1、- 1 -陕西省榆林市 2019 届高考数学上学期第一次模拟测试试题 理一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1（5 分）若复数 z ，则其虚部为（ ）A i B2 i C2 D22（5 分）若集合 A x|x2， B x|x25 x+60， xZ，则 A B 中元素的个数为（ ）A0 B1 C2 D33（5 分）函数 的图象的大致形状是（ ）A BC D4（5 分）已知向量 、 满足| |1，| |2，| | ，则| |（ ）A2 B C D5（5 分）设 、 都是锐角，且 cos ，sin（+） ，则 cos（ ）
2、A B C 或 D 或6（5 分）设 x， y 满足约束条件 ，则 Z3 x2 y 的最大值是（ ）- 2 -A0 B2 C4 D67（5 分）九章算术是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解九章算术时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位 3.1416，后人称3.14 为徽率如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的 n 为（ ）（ 1.732， sin150.258，sin7.50.131 ）A6 B12 C24 D488（5 分）如图所示，在正方体 ABCD A1B
3、1C1D1中，若点 E 为 BC 的中点，点 F 为 B1C1的中点，则异面直线 AF 与 C1E 所成角的余弦值为（ ）9（5 分）在等比数列 an中， a1+an34， a2an1 64，且前 n 项和 Sn62，则项数 n 等于（ ）A4 B5 C6 D710（5 分）已知定义域为 R 的偶函数 f（ x）在（，0上是减函数，且 2，则不等式 f（log 4x）2 的解集为（ ）A B（2，+）- 3 -11（5 分）设 f（ x） x3+log2（ x+ ），则对任意实数 a、 b，若 a+b0，则（ ）A f（ a）+ f（ b）0 B f（ a）+ f（ b）0C f（ a） f（
4、 b）0 D f（ a） f（ b）012（5 分）已知 F1， F2分别为双曲线 C： 1（ a0， b0）的左、右焦点，过 F1的直线 l 与双曲线 C 的左右两支分别交于 A， B 两点，若| AB|：| BF2|：| AF2|3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）A B C2 D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题纸中相应的機线上）13（5 分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设 ABC 三个内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，面积为 S，则“三斜求积”公式为若 a2sinC4sin A，（
5、a+c） 212+ b2，则用“三斜求积”公式求得 ABC 的面积为 14（5 分）已知函数 f（ x） +4x3 lnx 在 t， t+1上不单调，则 t 的取值范围是 15（5 分）已知不等式 ex1 kx+lnx，对于任意的 x（0，+）恒成立，则 k 的最大值 16（5 分）已知 G 为 ABC 的重心，过点 G 的直线与边 AB， AC 分别相交于点 P， Q，若AP AB，则当 ABC 与 APQ 的面积之比为 时，实数 的值为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题
6、为选考题，考生根据要求作答）17（12 分）已知数列 an中， a14， an0，前 n 项和为 Sn，若an + ，（ nN *， n2）（ l）求数列 an的通项公式；（2）若数列 前 n 项和为 Tn，求证- 4 -18（12 分）在 ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，且（2 a c）（ a2 b2+c2）2 abccosC（1）求角 B 的大小；（2）若 sinA+1 （cos C ）0，求 的值19（12 分）设椭圆 C： 的离心率 e ，左顶点 M 到直线1 的距离 d ， O 为坐标原点（）求椭圆 C 的方程；（）设直线 l 与椭圆 C 相交于 A，
7、B 两点，若以 AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点 O到直线 AB 的距离为定值；（）在（）的条件下，试求 AOB 的面积 S 的最小值20（12 分）如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形， DA DP， BA BP（1）求证： PA BD；（2）若 DA DP， ABP60， BA BP BD2，求二面角 D PC B 的正弦值21（12 分）已知函数 f（ x） x22（1）已知函数 g（ x） f（ x）+2（ x+1）+ alnx 在区间（0，1）上单调，求实数 a 的取值范围；（2）函数 有几个零点？选修 4-4：坐标系与参数方程选讲22（10 分）已知曲线
