整除问题关键是判断所证式子与除数之间的联系,要掌握好对式子的拆分,如本例的第(1)小题,可以利用1110=(10+1)10的展开式进行证明,第(2)小题则可利用9192=(100-9)92的展开式,或利用(90+1
3、)92的展开式进行求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 1.整除性问题或求余数问题的处理方法 (1)解决这类问题,必须构造一个与题目条件有关的二项式. (2)用二项式定理处理这类问题,通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了. (3)要注意余数的范围,a=cr+b这式子中b为余数,b0,r),r是除数,利用二项式定理展开式变形后,若剩余部分是负数要注意转换. 2.利用二项式证明多项式的整除问题 关键是将被除式变形为二项式的形
4、式,使其展开后每一项均含有除式的因式.若f(x),g(x),h(x),r(x)均为多项式,则 (1)f(x)=g(x)h(x)f(x)被g(x)整除. (2)f(x)=g(x)h(x)+r(x)r(x)为g(x)除f(x)后得的余式.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例3】若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a9(x+1)9,且(a0+a2+a8)2-(a1+a3+a9)2=39,则实数m的值为( ) A.1或-3 B.-1或3 C.1 D.-3 解析令x=0,得到a0+a1+a2+a9=(2+m)9,令x=-2,得到a0-a1+a
5、2-a3+-a9=m9,所以有(2+m)9m9=39,即m2+2m=3,解得m=1或-3. 答案A,探究一,探究二,探究三,思维辨析,互动探究本例变为:若(x+2+m)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a9(x-1)9,且(a0+a2+a8)2-(a1+a3+a9)2=39,则实数m的值为 . 解析:令x=2,得到a0+a1+a2+a9=(4+m)9,令x=0,得到a0-a1+a2-a3+-a9=(m+2)9, 所以有(4+m)9(m+2)9=39, 即m2+6m+5=0,解得m=-1或m=-5. 答案:-1或-5,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 1.二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b的一切值都成立.因此,可将a,b设定为一些特殊的值.在使用赋值法时,令a,b等于多少时,应视具体情况而定,一般取“1,-1或0”,有时也取其他值.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,1,2,3,1,2,3,3.已知(2-3x)9=a0+a1x+a2x2+a9x9,则a1+a2+a9= . 解析:由题意,令x=1,得a0+a1+a2+a9=-1,令x=0,得a0=29,所以a1+a2+a9=-1-29. 答案:-1-29,1,2,3,1,2,3,答案:180,
