1、1备考技法专题二 4 大数学思想系统归纳统一统思想第 1 讲 函数与方程思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组或不等式组)来使问题获解方程是从算术方法到代数方法的一种质的飞跃，有时，还可以将函数与方程互相转化、接轨，达到解决问题的目的函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的
2、问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的应用(一) 借助“显化函数关系” ，利用函数思想解决问题在方程、不等式、三角、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解例 1 已知数列 an是各项均为正数的等差数列， a12，且 a2， a3， a41 成等比数列(1)求数列 an的通项公式 an；(2)设数列 an的前 n 项和为 Sn， bn ，若对任意的 nN *，不1Sn 1 1Sn 2 1S2n等式 bn k 恒成立，求实数 k 的最小值解 (1)因为 a12， a a2(a41)，23又因为 an是正项等差数列，
3、所以公差 d0，所以(22 d)2(2 d)(33 d)，解得 d2 或 d1(舍去)，所以数列 an的通项公式 an2 n.(2)由(1)知 Sn n(n1)，则 bn 1Sn 1 1Sn 2 1S2n 1 n 1 n 2 1 n 2 n 3 12n 2n 1 1n 1 1n 2 1n 2 1n 3 12n 12n 1 1n 1 12n 12n2n2 3n 1 ，12n 1n 3令 f(x)2 x (x1)，1x则 f( x)2 ，1x2当 x1 时， f( x)0 恒成立，所以 f(x)在1，)上是增函数，故当 x1 时， f(x)min f(1)3，即当 n1 时，( bn)max ，1
4、6要使对任意的正整数 n，不等式 bn k 恒成立，则需使 k( bn)max ，16所以实数 k 的最小值为 .16技法领悟数列是定义在正整数集上的特殊函数，等差、等比数列的通项公式，前 n 项和公式都具有隐含的函数关系，都可以看成关于 n 的函数，在解等差数列、等比数列问题时，有意识地凸现其函数关系，从而用函数思想或函数方法研究、解决问题 ，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平应用体验1已知等差数列 an满足 3a47 a7， a10， Sn是数列 an的前 n 项和，则 Sn取得最大值时 n_.解析：设等差数列 an的公差为 d，3 a47 a7，3( a1
5、3 d)7( a16 d)，4 a133 d. a10， d ，23 20 ，33 1tan A 3 2，ca12 32 3即 2.ca答案： (2，) 3应用(二) 转换“函数关系” ，利用函数思想解决问题在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解例 2 已知函数 f(x)lg ，其中 a 为常数，若当 x(，1时，1 2x 4xaa2 a 1f(x)有意义，则实数 a 的取值范围为_解析 参数 a 深含
6、在一个复杂的复合函数的表达式中，欲直接建立关于 a 的不等式4(组)非常困难，故应转换思维角度，设法从原式中把 a 分离出来，重新认识 a 与其他变元x 的依存关系，利用新的函数关系，使原问题“柳暗花明” 由 0，且 a2 a1 2 0，1 2x 4xaa2 a 1 (a 12) 34得 12 x4 xa0，故 a .(14x 12x)当 x(，1时， y 与 y 都是减函数，14x 12x因此，函数 y 在(，1上是增函数，(14x 12x)所以 max ， a ， (14x 12x) 34 34故 a 的取值范围是 .(34， )答案 (34， )技法领悟发掘、提炼多变元问题中变元间的相互
7、依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现本题主客换位后，利用新建函数 y 的单调性巧妙地求出实数 a 的取值范14x 12x围此法也叫主元法应用体验3对于满足 0 p4 的所有实数 p，使不等式 x2 px4x p3 成立的 x 的取值范围是_解析：设 f(p)( x1) p x24 x3，则当 x1 时， f(p)0.所以 x1.函数 f(p)在0,4上恒为正，等价于Error!即Error! 解得 x3 或 x0.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，其中 y1y2，则 y1 y2 ， y1y2 ，2m
8、m2 4 3m2 4所以| y2 y1| ，4m2 3m2 4所以 S AOB |OE|y2 y1| .12 2m2 3m2 4 2m2 3 1m2 3设 t ，则 g(t) t ， t ，m2 31t 3所以 g( t)1 0，1t2所以 g(t)在区间 ，)上为增函数，3所以 g(t) ，所以 S AOB ，当且仅当 m0 时等号成立433 32所以 AOB 的面积存在最大值，为 .32应用(三) 构造“函数关系” ，利用函数思想解决问题在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题