8、 C 的参数方程为 （ 为参数），设直线 l 的极坐标方程为 4cos+3sin80（1）将曲线 C 的参数方程化为普通方程并指出其曲线是什么曲线（2）设直线 1 与 x 轴的交点为 P， Q 为曲线 C 上一动点，求 PQ 的最大值- 5 -选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（ x）| x+1|+|x a|（ a0）（1）作出函数 f（ x）的图象；（2）若不等式 f（ x）5 的解集为（，23，+），求 a 值- 6 -2019 年陕西省榆林市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合
9、题目要求的）1（5 分）若复数 z ，则其虚部为（ ）A i B2 i C2 D2【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： z ， z 的虚部为 2故选： D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2（5 分）若集合 A x|x2， B x|x25 x+60， xZ，则 A B 中元素的个数为（ ）A0 B1 C2 D3【分析】化简集合 B，根据交集的定义写出 A B，再判断其中元素个数【解答】解：集合 A x|x2， B x|x25 x+60， xZ x|2 x3， xZ，则 A B，其中元素的个数为 0故选： A【点评】本题考查了集合的化简与
10、运算问题，是基础题3（5 分）函数 的图象的大致形状是（ ）A B- 7 -C D【分析】 f（ x）中含有| x|，故 f（ x）是分段函数，根据 x 的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可【解答】解： f（ x）是分段函数，根据 x 的正负写出分段函数的解析式， f（ x）， x0 时，图象与 y ax在第一象限的图象一样， x0 时，图象与 y ax的图象关于 x 轴对称，故选： C【点评】本题考查识图问题，利用特值或转化为比较熟悉的函数，利用图象变换或利用函数的性质是识图问题常用的方法4（5 分）已知向量 、 满足| |1，| |2，| | ，则| |（ ）A2 B C D【分析
11、】运用向量模长的计算可得结果【解答】解：根据题意得，（ ） 2 2+ 22 又（ + ） 2 2+2 + 21+4+2 62 1，（ ） 21+414， 2故选： A【点评】本题考查向量模长的计算5（5 分）设 、 都是锐角，且 cos ，sin（+） ，则 cos（ ）- 8 -A B C 或 D 或【分析】由 、 都是锐角，且 cos 值小于 ，得到 sin 大于 0，利用余弦函数的图象与性质得出 的范围，再由 sin（+）的值大于 ，利用正弦函数的图象与性质得出+ 为钝角，可得出 cos（+）小于 0，然后利用同角三角函数间的基本关系分别求出 sin 和 cos（+）的值，将所求式子中的
12、角 变形为（+），利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入即可求出值【解答】解：、 都是锐角，且 cos ，cos（+） ，sin ，则 coscos（+）cos（+）cos+sin（+）sin 故选： A【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，正弦、余弦函数的图象与性质，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键6（5 分）设 x， y 满足约束条件 ，则 Z3 x2 y 的最大值是（ ）A0 B2 C4 D6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件 作出可
13、行域如图，- 9 -化目标函数 Z3 x2 y 为 ，由图可知，当直线 过 A（0，2）时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为 302（2）4故选： C【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题7（5 分）九章算术是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解九章算术时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位 3.1416，后人称3.14 为徽率如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若结束程序时，则输出的 n 为（ ）（ 1.732， sin150.258，s
14、in7.50.131 ）A6 B12 C24 D48【分析】列出循环过程中 s 与 n 的数值，满足判断框的条件即可结束循环【解答】解：模拟执行程序，可得：n3， S 3sin120 ，不满足条件 S3，执行循环体， n6， S 6sin60 ，- 10 -不满足条件 S3，执行循环体， n12， S 12sin303，不满足条件 S3，执行循环体， n24， S 24sin15120.25883.1056，满足条件 S3，退出循环，输出 n 的值为 24故选： C【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题8（5 分）如图所示，在正方体 ABCD A1B
