1、- 1 -第 4 节 单摆1.在摆角小于 5的情况下，单摆的自由振动是简谐运动。2单摆是理想化模型：忽略在摆动过程中所受到的阻力，摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线。3单摆的回复力是由摆球的重力沿运动方向的分力提供，与摆球偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置。4荷兰物理学家惠更斯首先提出单摆的周期公式 T2 ，利用周期公式可以测定当地的重力加lg速度。一、单摆组成 要求细线 摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线小球 摆球看成是没有大小只有质量的质点单摆是理想化模型：忽略在摆动过程中所受到的阻力，将摆球看作质点，摆线细且不可伸长。二、单摆的回复力1回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方
2、向的分力。2回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即 F x。mgl3运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律。三、单摆的周期1定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响(1)探究方法：控制变量法。(2)实验结论单摆振动的周期与摆球的质量无关。振幅较小时，周期与振幅无关。- 2 -摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。2定量探究单摆的周期与摆长的关系(1)周期的测量：用停表测出单摆 N(3050)次全振动的时间 t，利用 T 计算它的周期。tN(2)摆长的测量：用刻度尺测出细线长度 l0，用游标卡尺测出小球直径
3、D，利用 l l0求出摆长。D2(3)数据处理：改变摆长，测量不同摆长及对应周期，作出 Tl、 Tl2或 T 图像，得l出结论。3周期公式(1)公式的提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。(2)公式： T2 ，即 T 与摆长 l 的二次方根成正比，与重力加速度 g 的二次方根成lg反比。4周期公式的应用由单摆周期公式可得 g ，只要测出单摆的摆长 l 和周期 T 就可算出当地的重力加4 2lT2速度。1自主思考判一判(1)制作单摆的细线弹性越大越好。()(2)制作单摆的细线越短越好。()(3)制作单摆的摆球越大越好。()(4)单摆的周期与摆球的质量有关，质量越大，周期越小。()(5)单
4、摆的回复力等于摆球所受合力。()2合作探究议一议(1)由于单摆的回复力是由摆球的重力沿切线方向的分力提供的，那么是否摆球的质量越大，回复力越大，单摆摆动得越快，周期越小？提示：不是。摆球摆动的加速度除了与回复力有关外，还与摆球的质量有关，即 a ，Fm- 3 -所以摆球质量增大后，加速度并不增大，其周期由 T2 决定，与摆球的质量无关。lg(2)多多观察，写出生活中你能遇到哪些单摆模型。提示：坐钟、牛顿摆、秋千等。对单摆回复力及运动特征的理解1单摆的回复力(1)单摆受力：如图所示，受细线拉力和重力作用。(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力。(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分
5、力 F mgsin 提供了使摆球振动的回复力。2单摆做简谐运动的推证在偏角很小时，sin ，又回复力 F mgsin ，所以单摆的回复力为 F x(式xl mgl中 x 表示摆球偏离平衡位置的位移， l 表示单摆的摆长，负号表示回复力 F 与位移 x 的方向相反)，由此知回复力符合 F kx，单摆做简谐运动。1对于单摆的振动，以下说法中正确的是( )A单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等B单摆运动的回复力就是摆球受到的合力C摆球经过平衡位置时所受回复力为零D摆球经过平衡位置时所受合外力为零解析：选 C 单摆振动过程中受到重力和绳子拉力的作用，把重力沿切向和径向分解，其切向分力提供回复力，绳
6、子拉力与重力的径向分力的合力提供向心力，向心力大小为m ，可见最大偏角处向心力为零，平衡位置处向心力最大，而回复力在最大偏角处最大，v2l平衡位置处为零，故应选 C。2.一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是( )A t1时刻摆球速度最大，摆球的回复力最大B t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小- 4 -C t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最小D t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大解析：选 D 在 t1时刻和 t3时刻摆球的位移最大，回复力最大，速度为零，A、C 均错误；在 t2时刻和 t4时刻摆球在平衡位置，速度最大，悬线拉力最大，回复力为零，故 B 错误，D
7、正确。对单摆周期公式的理解1摆长 l(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l L ， L 为摆线长， d 为摆球直径。d2(2)等效摆长。图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为 lsin ，这就是等效摆长，其周期 T2 。lsin g图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。2重力加速度 g若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态， g 由单摆所处的空间位置决定，即g ，式中 R 为物体到地心的距离， M 为地球的质量， g 随所在位置的高度的变化而变化。GMR2另外，在不同星球上 M 和 R
