1、1专题检测（十三） 立体几何中的向量方法A 组大题考点落实练1.如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， A1A底面 ABCD，四边形ABCD 为菱形， A1A AB2， ABC60 ， E， F 分别是 BC， A1C 的中点(1)求异面直线 EF， AD 所成角的余弦值；(2)点 M 在线段 A1D 上， ，若 CM平面 AEF，求实数 的A1MA1D值解：(1)因为 A1A平面 ABCD， AE平面 ABCD， AD平面 ABCD，所以 A1A AE， A1A AD.在菱形 ABCD 中， ABC60 ，连接 AC，则 ABC 是等边三角形因为 E 是 BC 的中点，所以 BC AE
2、.因为 BC AD，所以 AE AD.以 A 为坐标原点， AE 为 x 轴， AD 为 y 轴， AA1为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0，0)， C( ，1,0)， D(0,2,0)，3A1(0,0,2)， E( ，0,0)， F ，3 (32， 12， 1)(0,2,0)， ，AD EF ( 32， 12， 1)所以 cos ， ，AD EF 122 24所以异面直线 EF， AD 所成角的余弦值为 .24(2)设 M(x， y， z)，由于点 M 在线段 A1D 上，且 ，A1MA1D所以 ，则( x， y， z2) (0,2，2)A A1D 解得 M(0,2 ，2
3、2 )，所以 ( ，2 1,22 )CM 3设平面 AEF 的一个法向量为 n( x0， y0， z0)因为 ( ，0,0)， ，AE 3 AF (32， 12， 1)所以 即Error!取 y02，得 z01，2则平面 AEF 的一个法向量为 n(0,2，1)由于 CM平面 AEF，则 n 0，CM 即 2(2 1)(22 )0，解得 .232.(2019 届高三河北三市联考)如图，三棱柱 ADEBCG 中，四边形 ABCD 是矩形， F 是 EG 的中点， EA AB， AD AE EF1，平面ABGE平面 ABCD.(1)求证： AF平面 FBC；(2)求二面角 BFCD 的正弦值解：(
4、1)证明：四边形 ABCD 是矩形， BC AB，又平面 ABGE平面 ABCD， BC平面 ABGE， AF平面 ABGE， BC AF.在 AFB 中， AF BF ， AB2，2 AF2 BF2 AB2，即 AF BF，又 BF BC B， AF平面 FBC.(2)分别以 AD， AB， AE 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0)， D(1,0,0)， C(1,2,0)， E(0,0,1)，B(0,2,0)， F(0,1,1)， (1,0,1)， (0,2,0)，DE DC 设 n1( x， y， z)为平面 CDEF 的法向量，则 即Error
5、!令 x1，得 z1，即 n1(1,0,1)为平面 CDEF 的一个法向量，取 n2 (0,1,1)为平面 BCF 的一个法向量，AF cosn 1，n 2 ，n 1n 2| n 1| n 2| 12二面角 BFCD 的正弦值为 .323如图，在四棱锥 EABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形，其中 CD AB， BC AB，侧面 ABE平面 ABCD，且AB AE BE2 BC2 CD2，动点 F 在棱 AE 上，且 EF FA .3(1)试探究 的值，使 CE平面 BDF，并给予证明；(2)当 1 时，求直线 CE 与平面 BDF 所成角的正弦值解：(1)当 时， CE平面 BDF.证明
6、如下：12连接 AC 交 BD 于点 G，连接 GF， CD AB， AB2 CD， ，CGGA CDAB 12 EF FA， ， GF CE，12 EFFA CGGA 12又 CE平面 BDF， GF平面 BDF， CE平面 BDF.(2)取 AB 的中点 O，连接 EO，则 EO AB，平面 ABE平面 ABCD，平面 ABE平面 ABCD AB， EO平面 ABCD，连接 DO， BO CD，且 BO CD1，四边形 BODC 为平行四边形， BC DO，又 BC AB， AB OD，则 OD， OA， OE 两两垂直，以 O 为坐标原点， OD， OA， OE 所在直线分别为 x 轴，
7、 y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 O(0,0,0)， A(0,1,0)， B(0，1,0)， D(1,0,0)，C(1，1，0)， E(0,0， )3当 1 时，有 ， F ，EF FA (0， 12， 32) (1,1,0)， ， (1,1， )BD BF (0， 32， 32) CE 3设平面 BDF 的法向量为 n( x， y， z)，则 即Error!令 z ，得 y1， x1，3则 n(1，1， )为平面 BDF 的一个法向量，3设直线 CE 与平面 BDF 所成的角为 ，则 sin |cos ，n| ，CE | 1 1 3|55 15故直线 CE 与平面 BDF