9、获解，这是函数思想解题的更高层次的体现特别要注意的是，构造时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移例 3 已知函数 f(x)e x2 x2 a， xR， aR.(1)求 f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当 aln 21 且 x0 时，e xx22 ax1.解 (1)由 f(x)e x2 x2 a，知 f( x)e x2.令 f( x)0，得 xln 2.当 xln 2 时， f( x)0，故函数 f(x)在区间(ln 2，)上单调递增所以 f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)， f(x)在xln 2 处取得极小值 f(ln 2)e l
10、n 22ln 22 a22ln 22 a.(2)证明：设 g(x)e x x22 ax1( x0)，则 g( x)e x2 x2 a，由(1)知 g( x)min g(ln 2)22ln 22 a.又 aln 21，则 g( x)min0.于是对 xR，都有 g( x)0，所以 g(x)在 R 上单调递增于是对 x0，都有 g(x)g(0)0.即 ex x22 ax10，故 exx22 ax1.技法领悟一般地，要证 f(x)g(x)在区间( a， b)上成立，需构造辅助函数 F(x) f(x) g(x)，通过分析 F(x)在端点处的函数值来证明不等式若 F(a)0，只需证明 F(x)在( a，
11、 b)上单调递增即可；若 F(b)0，只需证明 F(x)在( a， b)上单调递减即可应用体验5.(2018天津高考)如图，在平面四边形 ABCD 中，AB BC， AD CD， BAD120 ， AB AD1.若点 E 为边 CD 上的动点，则 的最小值为( )AE BE A. B.2116 32C. D32516解析：选 A 如图，以 D 为坐标原点建立平面直角坐标系，连接 AC.由题意知 CAD CAB60 ， ACD ACB30 ，则 D(0,0)， A(1,0)， B ，(32， 32)C(0， )设 E(0， y)(0 y )，3 3则 (1， y)， ，AE BE ( 32， y
12、 32) y2 y 2 ，AE BE 32 32 (y 34) 2116当 y 时， 有最小值 .34 AE BE 21166设函数 f(x)在 R 上存在导函数 f( x)，对于任意的实数 x，都有 f(x) f( x)2 x2，当 xh(1)3，即 a2 b 的取值范围是(3，)故选 C.答案 (1)(1,3) (2)C技法领悟本例(1)中有一条明显的“动态”水平直线，通过上下移动观察其与函数图象的交点情况但有些题中的这条水平线就不容易能看出来，如本例(2)，实际上存在一条“虚拟”的水平直线，这一点固然重要，却不是本题的关键本题的关键在于水平直线与函数图象的两个交点的横坐标并非毫无关联，而
13、是满足一定的关系，即 ab1，这一关键之处决定了该类型题目的难度和极易出错的特性在此，务必注意到水平直线穿函数图象所得交点的横坐标之间的联系比如，一条水平直线穿二次函数图象的交点的横坐标之和为定值，且为对称轴的两倍；一条水平直线穿三角函数图象的交点的横坐标满足一定的周期性，等等应用体验1已知 f(x)| x| x1|，若 g(x) f(x) a 的零点个数不为 0，则 a 的最小值为_解析：原方程等价于 f(x)Error!其图象如图所示，要使 a f(x)有零点，则 a1，因此 a 的最小值为 1.答案：12已知函数 f(x)sin 的相邻两条对称轴之间的距离为 ，将函数 f(x)的(2 x
14、 3) 4图象向右平移 个单位后，再将所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，得到 g(x)的图象，若 8g(x) k0 在 x 上有且只有一个实数根，则 k 的取值范围是( )0， 2A. B.( ，12 1， 12)C. D. 1(12， 12 ( 12， 12解析：选 D 因为 f(x)相邻两条对称轴之间的距离为 ， 412结合三角函数的图象可知 ，T2 4所以 T ，22 2所以 2， f(x)sin .(4x 3)将 f(x)的图象向右平移 个单位得到 8f(x)sin4 sin ，(x 8) 3 (4x 6)再将所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，得到 g(x)sin .(2x 6)所
15、以方程为 sin k0.(2x 6)令 2x t，因为 x ，所以 t . 6 0， 2 6 56若 g(x) k0 在 x 上有且只有一个实数根，0， 2即 ysin t 与 y k 在 上有且只有一个交点 6， 56作出 ysin t 与 y k 的图象如图所示，由正弦函数的图象可知 k .14所以 k 的取值范围为 .(14， )答案： (14， )应用(二) 利用数形结合求解 kx b f(x)型问题方法一：旋转动直线若直线的斜率在变化，则这样的直线往往都恒过某一个定点，对于这类型的题，首先找出这个定点非常关键，然后确定相应的临界情形，最后考虑旋转的方向例 3 (1)已知函数 f(x)