15、1C1D1中，若点 E 为 BC 的中点，点 F 为 B1C1的中点，则异面直线 AF 与 C1E 所成角的余弦值为（ ）【分析】以 A 为原点， AB 为 x 轴， AD 为 y 轴， AA1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线 AF 与 C1E 所成角的余弦值【解答】解：以 A 为原点， AB 为 x 轴， AD 为 y 轴， AA1为 z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体 ABCD A1B1C1D1中，棱长为 2，则 A（0，0，0）， F（2，1，2）， C1（2，2，2），E（2，1，0），（2，1，2）， （0，1，2），设异面直线 AF 与 C1E 所成角为
16、，则 cos ，异面直线 AF 与 C1E 所成角的余弦值为故选： B- 11 -【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题9（5 分）在等比数列 an中， a1+an34， a2an1 64，且前 n 项和 Sn62，则项数 n 等于（ ）A4 B5 C6 D7【分析】根据等比数列的性质得到 a2an1 a1an64，与已知的 a1+an34 联立，即可求出a1与 an的值，然后利用等比数列的前 n 项和公式表示出 Sn，把求出的 a1与 an的值代入即可求出公比 q 的值，根据 an的值，利用等比数列的通项公式
17、即可求出项数 n 的值【解答】解：因为数列 an为等比数列，则 a2an1 a1an64，又 a1+an34，联立，解得： a12， an32 或 a132， an2，当 a12， an32 时， sn 62，解得 q2，所以 an22 n1 32，此时 n5；同理可得 a132， an2，也有 n5则项数 n 等于 5故选： B【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前 n 项和公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道基础题10（5 分）已知定义域为 R 的偶函数 f（ x）在（，0上是减函数，且 2，则不等式 f（log 4x）2 的解集为（ ）A B（2，+）- 12 -【分析】
18、由题意知不等式即 f（log 4x） ，即 log4x ，或 log4x ，利用对数函数的定义域和单调性求出不等式的解集【解答】解：由题意知 不等式 f（log 4x）2，即 f（log 4x） ，又偶函数 f（ x）在（，0上是减函数， f（ x）在0，+）上是增函数，log 4x log 42，或 log 4x ，0 x ，或 x2，故选： A【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的单调性及特殊点11（5 分）设 f（ x） x3+log2（ x+ ），则对任意实数 a、 b，若 a+b0，则（ ）A f（ a）+ f（ b）0 B f（ a）+ f（ b）0C f（ a）
19、f（ b）0 D f（ a） f（ b）0【分析】求解函数 f（ x）的定义域，判断其奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性可得答案【解答】解：设 ，其定义域为 R， f（ x），函数 f（ x）是奇函数且在（0，+）上单调递增，故函数 f（ x）在 R 上是单调递增，那么： a+b0，即 a b， f（ a） f（ b），得 f（ a） f（ b），可得： f（ a）+ f（ b）0故选： B【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断及其运用能力属于基础题- 13 -12（5 分）已知 F1， F2分别为双曲线 C： 1（ a0， b0）的左、右焦点，过 F1的直线 l 与双曲线 C 的左右两
20、支分别交于 A， B 两点，若| AB|：| BF2|：| AF2|3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）A B C2 D【分析】设| AF1| t，| AB|3 x，根据双曲线的定义算出 t3 a， x a，Rt ABF2中算出 cos BAF2 ，可得 cos F2AF1 ，在 F2AF1中，利用余弦定理与双曲线的离心率公式加以计算，可得答案【解答】解：| AB|：| BF2|：| AF2|3：4：5，设| AF1| t，| AB|3 x，则| BF2|4 x，| AF2|5 x，根据双曲线的定义，得| AF2| AF1| BF1| BF2|2 a，即 5x t（3 x+t）4 x2 a，解
21、得 t3 a， x a，即| AF1|3 a，| AF2|5 a，| AB|：| BF2|：| AF2|3：4：5，得 ABF2是以 B 为直角的 Rt，cos BAF2 ，可得 cos F2AF1 ， F2AF1中，| F1F2|2| AF1|2+|AF2|22| AF1|AF2|cos F2AF19 a2+25a223 a5a（ ）52 a2，可得| F1F2|2 a，即 c a，因此，该双曲线的离心率 e 故选： A- 14 -【点评】本题着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、直角三角形的判定与性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共
