1、- 1 -辽宁省沈阳市郊联体 2019 届高三上学期期末考试理数试题一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 已知集合 ， 1， ，则 A. B. C. D. 1，【答案】 B【解析】解：集合 ，1， ，则 故选： B化简集合 M，根据交集的定义写出 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题2. 若复数 为虚数单位 ，则 z 的实部为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】 C【解析】解： 的实部为 3故选： C直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3. 抛物线 的焦点坐标是 A. B. C. D. - 2
2、-【答案】 B【解析】解： 在抛物线 ，即 y， ， ，焦点坐标是 ，故选： B先把抛物线的方程化为标准形式，再利用抛物线 y 的焦点坐标为 ，求出物线的焦点坐标本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线 y 的焦点坐标为4. 已知向量 ， 的夹角为 ，且 ， ，则 A. B. C. D. 【答案】 D【解析】解： 向量 ， 的夹角为 ，且 ， ， ，故选： D由题意可得， ，再根据 ，计算求的结果本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题5. 在 中， ， ， ，则 A. B. C. D. 【答案】 D- 3 -【解析】解： ， ， ，由正弦定理可得： ，可得：
3、，可得： 为锐角，故选： D由已知利用正弦定理可得 的值，根据大边对大角可求 为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求 的值本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题6. 已知一个样本，样本容量为 7，平均数为 11，方差为 2，现样本中又加入一个新数据11，此时样本容量为 8，平均数为 ，方差为 ，则 A. B. C. D. 【答案】 A【解析】解： 某 7 个数的平均数为 11，方差为 2，现又加入一个新数据 11，此时这 8 个数的平均数为 ，方差为 ， ，故选： A由题设条件，利用平均数和方差的计算公式进行求解本题考查平均
4、数和方差的计算公式的应用，是基础题7. 九章算术 勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐 问水深、葭长各几何 ”其意思是：有一水池一丈见方，池中生有一- 4 -颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐 如图所示 ，问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺 若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为 A. B. C. D. 【答案】 B【解析】解：设水深为 x 尺，则 ，解得 ，即水深 12 尺又葭长 13 尺，则所求概率 ，故选： B设水深为 x 尺，利用勾股定理求出水深，结合葭长 13 尺，代入几何概型概率计算公式，可得答案
5、本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题8. 已知抛物线 C： 焦点为 F，点 P 为其准线上一点， M 是直线 PF 与抛物线 C 的一个交点，若 ，则直线 PF 的斜率为 A. B. C. D. 【答案】 B【解析】解：当点 P 在 x 轴上方时，如图：过 M 作 准线 于 N，则根据抛物线的定义得因为 ，所以- 5 -，此时 PF 的斜率为 ，当点 P 在 x 轴下方时，同理可得直线 PF 的斜率为故选： B根据向量知识和抛物线的定义将问题转化在直角三角形中锐角的正切值本题考查了直线与抛物线的综合，属难题9. 如图，在正三棱柱 中，底面边长为 2， ，则直线 与直线 所成角的余弦
6、值为 A. B. C. D. - 6 -【答案】 A【解析】解：在正三棱柱 中，底面边长为 2， ，以 A 为原点， AB 为 x 轴，在平面 ABC 中，过 A作 AB 的垂线为 y 轴， 为 z 轴，建立空间直角坐标系，0， ， 0， ， 0， ，0， ， ，设直线 与直线 所成角为 ，则 直线 与直线 所成角的余弦值为 故选： A以 A 为原点， AB 为 x 轴，在平面 ABC 中，过 A 作 AB 的垂线为 y 轴， 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 与直线 所成角的余弦值本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查
7、运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题10. 在区间 仅有三个零点，则 的最小值是 - 7 -A. B. C. D. 【答案】 C【解析】解： 在区间 仅有三个零点，即 在区间 仅有三个解，即 在区间 仅有三个解，这三个根应为： ， ， ，故选： C根据题意可得， 在区间 仅有三个交点，结合正切函数的图象，求得 的最小值本题主要考查函数的零点的定义，正切函数的图象，属于中档题，11. 设 是定义在 R 上的以 2 为周期的偶函数，在区间 上单调递减，且满足，则满足不等式组 的解集为 A. B. C. D. 【答案】 A【解析】解：根据题意， 为周期为 2 的偶函数，则 且 ，则有 ，则函数