16、| x2|1， g(x) kx，若 f(x) g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是( )A. B.(0，12) (12， 1)C(1,2) D(2，)(2)(2018天津高考)已知 a0，函数 f(x)Error!若关于 x 的方程 f(x) ax 恰有 2个互异的实数解，则 a 的取值范围是_解析 (1)由题意得函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象有两15个不同的交点，分别画出函数 y f(x)与 y g(x)的图象如图所示直线 g(x) kx 过原点这个定点，寻找临界点，当直线过点(2,1)时，直线与函数 f(x)| x2|1 只有一个交点，此时 k ，然后直线绕着原
17、点逆时针旋转，当与 y f(x)在 x2 时的图象平行时，1 02 0 12就只有一个交点，所以 |x a|至少有一个负数解，则 a 的取值范围是_解析 (1)画出函数 y f(x)的图象，如图所示， y x a 是斜率恒为 1 的动直线，首先考虑直线过原点(这就是我们所说的初始位置)，此时直线刚好与 y f(x)的图象有两个交点，将直线往下平移会有三个交点，一直平移直到与 y f(x)， x0,1相切，此时刚好又出现两个交点的情形(注意平移的动作慢一点)，此时联立Error! x2 x a0， 14 a0 a ，所以在一个周14期内得到满足条件的 a 的值为 a0 或 a ，又因为周期为 2
18、，所以 a2 k 或14a 2 k(kZ)14(2)令 f(x)2 x2， g(x)| x a|，由于 g(x)| x a|的图象是V 形首先将这个 V 形的尖点放在点(2,0)(这是我们所说的初始位置，该点往往都是使得结论恰好成立或者恰好不成立的位置，然后再平移)，此时 a2.然后再将 V 形尖点向左平移，即如图中的箭头所示由图可知，向左平移的临界情况是 V 形尖点右支与 f(x)相切，此时联立Error!知 x2 x a20 有一个解， 14(2 a)0 a .要特别注意，此时 g(x)| x a|的图象与 f(x)2 x2的图9417象相切，但不等式取不到等号，因此 a ，注意到 a2
19、时无负数根，因此 a 的取值范94围为 .(94， 2)答案 (1)D (2) (94， 2)技法领悟对于平移动直线情形，关键在于如何选取初始位置(临界情形)，这个难把握之处正是本块内容的核心，初始位置的选取并非信手拈来，而是有根有据的，通过本例中的两个题目，仔细体会应用体验7已知函数 f(x)Error!且关于 x 的方程 f(x) x a0 有且只有一个实根，则实数a 的取值范围为( )A(1，) B(1,3)C(，1) D(2,4)解析：选 A 画出 f(x)图象，如图所示，则由方程有且仅有一个实根可得 f(x)的图象与直线 y x a 的图象只有一个交点首先让直线过(0,1)(这是我们
20、所说的初始位置，因为当直线向下平移时你会发现有两个交点)，由图可知，只有向上平移才能满足 f(x)图象与直线 y x a 只有一个交点，所以 a 的取值范围是(1，)8已知函数 f(x)Error!若方程 f(x) x a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A(，0 B0,1)C(，1) D0，)解析：选 C 注意本题只有在(1，)内才是周期为 1 的函数，根据函数的解析式首先画出在(，0内的图象，然后截取(1,0的图象向右一个单位一个单位的平移，可以得到 f(x)的图象，如图所示 y x a 是斜率为 1 的动直线，首先让直线过(0,1)(这是我们所说的初始位置，因为当
21、直线向下平移时你会发现有两个交点，向上平移只有一个交点)，由图可知，只有向下平移才能满足 f(x)图象与直线 y x a 有两个交点，所以 a 的取值范围是(，1)应 用 三 利 用 数 形 结 合 求 解 解 析 几 何 问 题例 5 (1)(2018全国卷)设 F1， F2是双曲线 C： 1( a0， b0)的左、右x2a2 y2b2焦点， O 是坐标原点过 F2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P.若| PF1| |OP|，则 C618的离心率为( )A. B25C. D.3 2(2)已知圆 C：( x3) 2( y4) 21 和两点 A( m，0)， B(m，0)( m0)若圆 C
22、上存在点 P，使得 APB90 ，则 m 的最大值为( )A7 B6C5 D4解析 (1)如图，过点 F1向 OP 的反向延长线作垂线，垂足为P，连接 P F2，由题意可知，四边形 PF1P F2为平行四边形，且 PP F2是直角三角形因为| F2P| b，| F2O| c，所以| OP| a.又| PF1| a| F2P|，| PP|2 a，6所以| F2P| a b，所以 c a，2 a2 b2 3所以 e .ca 3(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐标为(3,4)，半径 r1，且|AB|2 m，因为 APB90 ，连接 OP，易知| OP| |AB| m.12要求 m