22、 20 分，把答案填在答题纸中相应的機线上）13（5 分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设 ABC 三个内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，面积为 S，则“三斜求积”公式为若 a2sinC4sin A，（ a+c） 212+ b2，则用“三斜求积”公式求得 ABC 的面积为 【分析】由已知利用正弦定理可求 ac 的值，可求 a2+c2 b24，代入“三斜求积”公式即可计算得解【解答】解：根据正弦定理：由 a2sinC4sin A，可得： ac4，由于（ a+c） 212+ b2，可得： a2+c2 b24，可得： 故答案为： 【点评】本
23、题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题14（5 分）已知函数 f（ x） +4x3 lnx 在 t， t+1上不单调，则 t 的取值范围是 0 t1 或 2 t3 【分析】先由函数求 f（ x） x+4 ，再由“函数 在 t， t+1上不单调”转化为“ f（ x） x+4 0 在区间 t， t+1上有解”从而有- 15 -在 t， t+1上有解，进而转化为： g（ x） x24 x+30 在 t， t+1上有解，用二次函数的性质研究【解答】解：函数 f（ x） x+4函数 在 t， t+1上不单调， f（ x） x+4 0 在 t， t+1上有解 在 t， t+1上
24、有解 g（ x） x24 x+30 在 t， t+1上有解 g（ t） g（ t+1）0 或0 t1 或 2 t3故答案为：0 t1 或 2 t3【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题注意判别式的应用15（5 分）已知不等式 ex1 kx+lnx，对于任意的 x（0，+）恒成立，则 k 的最大值 e1 【分析】不等式 ex1 kx+lnx，对于任意的 x（0，+）恒成立等价于对于任意的 x（0，+）恒成立求得 ，（ x0），的最小值即可 k 的取值【解答】解：不等式 e
25、x1 kx+lnx，对于任意的 x（0，+）恒成立等价于 对于任意的 x（0，+）恒成立- 16 -令 ，（ x 0），令 g（ x） ex（ x1）+ lnx，（ x0），则 ， g（ x）在（0，+）单调递增， g（1）0， x（0，1）时， g（ x）0， x（1，+）时， g（ x）0 x（0，1）时， f（ x）0， x（1，+）时， f（ x）0 x（0，1）时， f（ x）单调递减， x（1，+）时， f（ x）单调递增 f（ x） min f（1） e1 k e1故答案为： e1【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，考查构造函数法，以及导数的运用：求单调性和最值，考查运算能力
26、，属于中档题16（5 分）已知 G 为 ABC 的重心，过点 G 的直线与边 AB， AC 分别相交于点 P， Q，若AP AB，则当 ABC 与 APQ 的面积之比为 时，实数 的值为 或 【分析】利用重心定理，用 ， 把向量 表示为 ，再利用 A， P， Q 共线，可得 x+y1，最后代入面积公式即可得解【解答】解：设 AQ ACG 为 ABC 的重心， P， G， Q 三点共线， - 17 - ABC 与 APQ 的面积之比为 时， 或 ，故答案为： 或 【点评】本题考查的知识点是向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理，及三角形的重心，其中根据向量共线，根据共线向量基本定理知，进而
27、得到 、， y 的关系式，是解答本题的关键三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17-21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）17（12 分）已知数列 an中， a14， an0，前 n 项和为 Sn，若an + ，（ nN *， n2）（ l）求数列 an的通项公式；（2）若数列 前 n 项和为 Tn，求证 【分析】（1）运用数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，即可得到所求通项，注意检验首项；（2）求得 （ ），由裂项相消求和，结合数列的单调性和不等式的性质，即可得证【解答】解：（1）数列
28、an中， a14， an0，前 n 项和为 Sn，若 an + ，（ nN *， n2），由 an Sn Sn1 （ ）（ + ），可得 1，即有 +n12+ n1 n+1，即 Sn（ n+1） 2，当 n2 时， an + n+1+n2 n+1；- 18 -则 an ；（2） n2 时，可得列 （ ），则前 n 项和为 Tn + （ + + ）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式和等差数列的定义、通项公式，考查数列的裂项相消求和，属于中档题18（12 分）在 ABC 中，角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，且（2 a c）（ a2 b2+c2）2 abcco
