1、- 1 -第 3 节匀变速直线运动的位移与时间的关系1 .在 vt 图 像 中 图 线 与 t 轴 所 围 的 面 积 表 示 物 体 的 位移 。2匀变速直线运动的位移公式 x v0t at2。123匀速直线运动的 xt 图线是一条倾斜的直线，匀变速直线运动的 xt 图线是抛物线的一部分。一、匀速直线运动的位移1做匀速直线运动的物体在时间 t 内的位移 x vt。2在速度图像中，位移在数值上等于 vt 图像与对应的时间轴所围的面积。二、匀变速直线运动的位移1在 vt 图像中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着 vt 图像中的图线和时间轴包围的面积。如图所示，在 0 t 时间内的位移大小
2、等于梯形的面积。2位移公式 x v0t at2。式中 v0表示初速度， x 表示物体在时间 t 内运动的位移。12三、用图像表示位移1定义：以时间 t 为横坐标，以位移 x 为纵坐标，描述位移随时间变化情况的图像叫位移时间图像。2匀速直线运动的 xt 图像：是一条倾斜直线。3匀变速直线运动的 xt 图像：是一条过原点的抛物线。1自主思考判一判(1)匀速直线运动表示任意相等的时间内，质点的位移都是相等的。()(2)匀变速直线运动的位移与时间成正比。()- 2 -(3)由 xt 图像能得出对应时刻物体所在的位置。()(4)xt 图像中的图线就是物体的实际运动轨迹。()(5)由 xt 图像能得到某时
3、间内物体的位移。()2合作探究议一议(1)如何利用速度图像求解物体运动的位移？提示：速度图像中，图线与坐标轴所围图形的面积表示位移的大小，若面积处于时间轴上方，则说明位移为正；若面积处于时间轴下方，则位移为负。(2)什么是微分思想与微元法？提示：利用微分思想的分析方法称为微元法。它是将研究对象(物体或物理过程)进行无限细分，再从中抽取某一微小单元进行讨论，从而找出研究对象变化规律的一种思想方法。匀变速直线运动的位移公式1位移公式 x v0t at2的推导12如图甲所示，在匀变速直线运动中运用“无限分割、逐步逼近”的微分思想可得 vt 图像与时间轴所围成的“面积”表示位移。甲 乙 如图乙所示，速
4、度图线和时间轴所包围的梯形面积为 S (OC AB)OA。12与之对应的物体的位移 x (v0 v)t。12由速度公式 v v0 at，代入上式得 x v0t at2。122对位移公式 x v0t at2的理解12(1)适用条件：匀变速直线运动。(2)公式 x v0t at2为矢量式，其中的 x、 v0、 a 都是矢量，应用时必须选取统一的正12方向，一般选初速度 v0的方向为正方向：匀加速直线运动， a 取正值；匀减速直线运动， a 取负值。- 3 -若位移为正值，位移的方向与规定的正方向相同；若位移为负值，位移的方向与规定的正方向相反。(3)两种特殊形式：当 a0 时， x v0t(匀速直
5、线运动)。当 v00 时， x at2(由静止开始的匀变速直线运动)。121两物体都做匀变速直线运动，在给定的时间间隔 t 内( )A加速度大的，其位移一定大B初速度大的，其位移一定大C末速度大的，其位移一定大D平均速度大的，其位移一定大解析：选 D 根据 x v0t at2知，加速度大，位移不一定大，还与初速度有关，故 A12错误。根据 x v0t at2知，初速度大的，位移不一定大，还与加速度有关，故 B 错误。末12速度大，位移不一定大，还与初速度有关，故 C 错误。根据 x t，时间一定，平均速度大，v位移一定大，故 D 正确。2一物体的位移函数式是 x4 t2 t25(m)，那么它的
6、初速度和加速度分别是( )A2 m/s,0.4 m/s 2 B4 m/s,2 m/s 2C4 m/s,4 m/s 2 D4 m/s,1 m/s 2解析：选 C 将公式 x4 t2 t25(m)和位移公式： x v0t at2进行类比可知物体的12初速度 v04 m/s，加速度为 4 m/s2，故 A、B、D 错误，C 正确。3从静止开始做匀加速直线运动的物体，前 10 s 内的位移是 10 m，则该物体运动 30 s 时的位移为( )A30 m B60 mC90 m D120 m解析：选 C 由 x at2得， a m/s20.2 m/s 2。12 2xt2 20100则 x at 2 0.2