8、也是变化的，所以 g 也不同， g9.8 m/s2只是在地球表面附近时的取值。典例 多选如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图像，则下列说法中正确的是( )A甲、乙两单摆的摆长相等B甲摆的振幅比乙摆大C甲摆的机械能比乙摆大D在 t0.5 s 时有正向最大加速度的是乙摆E由图像可以求出当地的重力加速度- 5 -解析 由振动图像可以看出，甲摆的振幅比乙摆的大，两单摆的振动周期相同，根据单摆周期公式 T2 可得，甲、乙两单摆的摆长相等，但不知道摆长是多少，不能计算Lg出重力加速度 g，故 A、B 正确，E 错误；两单摆的质量未知，所以两单摆的机械能无法比较，故 C 错误；在 t0.5 s 时，乙摆
9、有负向最大位移，即有正向最大加速度，而甲摆的位移为零，加速度为零，故 D 正确。答案 ABD1甲、乙两个单摆摆长相等，将两个单摆的摆球由平衡位置拉开，使摆角 甲 乙( 甲 、 乙 都小于 5)，在同一地点由静止开始同时释放，则( )A甲先到达平衡位置 B乙先到达平衡位置C甲、乙同时到达平衡位置 D无法判断解析：选 C 由单摆的周期公式 T2 ，可知周期 T 与 l、 g 有关，与质量、摆动的lg幅度无关，当在同一地点释放时，周期只与摆长有关，故同时释放，同时到达平衡位置。2摆长为 l 的单摆做简谐运动，若从某时刻开始计时(即取 t0)，当振动至 t时，摆球恰具有负向最大速度，则单摆的振动图像是
10、图中的( )32 lg解析：选 D t T，最大速度时，单摆应在平衡位置， y0， v 方向为 y，即32 lg 34沿 y 轴负方向，故 D 选项正确。3.一个单摆的摆长为 l，在其悬点 O 的正下方 0.19 l 处有一钉子 P(如图所示)，现将摆球向左拉开到 A，使摆线偏角 T2 B T T2C T1g 月 ，故lgT2T2，A 正确，B、C、D 均错误。3.如图所示，一摆长为 l 的单摆，在悬点的正下方的 P 处有一钉子， P 与悬点相距 l l，则这个摆做小幅度摆动时的周期为( )- 10 -A2 B2lg lgC D2 (lg lg) l l2g解析：选 C 碰钉子前摆长为 l，故
11、周期 T12 ，碰钉子后摆长变为 l，则周期lgT22 ，所以此摆的周期 T 。lg T12 T22 (lg lg)4.多选如图所示为在同一地点的 A、 B 两个单摆做简谐运动的图像，其中实线表示 A 的运动图像，虚线表示 B 的运动图像。关于这两个单摆的以下判断中正确的是( )A这两个单摆的摆球质量一定相等B这两个单摆的摆长一定不同C这两个单摆的最大摆角一定相同D这两个单摆的振幅一定相同解析：选 BD 从题中图像可知：两单摆的振幅相等，周期不等，所以两单摆的摆长一定不同，故 B、D 对，C 错。单摆的周期与质量无关，故 A 错。5多选在用单摆测重力加速度的实验中，测得单摆偏角小于 5，实验中
12、某学生所测g 值偏大，其原因可能是( )A实验室离海平面太高B摆球太重C测出 n 次全振动时间为 t，误作为( n1)次全振动时间进行计算D以摆线长与摆球直径之和作为摆长来计算解析：选 CD 由单摆的周期公式 T2 ， g 值偏大，可能是周期算小了或是摆长算长lg了，选 C、D。6.正在修建的房顶上固定的一根不可伸长的细线垂到三楼窗沿下，某同学应用单摆原理测量窗的上沿到房顶的高度，先将线的下端系上一个小球，发现当小球静止时，细线恰好与窗子上沿接触且保持竖直，他打开窗子，让小球在垂直于墙的竖直平面内摆动，如图所示，从小球第 1 次通过图中的 B点开始计时，第 21 次通过 B 点用时 30 s；
13、球在最低点 B 时，球心到窗上沿的距离为 1 m，当地重力加速度 g 取 2(m/s2)；根据以上数据可得小球运动的周期 T_ s；房顶到窗上沿的高度 h_m。解析： T 3.0 s， T 2 2 ，解得 h3.0 m。tn T12 T22 12 1g 1 hg答案：3.0 3.0- 11 -7某同学利用单摆测量重力加速度。(1)多选为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是_。A组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球B组装单摆须选用轻且不易伸长的细线C实验时须使摆球在同一竖直面内摆动D摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大(2)如图所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约为 1 m 的单摆。实验时，由于
14、仅有量程为 20 cm、精度为 1 mm 的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期 T1；然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期 T2；最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离 L。用上述测量结果，写出重力加速度的表达式 g_。解析：(1)组装单摆时，悬线应选用不易伸长的细线；摆球选择体积小、密度大的摆球；单摆摆动时在同一竖直面内摆动；摆的振幅尽量小一些。选项 B、C 正确。(2)设单摆的周期为 T1时摆长为 L1，周期为 T2时摆长为 L2则
15、 T12 L1gT22 L2g且 L1 L2 L联立式得 g 。4 2 LT12 T22答案：(1)BC (2)4 2 LT12 T228.如图所示，光滑的半球壳半径为 R， O 点在球心的正下方，一小球在距 O点很近的 A 点由静止释放，同时在 O 点正上方有一小球自由落下，若运动中阻力不计，为使两球在 O 点相碰，求小球应从多高处自由落下( R)。 OA解析：小球由 A 点开始沿球内表面运动时，只受重力和支持力作用，等效为单摆的运动。因为 R，所以小球自 A 点释放后做简谐运动，要使两球在 O 点相碰，两者到 O 点的运动时OA间相等。小球由 A 点由静止释放运动到 O 点的时间为- 12 -(2n1)( n1,2,3，)，T4由于从 O 点正上方自由落下的小球到 O 的时间也为(2n1)时两球才能在 O 点相碰，所以T4h gt2 g (2n1) 2 (n1,2，3，)。12 124 2R16g 2n 1 2 2R8答案： (n1,2,3，) 2n 1 2 2R8