29、sC（1）求角 B 的大小；（2）若 sinA+1 （cos C+ ）0，求 的值【分析】（1）由已知利用余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简可得 cosB，结合范围 B（0， 180），可求 B 的值；（2）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 cos（ A+30），结合范围 A+30（ 30，150），可求 A30 ，由正弦定理即可求得 的值【解答】（本题满分为 12 分）解：（1）（2 a c）（ a2 b2+c2）2 abccosC（2 a c）2 accosB2 abccosC（2 a c）cos B bcosC3 分 ，由正弦定理可得： ，- 19
30、 - a2 RsinA， b2 RsinB， c2 RsinC， ，2sin AcosBsin CcosBsin BcosC，2sin AcosBsin CcosB+sinBcosCsin（ B+C）sin A，sin A0，cos B ， B（0，180）， B606 分（2）sin A+1 （cos C+ ）0，sin A+1 cosC 0，可得：sin A cosC ， B60， C180 B A120 A，sin A cos（120 A） ，可得： cosA sinA ，cos（ A+30） ， A（0，120）， A+30（30，150）， A30，由正弦定理 ， B60， A30，
31、可得： 12 分【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19（12 分）设椭圆 C： 的离心率 e ，左顶点 M 到直线1 的距离 d ， O 为坐标原点（）求椭圆 C 的方程；- 20 -（）设直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点，若以 AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点 O到直线 AB 的距离为定值；（）在（）的条件下，试求 AOB 的面积 S 的最小值【分析】（）由已知得 ，又 a2 b2+c2，由此能求出椭圆 C 的方程（）设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），当直线 AB 的斜
32、率不存在时， x1x2+y1y20，点 O 到直线AB 的距离为 当直线 AB 的斜率存在时，设 AB 的方程为 y kx+m，联立 ，得（1+4 k2） x2+8kmx+4m240，由此利用韦达定理结合已知条件推导出点 O 到直线 AB 的距离为 ，由此能证明点 O 到直线 AB 的距离为定值 （3）设直线 OA 的斜率为 k0， OA 的方程为 y k0x， OB 的方程为 y ，联立，得 ，同理，得 ，由此能求出 AOB 的面积S 的最小值【解答】解：（）由已知得 ，又 a2 b2+c2，解得 a2， b1， c ，椭圆 C 的方程为 （）证明：设 A（ x1， y1）， B（ x2，
33、y2），当直线 AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知 x1 x2， y1 y2，以 AB 为直线的圆经过坐标原点， 0，- 21 - x1x2+y1y20， ，又点 A 在椭圆 C 上 ， 解得| x1| y1| 此时点 O 到直线 AB 的距离 （2）当直线 AB 的斜率存在时，设 AB 的方程为 y kx+m，联立 ，得（1+4 k2） x2+8kmx+4m240，以 AB 为直径的圆过坐标原点 O， OA OB， x1x2+y1y20，（1+ k2） x1x2+km（ x1+x2）+ m20，（1+ k2） ，整理，得 5m24（ k2+1），点 O 到直线 AB 的距离 ，综上所述
34、，点 O 到直线 AB 的距离为定值 （3）设直线 OA 的斜率为 k0，当 k00 时， OA 的方程为 y k0x， OB 的方程为 y ，联立 ，得 ，同理，得 ，- 22 - AOB 的面积 S 2 ，令 1+ t， t1，则 S2 2 ，令 g（ t） + +49（ ） 2+ ，（ t1）4 g（ t） ， ，当 k00 时，解得 S1，【点评】本题考查椭圆的方程的求法，考查点到直线 AB 的距离为定值的证明，考查三角形的面积的最小值的求法，解题时要注意韦达定理、弦长公式的合理运用20（12 分）如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为平行四边形， DA DP， BA BP（
35、1）求证： PA BD；（2）若 DA DP， ABP60， BA BP BD2，求二面角 D PC B 的正弦值【分析】（1）取 AP 中点 F，连接 DM， BM，由已知可证 PA DM， PA BM，又 DM BM M，可得 PA平面 DMB，因为 BD平面 DMB，可证 PA BD；（2）由已知可得 DAP 是等腰三角形， ABP 是等边三角形，求出 MD MB，以 MP， MB， MD所在直线分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系求出平面 DPC 与平面 PCB 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角 D PC B 的余弦值，进一步求得正弦值【解答】（1）证明：取 AP