23、 的最大值，即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离因为| OC| 5，32 42所以| OP|max| OC| r6，即 m 的最大值为 6.答案 (1)C (2)B技法领悟(1)在解析几何的解题过程中，通常要数形结合，这样使数更形象，更直白，充分利用图象的特征，挖掘题中所给的代数关系式和几何关系式，避免一些复杂的计算，给解题提供方便(2)应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：比值可考虑直线的斜率；二元一次式可考虑直线的截距；根式分式可考虑点到直线的距离；根式可考虑两点间的距离应用体验199过直线 x y2 0 上一点 P 作圆 x2 y21 的两条切
24、线，若两条切线的夹角是260，则点 P 的坐标是_解析：如图，由题意可知 APB60 ，由切线性质可知 OPB30 .在 Rt OBP 中， OP2 OB2，又点 P 在直线x y2 0 上，所以不妨设点 P(x,2 x)，则 OP2 22，即 x2(2 x)24，整理得x2 22 x 2 2x22 x20，所以 x ，即点 P 的坐标为( ， )2 2 2 2答案：( ， )2 210已知抛物线的方程为 x28 y， F 是其焦点，点 A(2,4)，在此抛物线上求一点P，使 APF 的周长最小，此时点 P 的坐标为_解析：因为(2) 20，且 a1)在1,2上的最大值为 4，最小值为 m，且
25、函数g(x)(14 m) 在0，) 上是增函数，则 a_.x解析：若 a1，有 a24， a1 m，此时 a2， m ，此时 g(x) 为减函数，不12 x合题意；若 00，且 a1)的定义域和值域都是1,0，则a b_.解析 ：当 a1时，函数 f(x) ax b在 1,0上为增函数，由题意得 Error!无解当 00 时， g(x)的对称轴 x ，则当 x 时， f( x)0.所以 f(x)在 x2 处取得极小值若 a ，则当 x(0,2)时， x20.所以 2 不是 f(x)的极小值点综上可知， a 的取值范围是 .(12， )技法领悟(1)本题研究函数性质对参数 a 进行分类讨论，分为
26、 a 和 a 两种情况12 12(2)若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确、不重不漏应用体验5已知函数 f(x) mx2 xln x，若在函数 f(x)的定义域内存在区间 D，使得该函数在区间 D 上为减函数，则实数 m 的取值范围为_解析： f( x)2 mx1 ，1x 2mx2 x 1x即 2mx2 x10 时，由于函数 y2 mx2 x1 的图象的对称轴 x 0，14m故只需 0，即 18 m0，解得 m0 时，令 g( x)
27、 ，则 g(x)的单调递减区间是2m 2m(， )，( ，)2m 2m综上所述，当 m0 时， g(x)的单调递减区间是(，)；当 m0 时， g(x)的单调递减区间是(， )，( ，)2m 2m应 用 四 根 据 图 形 位 置 或 形 状 分 类 讨 论例 4 (2018全国卷)设抛物线 C： y22 x，点 A(2，0)， B(2,0)，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M， N 两点(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；(2)证明： ABM ABN.解 (1)当 l 与 x 轴垂直时， l 的方程为 x2，可得点 M 的坐标为(2,2)或(2，2)所以直线 BM 的方
28、程为y (x2)或 y (x2)，12 12即 x2 y20 或 x2 y20.(2)证明：当 l 与 x 轴垂直时， AB 为 MN 的垂直平分线，所以 ABM ABN.当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y k(x2)( k0)， M(x1， y1)， N(x2， y2)，则x10， x20.由Error! 得 ky22 y4 k0，所以 y1 y2 ， y1y24.2k25直线 BM， BN 的斜率之和为kBM kBN .y1x1 2 y2x2 2 x2y1 x1y2 2 y1 y2 x1 2 x2 2将 x1 2， x2 2 及 y1 y2， y1y2的表达式代入式分子，y1
29、k y2k可得 x2y1 x1y22( y1 y2) 0.2y1y2 4k y1 y2k 8 8k所以 kBM kBN0，可知 BM， BN 的倾斜角互补，所以 ABM ABN.综上， ABM ABN 成立技法领悟(1)本题中直线 l 的位置不确定，设直线方程时，应分两种情况讨论(2)根据图形位置或形状分类讨论的关键点确定特征，一般在确立初步特征时将能确定的所有位置先确定分类，根据初步特征对可能出现的位置关系进行分类得结论，将“所有关系”下的目标问题进行汇总处理应用体验7已知变量 x， y 满足的不等式组Error!表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数 k( )A B.12 12C0
