1、1专题检测（十一） 空间几何体的三视图、表面积及体积一、选择题1如图所示是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )解析：选 D 先观察俯视图，由俯视图可知选项 B 和 D 中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项 D 正确2设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为 4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为( )A100 B. 2563C. D. 4003 5003解析：选 D 因为切面圆的半径 r4，球心到切面的距离 d3，所以球的半径 R 5，故球的体积 V R3 5 3 ，即该西瓜的体积为 .r2 d2 42 3243 43 5003 50033(2019 届高三开封
2、高三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )A4 B2C. D432解析：选 B 由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为 ，由 tan ，得 ，故底31 3 3面面积为 22 ，则该几何体的体积为 32.12 3 23 234 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵” 已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )A2 B42 2C44 D462 2解析：选 C 由三视图知，该几何体是直三棱柱 ABCA1B1C1，其直观图如图所示，其中 AB AA12， BC
3、 AC ， C90 ，侧面为三个矩2形，故该“堑堵”的侧面积 S(22 )244 .2 25(2018惠州二调)如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且直角边长都等于 1，则该几何体的外接球的体积为( )A. B. 12 32C3 D. 43解析：选 B 还原几何体为如图所示的三棱锥 ABCD，将其放入棱长为 1 的正方体中，如图所示，则三棱锥 ABCD 外接球的半径 R ，该几32何体的外接球的体积 V R3 ，故选 B.43 326已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )3A. cm3 B. cm343 83C2 cm 3 D
4、4 cm 3解析：选 B 由三视图可知，该几何体为底面是正方形，且边长为 2 cm，高为 2 cm 的四棱锥，如图，故 V 222 (cm3)13 837如图，已知 EAB 所在的平面与矩形 ABCD 所在的平面互相垂直，EA EB3， AD2， AEB60 ，则多面体 EABCD 的外接球的表面积为( )A. B8163C16 D64解析：选 C 由题知 EAB 为等边三角形，设球心为 O， O 在平面 ABCD 的射影为矩形 ABCD 的中心， O 在平面 ABE 上的射影为 EAB 的重心 G，又由平面EAB平面 ABCD，则 OGA 为直角三角形， OG1， AG ，所以 R24，所以
5、多面体3EABCD 的外接球的表面积为 4 R216.8(2018昆明摸底)古人采取“用臼舂米”的方法脱去稻谷的外壳，获得可供食用的大米，用于舂米的“臼”多用石头或木头制成一个“臼”的三视图如图所示，则凿去部分(看成一个简单的组合体)的体积为( )4A63 B72C79 D99解析：选 A 由三视图得凿去部分是圆柱与半球的组合体，其中圆柱的高为 5，底面圆的半径为 3，半球的半径为 3，所以组合体的体积为 3 25 3 363.12 439(2019 届高三武汉调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )A28 B242 5C204 D2025 5解析：选 B 根据该几何体的三视图作
6、出其直观图如图所示，可知该几何体是一个底面是梯形的四棱柱根据三视图给出的数据，可得该几何体中梯形的上底长为 2，下底长为 3，高为 2，所以该几何体的表面积 S (23)222223222 242 ，故选 B.12 22 12 510.如图是一个几何体的三视图，其中正视图是边长为 2 的等边三角形，侧视图是直角边长分别为 1 和 的直角三角形，俯3视图是半径为 1 的半圆，则该几何体的内接三棱锥的体积的最大值为( )A. B.36 335C. D.433 33解析：选 B 由三视图可知该几何体为半个圆锥，圆锥的母线长 l2，底面半径r1，高 h .由半圆锥的直观图可得，当三棱锥的底面是斜边，为
7、半圆直径，高为半径3的等腰直角三角形，棱锥的高为半圆锥的高时，其内接三棱锥的体积达到最大值，最大体积为 V 21 ，故选 B.13 12 3 3311(2019 届高三贵阳摸底考试)某实心几何体是用棱长为 1 cm 的正方体无缝粘合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A50 cm 2 B61 cm 2C84 cm 2 D86 cm 2解析：选 D 根据题意可知该几何体由 3 个长方体(最下面长方体的长、宽、高分别为5 cm,5 cm, 1 cm；中间长方体的长、宽、高分别为 3 cm,3 cm,1 cm；最上面长方体的长、宽、高分别为 1 cm,1 cm,1 cm)叠合而成，长