36、 中点 M，连接 DM， BM， DA DP， BA BP， PA DM， PA BM，- 23 - DM BM M， PA平面 DMB又 BD平面 DMB， PA BD；（2）解： DA DP， BA BP DA DP， ABP60， DAP 是等腰三角形， ABP 是等边三角形 BA BP BD2， DM1， BM BD2 MB2+MD2， MD MB以 MP， MB， MD 所在直线分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系，则 A（1，0，0）， B（0， ，0）， P（1，0，0）， D（0，0，1），从而得 （1，0，1）， （1， ，0）， （1， ，0），（1，0，1），设平
37、面 DPC 的法向量 ，则 ，即 ，令 y11，得 ， （ ，1， ），设平面 PCB 的法向量 ，由 ，得 ，令 y21，得 ， ， （ ，1， ），cos 设二面角 D PC B 为 ， - 24 -【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题21（12 分）已知函数 f（ x） x22（1）已知函数 g（ x） f（ x）+2（ x+1）+ alnx 在区间（0，1）上单调，求实数 a 的取值范围；（2）函数 有几个零点？【分析】（1）由题意可得 0 x1 时， g（ x）2 x+2+ 0 恒成立，即a2 x22 x2 + ，求得 2 + 的
38、最大值，可得 a 的范围（2）利用导数研究函数的单调性以极值，再根据极值的符号确定函数的零点符号【解答】解：（1）函数 f（ x） x22，函数 g（ x） f（ x）+2（ x+1）+ alnx 在区间（0，1）上单调，0 x1 时， g（ x）2 x+2+ 0 恒成立，即 a2 x22 x2 + ，而 m（ x）2 + 在区间（0，1）上单调递减，2 + m（0）0， a0（2）函数 ln（1+ x2） （ x22） k ln（1+ x2） x2+1 k 的定义域为 R，h（ x） x0 ，令 h（ x）0，求得 x0，或 x1 或 x1，列表：x （，1 ）1 （1，0）0 （0，1）
39、1 （ 1，+ ）f（ x）的符号+ + - 25 -f（ x） 增 极大值ln2+ k减 极小值1 k增 极大值ln2+ k减当 1 k0 且 ln2+ k0 时，即 k1 时，函数 h（ x）有 2 个零点；当 1 k0 且 ln2+ k0 时，即 k1 时，函数 h（ x）有 3 个零点；当 1 k0 且 ln2+ k0 时，即 1 k ln2+ 时，函数 h（ x）有 4 个零点；当 1 k0 且 ln2+ k0 时，即 k ln2+ 时，函数 h（ x）有没有零点【点评】本题主要考查函数的零点，函数的单调性与导数的关系，利用导数求函数的最值，属于难题选修 4-4：坐标系与参数方程选讲
40、22（10 分）已知曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），设直线 l 的极坐标方程为 4cos+3sin80（1）将曲线 C 的参数方程化为普通方程并指出其曲线是什么曲线（2）设直线 1 与 x 轴的交点为 P， Q 为曲线 C 上一动点，求 PQ 的最大值【分析】（1）曲线 C 的参数方程消去参数，得到曲线 C 的普通方程，由此求出曲线 C 是圆心为（0，1），半径为 r1 的圆（2）直线 l 的直角坐标方程为 4x+3y80，求出 P（2，0），从而得到圆心 C（0，1）到P（2，0）的距离| PC| ，再由 Q 是圆 C 上的动点，圆 C 的半径为 r1，能求出 PQ 的最大值【解答】解
41、：（1）曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），曲线 C 的普通方程为 x2+（ y1） 21，曲线 C 是圆心为（0，1），半径为 r1 的圆（2）直线 l 的极坐标方程为 4cos+3sin80，直线 l 的直角坐标方程为 4x+3y80，直线 1 与 x 轴的交点为 P， Q 为曲线 C 上一动点， P（2，0），圆心 C（0，1）到 P（2，0）的距离| PC| ， Q 是圆 C 上的动点，圆 C 的半径为 r1，- 26 - PQ 的最大值为 【点评】本题考查圆的普通方程的求法，考查线段的最大值的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题选修 4
42、-5：不等式选讲23设函数 f（ x）| x+1|+|x a|（ a0）（1）作出函数 f（ x）的图象；（2）若不等式 f（ x）5 的解集为（，23，+），求 a 值【分析】（1） f（ x）| x+1|+|x a| ，如图所示（2）由题设知：| x+1|+|x a|5，在同一坐标系中作出函数 y5 的图象，当 x2 或 3时， f（ x）5，且 a+15 即 a4，由 f（2）5 求得 a 的值【解答】解：（1） f（ x）| x+1|+|x a| ，函数 f（ x）如图所示（2）由题设知：| x+1|+|x a|5，如图，在同一坐标系中作出函数 y5 的图象（如图所示）又解集为（，23，+）由题设知，当 x2 或 3 时， f（ x）5且 a+15 即 a4，由 f（2）2（2）1+ a5 得： a2【点评】本题考查绝对值不等式的解法，函数图象的特征，体现了数形结合的数学思想，画- 27 -出函数 f（ x）的图象，是解题的关键