8、 所成角的正弦值为 .154(2018成都一诊)如图，在边长为 5 的菱形 ABCD 中， AC6，现沿对角线 AC 把4 ADC 翻折到 APC 的位置得到四面体 PABC，如图所示已知 PB4 .2(1)求证：平面 PAC平面 ABC；(2)若 Q 是线段 AP 上的点，且 ，求二面角 QBCA 的余弦值AQ 13AP 解：(1)证明：取 AC 的中点 O，连接 PO， BO.四边形 ABCD 是菱形， PA PC， PO AC. DC5， AC6， OC3， PO OB4， PB4 ，2 PO2 OB2 PB2， PO OB. OB AC O， PO平面 ABC. PO平面 PAC，平面
9、 PAC平面 ABC.(2) AB BC， BO AC.故 OB， OC， OP 两两垂直以 O 为坐标原点， OB， OC， OP 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz.则 B(4,0,0)， C(0,3,0)， P(0,0,4)， A(0，3,0)设点 Q(x， y， z)由 ，得 Q .AQ 13AP (0， 2， 43) (4,3,0)， .BC BQ ( 4， 2， 43)设 n1( x1， y1， z1)为平面 BCQ 的法向量，由 得Error!取 x13，则 n1(3,4,15)取平面 ABC 的一个法向量 n2(0,0,1)cosn
10、 1，n 2 ，n1n2|n1|n2| 1532 42 152 310105二面角 QBCA 为锐角，二面角 QBCA 的余弦值为 .31010B 组大题专攻补短练1.在三棱锥 PABC 中， PA PB PC2， BC1， AC ， AC BC.3(1)求点 B 到平面 PAC 的距离(2)求异面直线 PA 与 BC 所成角的余弦值解：(1)以 C 为坐标原点， CA 为 x 轴， CB 为 y 轴，过 C 作平面 ABC的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，取 AB 的中点 D，连接 PD， DC，因为 ACB 为直角三角形且 AC ， BC1，3所以 AB2，所以 PAB 为正三角形，所
11、以 PD AB 且 PD .3在 PDC 中， PC2， PD ， DC1，3所以 PC2 PD2 DC2，所以 PD DC，又 AB DC D，所以 PD平面 ABC.则 A( ，0,0)， B(0,1,0)， D ， P ， C(0,0,0)， ( ，0,0)，3 (32， 12， 0) (32， 12， 3) CA 3 ， ， (0,1,0)，CD (32， 12， 0) CP (32， 12， 3) CB 设平面 PAC 的法向量 n( x， y， z)，则 即Error!取 y2 ，得 n(0,2 ，1)为平面 PAC 的一个法向量，3 3所以点 B 到平面 PAC 的距离d .23
12、13 23913(2)因为 ， (0，1,0)，PA (32， 12， 3) BC 设异面直线 PA 与 BC 所成角为 ，则 cos .1241 14所以异面直线 PA 与 BC 所成角的余弦值为 .142.已知四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是梯形，6BC AD， AB AD，且 AB BC1， AD2，顶点 P 在平面 ABCD 内的射影 H 在 AD 上， PA PD.(1)求证：平面 PAB平面 PAD；(2)若直线 AC 与 PD 所成角为 60，求二面角 APCD 的余弦值解：(1)证明： PH平面 ABCD， AB平面 ABCD， PH AB. AB AD， AD PH
13、 H， AD平面 PAD， PH平面 PAD， AB平面 PAD.又 AB平面 PAB，平面 PAB平面 PAD.(2)以 A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz， PH平面 ABCD， z 轴 PH.则 A(0,0,0)， C(1,1,0)， D(0,2,0)，设 AH a， PH h(00)则 P(0， a， h) (0， a， h)， (0， a2， h)， (1,1,0)AP DP AC PA PD， a(a2) h20.AP DP AC 与 PD 所成角为 60，|cos ， | ，AC DP |a 2|2 a 2 2 h2 12( a2) 2 h2，( a2)( a