8、关于直线 对称，又由 在区间 上单调递减，且 ，则 在 上递增，且 ， ，则 ，即不等式组的解集为 ；- 8 -故选： A根据题意，由函数的周期性与奇偶性分析可得 ，则函数 关于直线对称，据此可得 在 上递增，且 ， ，则进而分析可得答案本题考查函数的奇偶性与对称性，关键是分析函数的对称轴，属于基础题12. 已知椭圆 的右焦点为 ，离心率为 e，过原点斜率为 k 的直线与椭圆交于 A、 B 两点， M、 N 分别为线段 AF、 BF 的中点，以 MN 为直径的圆过原点 O，若 ，则 e 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】 D【解析】解：记线段 MN 与 x 轴交点为 C的中点为 M
9、， BF 的中点为 N， ，、 B 为椭圆上关于原点对称的两点，原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上，- 9 -设 ， ，易得 由 ，可得得 ， 直线 AB 斜率为 ，由于 ，离心率 e 的取值范围为故选： D通过几何法得到 ，由 ，可得到 A 点坐标，从而求出 OA 的斜率，由直线 AB 斜率为 ，求出 e 的取值范围本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，同时考查圆的性质和直线斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 双曲线 的渐近线方程为_【答案】【解析】解： 双曲线 ，双曲线 的渐近线方程为 ，即- 10 -故答案为：
10、双曲线 的渐近线方程为 ，整理后就得到双曲线的渐近线方程本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程14. 的展开式中 x 的系数为_【答案】1792【解析】解： 的展开式的通项公式为 ，令 ，求得 ，可得展开式中 x 的系数为 ，故答案为：1792在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 1，求出 r 的值，即可求得展开式中 x 的系数本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题15. 某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前
11、，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲团队获得一等奖”；小王说：“甲或乙团队获得一等奖”；小李说：“丁团队获得一等奖”；小赵说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是_【答案】丁- 11 -【解析】解： 若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小王、小赵预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，若获得一等奖的团队是乙团队，则小王预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，若获得一等奖的团队是丙团队，则四人预测结果都是错的，与题设矛盾，即假设错误，若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小赵预测结果是对的，与题设相符，
12、即假设正确，即获得一等奖的团队是：丁故答案为：丁先阅读理解题意，再逐一进行检验进行简单的合情推理即可本题考查了阅读理解能力及进行简单的合情推理，属简单题16. 已知底面边长为 3 的正三棱锥 的外接球的球心 Q 满足 ，则正三棱锥 的内切球半径为_【答案】【解析】解：正三棱锥 的外接球的球心 O 满足，为 的外心外接圆的圆心为正三棱锥 的外接球的球心， ，- 12 -则这个正三棱锥的内切球半径 r 满足： ，解得故答案为： 由已知可得 Q 为 的外心， 外接圆的圆心为正三棱锥 的外接球的球心，求得 PQ，再由等积法求解正三棱锥 的内切球半径本题考查了球的内接三棱锥的内切球的半径求法，考查了计算
13、能力，转化思想，属于中档题三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）17. 已知等差数列 的前 n 项和为 ，公差为 d若 且 ，求数列 的通项公式；若 ， ， 成等比数列，求公比 q【答案】解： 且 ，解得 ，或 ，当 时， ，当 时， ， ， 成等比数列，整理可得 ，则 或 ，- 13 -当 时，公比为 1，当 ， ，【解析】 根据等差数列的通项公式和求和公式即可求出，根据等比数列的性质即可求出本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了运算和求解能力，属于基础题18. 某工厂有两台不同的机器 A 和 B，生产同一种产品各 10 万件，现从各自生产的产品中分别随机抽取 20 件，
14、进行质量鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示：该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩在 内的产品，质量等级为优秀；鉴定成绩在 内的产品，质量等级为良好；鉴定成绩在 内的产品，质量等级为合格，将频率视为概率完成下列 列联表，以产品质量等级是否达到良好以上 含良好 为判断依据，判断能不能在误差不超过 的情况下，认为产品等级是否达到良好以上 含良好 与生产产品的机器有关：A 机器生产的产品 B 机器生产的产品 合计良好以上 含良好 _ _ _ 合格 _ _ _ 合计 _ _ _ - 14 -已知质量等级为优秀的产品的售价为 12 元 件，质量等级为良好的产品的售价为 10 元 件，质量等级为合格的产品的售价为