8、、宽、高分别为 5 cm,5 cm,1 cm 的长方体的表面积为 2(555151)23570(cm 2)；长、宽、高分别为 3 cm,3 cm,1 cm 的长方体的表面积为 2(333131)21530(cm 2)；长、宽、高分别为 1 cm，1 cm,1 cm 的长方体的表面积为 2(111111)23 6(cm 2)由于几何体的叠加而减少的面积为 2(33)2(11)21020(cm 2)，所以所求表面积为703062086(cm 2)12在棱长为 3 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， P 在线段 BD1上，且 ， M 为线段BPPD1 12B1C1上的动点，则三棱锥 MPBC 的
9、体积为( )A1 B.32C. D与 M 点的位置有关92解析：选 B ，点 P 到平面 BCC1B1的距离是 D1到平面 BCC1B1距离的 ，即BPPD1 12 13为 1. M 为线段 B1C1上的点， S MBC 33 ，D1C13 12 926 VMPBC VPMBC 1 .13 92 3213(2018洛阳尖子生第一次联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A2 B1C. D.23 13解析：选 C 由题图可知该几何体是一个四棱锥，如图所示，其中PD平面 ABCD，底面 ABCD 是一个对角线长为 2 的正方形，底面积 S 222，高 h1，则该几何体的体积 V S
10、h ，故选 C.12 13 2314(2018武汉调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B.12 22C. D.33 23解析：选 D 由三视图知，该几何体是在长、宽、高分别为 2,1,1 的长方体中，截去一个三棱柱 AA1D1BB1C1和一个三棱锥 CBC1D 后剩下的几何体，即如图所示的四棱锥DABC1D1，四棱锥 DABC1D1的底面积为 S 四边形 ABC1D12 2 ，高 h ，2 222其体积 V S 四边形 ABC1D1h 2 .13 13 2 22 23715(2019 届高三安徽知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A1
11、B.12C. D.13 14解析：选 C 法一：该几何体的直观图为如图所示的四棱锥SABCD， SD平面 ABCD，且 SD1，四边形 ABCD 是平行四边形，且AB DC1，连接 BD，由题意知 BD DC， BD AB，且 BD1，所以 S 四边形 ABCD1，所以 VSABCD S 四边形 ABCDSD .13 13法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以 V Sh，其中 S 指的是锥体的底面积，即13俯视图中四边形的面积，易知 S1， h 指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知 h1，所以 V Sh .13 1316(2018福州质检)已知三棱锥 PABC 的四个顶点都在球 O 的表面上，
12、 PA平面ABC， AB BC，且 PA8.若平面 ABC 截球 O 所得截面的面积为 9，则球 O 的表面积为( )A10 B25C50 D100解析：选 D 设球 O 的半径为 R，由平面 ABC 截球 O 所得截面的面积为 9，得 ABC的外接圆的半径为 3.设该外接圆的圆心为 D，因为 AB BC，所以点 D 为 AC 的中点，所以DC3.因为 PA平面 ABC，易证 PB BC，所以 PC 为球 O 的直径又 PA8，所以OD PA4，所以 R OC 5，所以球 O 的表面积为 S4 R2100.12 42 32二、填空题17一个四棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则该四棱
13、锥的体积是_8解析：由四棱锥的三视图可知，该四棱锥的直观图如图中四棱锥 PABCD 所示，底面 ABCD 为边长为 1 的正方形， PAD 是边长为 1 的等边三角形，作PO AD 于点 O，则 O 为 AD 的中点，所以四棱锥的体积为 V 11 .13 32 36答案：3618.如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中， D 为棱 AA1的中点若AA14， AB2，则四棱锥 BACC1D 的体积为_解析：取 AC 的中点 O，连接 BO(图略)，则 BO AC，所以 BO平面 ACC1D.因为 AB2，所以 BO .3因为 D 为棱 AA1的中点， AA14，所以 AD2，所以 S 梯形 AC
14、C1D (24)26，12所以四棱锥 BACC1D 的体积为 6 2 .13 3 3答案：2 319.如图，半径为 4 的球 O 中有一内接圆柱，则圆柱的侧面积最大值是_解析：设圆柱的上底面半径为 r，球的半径与上底面夹角为 ，则 r4cos ，圆柱的高为 8sin .所以圆柱的侧面积为 32sin 2 .当且仅当 时，sin 2 1，圆柱的侧面积最大， 4所以圆柱的侧面积的最大值为 32.答案：3220(2018沈阳质检)已知在正四棱锥 SABCD 中， SA6 ，那么当该棱锥的体积最3大时，它的高为_9解析：设正四棱锥的底面正方形的边长为 a，高为 h，因为在正四棱锥 SABCD 中，SA6 ，所以 h2108，即 a22162 h2，所以正四棱锥的体积3a22VSABCD a2h72 h h3，令 y72 h h3，则 y722 h2，令 y0，得 06，所以当该棱锥的体积最大时，它的高为 6.答案：6