14、1)0，00， h1， P(0,1,1) (0,1,1)， (1,1,0)， (1,0，1)， (1，1,0)，AP AC PC DC 设平面 APC 的法向量为 n( x1， y1， z1)，则 即Error!令 x11，得 y11， z11，平面 APC 的一个法向量为 n(1，1,1)，设平面 DPC 的法向量为 m( x2， y2， z2)则 即Error!令 x21，得 y21， z21，平面 DPC 的一个法向量为 m(1,1,1)cosm，n .mn|m|n| 137二面角 APCD 的平面角为钝角，二面角 APCD 的余弦值为 .133(2018西安质检)如图，四棱柱 ABCD
15、A1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形，AC BD O， A1O底面 ABCD， AB2， AA13.(1)证明：平面 A1CO平面 BB1D1D；(2)若 BAD60 ，求二面角 BOB1C 的余弦值解：(1)证明： A1O平面 ABCD， BD平面 ABCD. A1O BD.四边形 ABCD 是菱形， CO BD. A1O CO O， BD平面 A1CO. BD平面 BB1D1D，平面 A1CO平面 BB1D1D.(2) A1O平面 ABCD， CO BD， OB， OC， OA1两两垂直，以 O 为坐标原点， ，OB ， 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立如图所示的空间直
16、角坐标系OC OA1 AB2， AA13， BAD60 ， OB OD1， OA OC ，3OA1 .AA21 OA2 6则 O(0,0,0)， B(1,0,0)， C(0， ，0)， A(0， ，0)， A1(0,0， )，3 3 6 (1,0,0)， (0， ， )，OB BB1 AA1 3 6 (1， ， )， (0， ，0)OB1 OB BB1 3 6 OC 38设平面 OBB1的法向量为 n( x1， y1， z1)，则 即Error!令 y1 ，得 n(0， ，1)是平面 OBB1的一个法向量2 2设平面 OCB1的法向量 m( x2， y2， z2)，则 即Error!令 z21
17、，得 m( ，0，1)为平面 OCB1的一个法向量，6cosn，m ，nm|n|m| 137 2121由图可知二面角 BOB1C 是锐二面角，二面角 BOB1C 的余弦值为 .21214(2018潍坊统考)在平行四边形 PABC 中， PA4， PC2 ， P45 ， D 是 PA 的2中点(如图 1)将 PCD 沿 CD 折起到图 2 中 P1CD 的位置，得到四棱锥 P1ABCD.(1)将 PCD 沿 CD 折起的过程中， CD平面 P1DA 是否成立？请证明你的结论(2)若 P1D 与平面 ABCD 所成的角为 60，且 P1DA 为锐角三角形，求平面 P1AD 和平面P1BC 所成角的
18、余弦值解：(1)将 PCD 沿 CD 折起过程中， CD平面 P1DA 成立证明如下： D 是 PA 的中点， PA4， DP DA2，在 PDC 中，由余弦定理得，CD2 PC2 PD22 PCPDcos 458422 2 4，222 CD2 PD， CD2 DP28 PC2， PDC 为等腰直角三角形且 CD PA， CD DA， CD P1D， P1D AD D， CD平面 P1DA.(2)由(1)知 CD平面 P1DA， CD平面 ABCD，平面 P1DA平面 ABCD， P1DA 为锐角三角形， P1在平面 ABCD 内的射影必在棱 AD 上，记为 O，连接P1O， P1O平面 AB
19、CD，9则 P1DA 是 P1D 与平面 ABCD 所成的角， P1DA60 ， DP1 DA2， P1DA 为等边三角形， O 为 AD 的中点，故以 O 为坐标原点，过点 O 且与 CD 平行的直线为 x 轴， DA 所在直线为 y 轴， OP1所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 x 轴与 BC 交于点 M， DA P1A2， OP1 ，3易知 OD OA CM1， BM3，则 P1(0,0， )， D(0，1,0)， C(2，1,0)， B(2,3,0)，3(2,0,0)， (0，4,0)， (2，1， )，DC BC P 3 CD平面 P1DA，可取平面 P1DA 的一个法向量 n1(1,0,0)，设平面 P1BC 的法向量 n2( x2， y2， z2)，则 即Error!令 z21，则 n2 ，(32， 0， 1)设平面 P1AD 和平面 P1BC 所成的角为 ，由图易知 为锐角，cos |cosn 1，n 2| .|n 1n 2| n 1| n 2|32172 217平面 P1AD 和平面 P1BC 所成角的余弦值为 .21710