7、900 m90 m。故 C 正确，A、B、D 错误。12 12利用 vt 图像求物体的位移- 4 -典例 某一做直线运动的物体的图像如图所示，根据图像求：(1)物体距出发点的最远距离；(2)前 4 s 内物体的位移；(3)前 4 s 内物体通过的路程。审题指导 (1)t1 s 时物体速度最大， t3 s 时物体速度方向将发生改变，此时位移最大。(2)利用 vt 图像求位移一般采用“面积”法计算，即计算 vt 图线与时间轴所围成的面积。解析 (1)物体距出发点最远的距离 xm v1t1 43 m6 m。12 12(2)前 4 s 内的位移x x1 x2 v1t1 v2t2 43 m 21 m5
8、m。12 12 12 12(3)前 4 s 内通过的路程s x1 x2 v1t1 v2t2 43 m 21 m7 m。12 12 12 12答案 (1)6 m (2)5 m (3)7 m(1)vt 图像与 t 轴所围的“面积”表示位移的大小。(2)面积在 t 轴以上表示位移是正值，在 t 轴以下表示位移是负值。(3)物体的总位移等于各部分位移(正负面积)的代数和。(4)物体通过的路程为 t 轴上、下“面积”绝对值的和。1.一质点的 vt 图像如图所示，求它在前 2 s 内和前 4 s 内的位移。解析：位移大小等于图线与时间轴 t 所围成的面积，- 5 -在前 2 s 内的位移 x125 m5
9、m；12在后 2 s 内的位移 x2(42)(5) m5 m，12所以质点在前 4 s 内的位移 x x1 x25 m5 m0。答案：5 m 02从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了 12 s 时，发现还有乘客没上来，于是立即做匀减速运动至停车，共历时 20 s，行进 50 m，求其最大速度。解析：法一：(基本公式法)设最大速度为 vmax，由题意得x x1 x2 a1t12 vmaxt2 a2t22，12 12t t1 t2， vmax a1t1,0 vmax a2t2，解得 vmax m/s5 m/s。2xt1 t2 25020法二：(平均速度法)由于汽车在前、后两阶段均做匀变速直线运
10、动，故前、后两阶段的平均速度均为最大速度 vmax的一半，即 ，v0 vmax2 vmax2由 x t 得 vmax 5 m/s。v2xt法三：(图像法)作出运动全过程的 vt 图像如图所示， vt 图像与t 轴围成的三角形的面积与位移等值，故 x ，则 vmax 5 vmaxt2 2xtm/s。答案：5 m/s两类匀减速直线运动两类运动 区别 技巧点拨刹车类问题 可看成反向的初速度为零的匀加速运动双向可逆类如沿光滑斜面上滑的小球，到最高点后返回，这类运动可对全程列式，注意 x、 v、 a 等矢量的正负号典例 飞机着陆做匀减速直线运动可获得 a6 m/s 2的加速度，飞机着陆时的速度- 6 -
11、为 v060 m/s，求它着陆后 t12 s 内滑行的距离。解析 设飞机停止所需时间为 t0，由速度公式 v v0 at0得 t010 s。可见，飞机在 t12 s 内的前 10 s 内做匀减速直线运动，后 2 s 内保持静止。所以有 x v0t0 at02300 m；或 x 300 m。12 v022a答案 300 m本题的易错点在于不考虑实际情况，盲目套用位移公式 x v0t at2，将 t12 s 直接12代入导致错解。解答该类问题时应先计算飞机多长时间停止运动，才能判断着陆后 t12 s内的运动情况。1一辆汽车以 10 m/s 的速度匀速行驶，遇到紧急情况，突然以大小为 2 m/s2的
12、加速度匀减速刹车，则从刹车开始计时，汽车在 6 s 内的位移是( )A24 m B25 mC60 m D96 m解析：选 B 汽车停止运动时间为 t s5 s，汽车在 5 s 末就已经停止运动，所以102汽车在 6 s 内的位移等于在 5 s 内的位移，故有 x m25 m，B 正确。102222.如图所示，小球以 6 m/s 的速度由足够长的斜面中部沿着斜面向上滑。已知小球在斜面上运动的加速度大小为 2 m/s2。分别求出经过 2 s、3 s、4 s、6 s、8 s 小球的位移。(小球在光滑斜面上运动时，加速度的大小、方向都不变)解析：以小球的初速度方向，即沿斜面向上为正方向，则小球的加速度沿斜面向下，为- 7 -负值。将 t22 s， t33 s， t44 s， t66 s， t88 s 代入 x v0t at212解得 x28 m， x39 m， x48 m， x60， x816 m。答案：8 m,9 m,8 m,0，16 m，其中负号表示小球位移沿斜面向下。