30、D0 或12解析：选 D 不等式组Error!表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使不等式组表示的平面区域是直角三角形，只有当直线 y kx1 与直线 x0 或 y2 x 垂直时才满足结合图形可知斜率 k 的值为 0 或 .128设 F1， F2为椭圆 1 的两个焦点， P 为椭圆上一点已知 P， F1， F2是一个x29 y24直角三角形的三个顶点，且| PF1| PF2|，求 的值|PF1|PF2|解：若 PF2F190 .26则| PF1|2| PF2|2| F1F2|2，又| PF1| PF2|6，| F1F2|2 ，5解得| PF1| ，| PF2| ， .143 43
31、|PF1|PF2| 72若 F1PF290 ，则| F1F2|2| PF1|2| PF2|2，| PF1|2(6| PF1|)220，解得| PF1|4，| PF2|2， 2.|PF1|PF2|综上知， 或 2.|PF1|PF2| 72总结升华1分类讨论的原则(1)不重不漏；(2)标准要统一，层次要分明；(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论2分类讨论的本质与思维流程(1)分类讨论思想的本质：“化整为零，积零为整” (2)分类讨论的思维流程：明确讨论的对象和动机确定分类的标准逐类进行讨论归纳综合结论检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集) 第 4 讲
32、 转化与化归思想“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙事实上，数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现转化的常用策略有熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等应 用 一 正 与 反 的 转 化例 1 若对任意的 t1,2，函数 g(x) x3 x22 x 在区间( t,3)上总不为单(m2 2)调函数，则实数 m 的取值范围是_解析 由题意得 g( x)3 x2( m4) x2，若 g(x)在区间( t
33、,3)上总为单调函数，则 g( x)0 在( t,3)上恒成立，或 g( x)0 在( t,3)上恒成立由得 3x2( m4) x20，即 m4 3 x 在 x( t,3)上恒成立，2x27 m4 3 t 恒成立，则 m41，即 m5；2t由得 m4 3 x 在 x( t,3)上恒成立，2x则 m4 9，即 m .23 373函数 g(x)在区间( t,3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为 0”是真命题，可得 m 的取值范围是(，1)，而(， a)与(，1)为同一区间，故 a1.2已知集合 A x|1 x0，集合 B x|ax b2x10，即 f(x)在1,0上是单调递增函数，所以 f(x
34、)在1,0上的最小值为 a 1.要使b2A B ，只需 f(x)min a 10，即 2a b20 ，所以满足b2A B 的( a， b)对应的区域为如图所示的阴影部分28易知 S 阴影 1 ，所以 A B的概率为 ，12 12 14 144 116故 A B的概率为 1 .116 1516应 用 二 常 量 与 变 量 的 转 化例 2 已知函数 f(x) x33 ax1， g(x) f( x) ax5，其中 f( x)是 f(x)的导函数对任意 a1,1都有 g(x)a4a5 B a1a8a4 a5 D a1a8 a4a5解析：选 B 取特殊数列 1,2,3,4,5,6,7,8，显然只有
35、1845 成立，即 a1a8a4a5.5设四边形 ABCD 为平行四边形，| |6，| |4.若点 M， N 满足AB AD 303 ， 2 ，则 ( )BM MC DN NC AM NM A20 B15C9 D6解析：选 C 法一：(特例法)若四边形 ABCD 为矩形，建系如图由 3 ， 2 ，BM MC DN NC 知 M(6,3)， N(4,4)， (6,3)， (2，1)AM NM 623(1)9.AM NM 法二：如图所示，由题设知， ，AM AB BM AB 34AD ，NM NC MC 13AB 14AD AM NM | |2 | |2 13 AB 316 AD 14AB AD
36、14AB AD 36 169.13 316应 用 四 函 数 、 方 程 、 不 等 式 间 的 转 化例 4 已知函数 f(x)3e |x|，若存在实数 t1，)，使得对任意的 x1， m，mZ 且 m1，都有 f(x t)3e x，试求 m 的最大值解 当 t1，)且 x1， m时， x t0， f(x t)3e xex te xt1ln x x.原命题等价转化为：存在实数 t1，)，使得不等式 t1ln x x 对任意x1， m恒成立令 h(x)1ln x x(1 x m) h( x) 10，1x函数 h(x)在1，)上为减函数，又 x1， m， h(x)min h(m)1ln m m.要使得对任意的 x1， m， t 值恒存在，只需 1ln m m1.
