1、111.2 离散型随机变量的分布列及均值、方差最新考纲 考情考向分析1.了解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.了解两点分布.3.了解离散型随机变量均值、方差的概念.以理解离散型随机变量及其分布列的概念为主，考查离散型随机变量分布列的求法以及随机变量的均值、方差.在高考中多以选择、填空题的形式进行考查，近年有考查解答题的趋势，难度多为中低档.1.离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量.所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量.(2)一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1， x2， xi， xn， X 取每一个值xi(i1，2， n
2、)的概率 P(X xi) pi，则称表X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列，具有如下性质： pi0， i1，2， n； i1.ni 1p离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.2.两点分布如果随机变量 X 的分布列为X 0 1P 1 p p2其中 01)个红球和 2 个黄球，从中任取 2 个球(取到每个球是等可能的)，随机变量 X 表示取到黄球的个数， X 的分布列为X 0 1 2P a 23 b则随机变量 X 的均值为_，方差为_.答案 1 13解析 由已知得 ，且 n1，解得 n2，所以
3、 b，即 b ，由 a 1，得C12C1nC2n 2 23 C2C24 16 23 1613a ，则随机变量 X 的均值 E(X)0 1 2 1，方差 D(X)(01) 2 (11)16 16 23 16 162 (21) 2 .23 16 1310.(2018浙江省联盟校联考)已知随机变量 X 满足分布列：X 1 0 1 2P 16 14 x a若随机变量 X 的均值 E(X) ，则 a x_， D(X)_.23答案 112 1918解析 由题意可得，Error!解得Error! 所以 a x ，14 13 112D(X) 2 2 2 2 .( 123) 16 (0 23) 14 (1 23
4、) 13 (2 23) 14 191811.一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共 11 只，现在盒子上开一小孔，每次只能飞出 1 只昆虫(假设任意 1 只昆虫等可能地飞出).若有 2 只昆虫先后任意飞出(不考虑顺序)，则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是 .2155(1)求盒子中蜜蜂有几只；(2)若从盒子中先后任意飞出 3 只昆虫(不考虑顺序)，记飞出蜜蜂的只数为 X，求随机变量X 的分布列与均值 E(X).解 (1)设“2 只昆虫先后任意飞出，飞出的是蝴蝶或蜻蜓”为事件 A，设盒子中蜜蜂为 x 只，则由题意，得 P(A) ，C 211 xC211 2155所以(11 x)(10 x)42
5、，解得 x4 或 x17(舍去)，故盒子中蜜蜂有 4 只.(2)由(1)知，盒子中蜜蜂有 4 只，则 X 的取值为 0，1，2，3，P(X0) ， P(X1) ，C37C311 733 C14C27C311 285514P(X2) ， P(X3) .C24C17C311 1455 C34C311 4165故 X 的分布列为X 0 1 2 3P 733 2855 1455 4165均值 E(X)0 1 2 3 .733 2855 1455 4165 121112.某高校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了 n 位校友( n8 且 nN *)，其中女校友 6 位，组委会对这 n 位校友登记制作了一份
6、校友名单，现随机从中选出 2 位校友代表，若选出的 2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”.(1)若随机选出的 2 名校友代表为“最佳组合”的概率不小于 ，求 n 的最大值；12(2)当 n12 时，设选出的 2 位校友代表中女校友人数为 ，求 的分布列和均值.解 (1)设选出 2 人为“最佳组合”记为事件 A，则事件 A 发生的概率 P(A) .C1n 6C16C2n 12n 6nn 1依题意 ，12n 6nn 1 12化简得 n225 n1440，9 n16，故 n 的最大值为 16.(2)由题意， 的可能取值为 0，1，2， P( 0) P( 2) ，C06C26C21 522P( 1)
7、 .C16C16C21 611故 的分布列为 0 1 2P 522 611 522 E( )0 1 2 1.522 611 5221513.(2018浙江名校协作体联考)一个口袋中装有大小相同的 6 个小球，其中红色、黄色、绿色的球各 2 个，现从中任意取出 3 个小球，其中恰有 2 个小球同颜色的概率是_.若取到红球得 1 分，取到黄球得 2 分，取到绿球得 3 分，记变量 为取出的三个小球得分之和，则 的均值为_.答案 635解析 根据题意，红、黄、绿球分别记为 A1， A2， B1， B2， C1， C2，则任取 3 个小球共有C 20 种，而其中恰有 2 个小球同颜色的有 3C C 1
8、2，故所求概率为 P .由题意得，36 2141220 35变量 的取值为 4，5，6，7，8，P( 4) ，C2C1220 110P( 5) ，2C2C1220 15P( 6) ，C12C12C1220 25P( 7) ，2C2C1220 15P( 8) ，C2C1220 110因此 E( )4 5 6 7 8 6.110 15 25 15 11014.(2018浙江名校联盟联考)某高校在新学期开学之际为大一贫困新生提供 A， B， C 三个等级的助学金，要求每位申请人只能申请其中一个等级的助学金，且申请任何一个等级是等可能的，每位申请人所申请的等级互不影响.则在该校任意 4 位申请人中，被
9、申请的助学金的等级个数 X 的均值为_.答案 6527解析 随机变量 X 的所有可能取值为 1，2，3.P(X1) ，C1334 127P(X2) ，C23C24C2 C34A234 1427P(X3) .C24A334 49所以随机变量 X 的均值16E(X)1 2 3 .127 1427 49 652715.已知随机变量 i(i1，2)满足 P( i0) ， p( i1) ， P( i2) ，若pi2 12 1 pi2D(2 21)C.E(2 11) E(2 21)， D(2 11) E(2 21)， D(2 11) D(2 21)答案 D解析 由均值与方差的性质可知 E(a b) aE(
10、 ) b， D(a b) a2D( )，则 E(2 i1)2 E( i)1， D(2 i1)4 D( i).由题意知 E( i)0 1 2 pi，pi2 12 1 pi2 32D( i) 2 2 2(032 pi) pi2 (1 32 pi) 12 (2 32 pi) 1 pi2 2 2 2(pi32) pi2 (pi 12) 12 (pi 12) 1 pi2 p pi 2 ，2i14 (pi 12) 12所以 E( i) pi在 pi 上单调递减， D( i) 2 在 pi 上单调递32 (12， 1) (pi 12) 12 (12， 1)减，又 E( 2)， D( 1)D( 2)，所以 E(2 11) E(2 21)，12D(2 11) D(2 21)，故选 D.16.设 为随机变量，从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时， 0；当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时， 2，求随机变量 的均值.解 的可能取值为 0， ，1，2，则2P( 0) ，8C23C21 41117P( ) ，26C21 111P( 1) ，12C21 211P( 2) .24C21 411 的分布列为 0 1 2 2P 411 211 111 411 E( )0 1 2 .411 2 111 211 411 10 211
