1、1专题检测（二十二） “圆锥曲线”压轴大题的抢分策略1.(2018济南模拟)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C1： x24 y，直线 l 与抛物线 C1交于 A， B 两点(1)若直线 OA， OB 的斜率之积为 ，证明：直线 l 过定点；14(2)若线段 AB 的中点 M 在曲线 C2： y4 x2(2 x2 )上，求| AB|的最大值14 2 2解：(1)证明：由题意可知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y kx m， A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得 x24 kx4 m0， 16( k2 m)0， x1 x24 k， x1x24 m，则
2、kOAkOB ，y1y2x1x2 14x2114x2x1x2 x1x216 m4由已知 kOAkOB ，得 m1，满足 0，14直线 l 的方程为 y kx1，直线 l 过定点(0,1)(2)设 M(x0， y0)，由已知及(1)得 x0 2 k，x1 x22y0 kx0 m2 k2 m，将 M(x0， y0)代入 y4 x2(2 x2 )，得14 2 22k2 m4 (2k)2， m43 k2.142 x02 ，2 2 k2 ， k ，2 2 2 2 2 2 16( k2 m)16( k243 k2)32(2 k2)0， k ，2 2故 k 的取值范围是( ， )2 2| AB| 1 k2
3、x1 x2 2 4x1x2 1 k2 16 k2 m4 2 k2 1 2 k24 6 ，2 k2 1 2 k22 2当且仅当 k212 k2，即 k 时取等号，22| AB|的最大值为 6 .222(2018石家庄质检)已知椭圆 C： 1( a b0)的离心率为 ，左、右焦x2a2 y2b2 223点分别为 F1， F2，过 F1的直线交椭圆于 A， B 两点(1)若以 AF1为直径的动圆内切于圆 x2 y29，求椭圆的长轴的长；(2)当 b1 时，问在 x 轴上是否存在定点 T，使得 为定值？并说明理由TA TB 解：(1)设 AF1的中点为 M，连接 OM， AF2(O 为坐标原点)，在
4、AF1F2中， O 为 F1F2的中点，所以| OM| |AF2| (2a| AF1|) a |AF1|.12 12 12由题意得| OM|3 |AF1|，12所以 a3，故椭圆的长轴的长为 6.(2)由 b1， ， a2 b2 c2，得 c2 ， a3，ca 223 2所以椭圆 C 的方程为 y21.x29当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y k(x2 )，2由Error! 得(9 k21) x236 k2x72 k290，2设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ，362k29k2 1 72k2 99k2 1y1y2 k2(x12 )(
5、x22 ) .2 2 k29k2 1设 T(x0,0)，则 ( x1 x0， y1)， ( x2 x0， y2)，TA TB x1x2( x1 x2)x0 x y1y2 ，TA TB 20 9x20 362x0 71 k2 x20 99k2 1当 9x 36 x0719( x 9)，即 x0 时，20 2 201929 为定值，定值为 x 9 .TA TB 20 781当直线 AB 的斜率不存在时，不妨设 A ， B ，( 22，13) ( 22， 13)当 T 时， .(1929 ， 0) TA TB (29， 13) (29， 13) 781综上，在 x 轴上存在定点 T ，使得 为定值(
6、1929 ， 0) TA TB 33(2019 届高三西安八校联考)已知直线 l： x my1 过椭圆 C： 1( ab0)x2a2 y2b2的右焦点 F，抛物线 x24 y 的焦点为椭圆 C 的上顶点，且 l 交椭圆 C 于 A， B 两点，点3A， F， B 在直线 x4 上的射影依次为 D， K， E.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l 交 y 轴于点 M，且 1 ， 2 ，当 m 变化时，证明：MA AF MB BF 1 2为定值；(3)当 m 变化时，直线 AE 与 BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由解：(1) l： x my1 过椭圆
7、C 的右焦点 F，右焦点 F(1,0)， c1，即 c21. x24 y 的焦点(0， )为椭圆 C 的上顶点，3 3 b ，即 b23， a2 b2 c24，3椭圆 C 的方程为 1.x24 y23(2)证明：由题意知 m0，联立Error!得(3 m24) y26 my90.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y2 ， y1y2 .6m3m2 4 93m2 4 1 ， 2 ， M ，MA AF MB BF (0， 1m) 1(1 x1， y1)，(x1， y11m) 2(1 x2， y2)，(x2， y21m) 11 ， 21 ，1my1 1my2 1 22 2 .y1
8、 y2my1y2 6m3m2 4 9m3m2 4 83综上所述，当 m 变化时， 1 2为定值 .83(3)当 m0 时，直线 l x 轴，则四边形 ABED 为矩形，易知 AE 与 BD 相交于点 N ，(52， 0)4猜想当 m 变化时，直线 AE 与 BD 相交于定点 N ，证明如下：(52， 0)则 ，AN (52 x1， y1) (32 my1， y1)易知 E(4， y2)，则 .NE (32， y2) y2 ( y1) (y1 y2) my1y2 m 0，(32 my1) 32 32 32( 6m3m2 4) ( 93m2 4) ，即 A， N， E 三点共线AN NE 同理可得
9、 B， N， D 三点共线则猜想成立， 故当 m 变化时，直线 AE 与 BD 相交于定点 N .(52， 0)4(2018全国卷)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C： 1 交于 A， B 两点，线x24 y23段 AB 的中点为 M(1， m)(m0)(1)证明： k ；12(2)设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 0.证明：| |，|FP FA FB FA |，| |成等差数列，并求该数列的公差FP FB 解：(1)证明：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 1， 1.x214 y213 x24 y23两式相减，并由 k 得 k0.y1 y2x1 x2 x1
10、 x24 y1 y23由题设知 1， m，于是 k .x1 x22 y1 y22 34m由题设得 0m ，故 k .32 12(2)由题意得 F(1,0)设 P(x3， y3)，则( x31， y3)( x11， y1)( x21， y2)(0,0)由(1)及题设得 x33( x1 x2)1，y3( y1 y2)2 m0.又点 P 在 C 上，所以 m ，34从而 P ，| | ，(1， 32) FP 325于是| | 2 .FA x1 1 2 y21 x1 1 2 3(1 x214) x12同理| |2 .FB x22所以| | |4 (x1 x2)3.FA FB 12故 2| | | |，FP FA FB 即| |，| |，| |成等差数列FA FP FB 设该数列的公差为 d，则 2|d| | | |x1 x2|FB FA 12 .12 x1 x2 2 4x1x2将 m 代入得 k1，34所以 l 的方程为 y x ，74代入 C 的方程，并整理得 7x214 x 0.14故 x1 x22， x1x2 ，代入解得| d | .128 32128所以该数列的公差为 或 .32128 32128