15、 5 元 件， A 机器每生产 10 万件的成本为 20 万元， B 机器每生产 10 万件的成本为 30 万元，该工厂决定，按样本数据测算，两种机器分别生产 10 万件产品，淘汰收益低的机器，你认为该工厂会怎么做？【答案】6 12 18 14 8 22 20 20 40【解析】解： 根据题意填写列联表如下，A 机器生产的产品 B 机器生产的产品 合计良好以上 含良好 6 12 18合格 14 8 22合计 20 20 40计算 ，不能判断在误差不超过 的情况下，认为产品等级是否达到良好以上 含良好 与生产产品的机器有关；机器每生产 10 万件的利润为 万元 ，B 机器每生产 10 万件的利润
16、为 万元 ，则 ，所以该工厂不会仍然保留原来的两台机器，应该会卖掉 A 机器，同时购买一台 B 机器- 15 -根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；计算 A、 B 机器每生产 10 万件的利润，比较得出结论本题考查了茎叶图与独立性检验的应用问题，是基础题19. 如图，已知四边形 ABCD 与四边形 BDEF 均为菱形， ，且求证： 平面 BDEF；求二面角 的余弦值【答案】证明： 设 AC、 BD 交于点 O，连结 OF、 DF，四边形 ABCD 与四边形 BDEF 均为菱形， ，且 ， ， ，四边形 ABCD 与四边形 BDEF 均为菱形， 平面 BDEF， ， 平面 ABC
17、D，以 OA 为 x 轴， OB 为 y 轴， OF 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设 ，则 0， ， 0， ， 1， ， 0， ， 1， ，设平面 ABF 的法向量 y， ，- 16 -则 ，取 ，得 ，设平面 BCF 的法向量 y， ，则 ，取 ，得 ，设二面角 的平面角为 ，则 二面角 的余弦值为 【解析】 设 AC、 BD 交于点 O，连结 OF、 DF，推导出 ， ， ，由此能证明 平面 BDEF以 OA 为 x 轴， OB 为 y 轴， OF 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查二面角的求法，考查空间
18、中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20. 已知椭圆 C： 的离心率为 ，过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于A、 B 两点，当 l 的斜率为 2 时，坐标原点 O 到 l 的距离为 求 a、 b 的值；上是否存在点 P，使得当 l 绕 F 转到某一位置时，有 成立？若存在，求出所有的点 P 的坐标与 l 的方程；若不存在，说明理由【答案】解： 设 ，直线 l 的方程为 ，坐标原点 O 到 l 的距离为 ，- 17 -，即 ；由 知椭圆的方程为 ，即 ，假设存在满足题设条件的直线，由题意知直线的斜率不为 0，设直线的方程为 l： ，设 、 ，把 l： 代入椭
19、圆方程，整理得 ，显然 由韦达定理有： ，在椭圆上， 代入椭圆方程整理得 ，解得无解，故不存在这样的点 P，使得当 l 绕 F 转到某一位置时，有 成立【解析】 设 ，则直线 l 的方程为 ，由坐标原点 O 到 l 的距离求得 c，进而根据离心率求得 a 和 b把 l： 代入椭圆方程，由韦达定理可求得 和 的表达式，可得点 P- 18 -的坐标，代入椭圆方程，即可解决本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21. 已知函数 若 ，求函数 在 处的切线方程；若 有两个零点 、 ，且 求 a 的取值范围；
20、证明： 【答案】解： ，由条件知 ， ，函数 在 处的切线方程为 ，即 ，当 时， 在 上恒成立，此时 在 R 上单调增，函数至多有一个零点，当 时，由 解得当 时， 0/， 单调增，当 时， ， 单调减，有两个零点 、 ，解得由条件知 ， ，可得 ， - 19 -方法一： 故 设 ，则 ，且 ，解得 ， ，要证： ，即证明 ，即证明 ，设 ，令 ， ，则 ，在 上单调增， ，在 上单调增，则 即 时， 成立，方法二：则 ，设 ，则 ， 为 的两个零点， ，易得 在 上单调增，在 上单调减，所以 ，设 ， ，则 ，恒成立，则 在 上单调增，- 20 -即 ，即 ，又 在 上单调减， ， ，即
21、，【解析】 求出 的导数， ， ，即可求出切线方程，求出 的导数，通过讨论 a 的范围，求出函数的单调区间， 有两个零点 、，则 ，解得即可先得到 ， ，方法一： 设 ，解得 ， ，问题转化为证明 即可；方法二：由 ，设 ，根据函数的单调性得到，设 ， ，结合 的单调性证明即可本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，考查了运算能力以及转化与化归能力，方程与函数的思想，整体与部分的思想，属于难题22. 已知曲线 的参数方程是 ，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 把曲线 的参数方程化为极坐标方程；直线 l 的极坐标方程为 ，直线 l
22、 与 相交于点 A，直线 l 与 相交于点、 B 异于极点 ，求线段 AB 的长【答案】解： 曲线 的参数方程是 ，曲线 的普通方程为 ，即 ，曲线 的极坐标方程为 ，即 - 21 -直线 l 的极坐标方程为 ，直线 l 的直角坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ，即 ，曲线 的直角坐标方程为 ，直线 l 与 相交于点 A，直线 l 与 相交于点 、 B 异于极点 ，联立 ，得 ，联立 ，得 ，线段 AB 的长为 【解析】 由曲线 的参数方程，求出曲线 的普通方程，由此能求出曲线 的极坐标方程求出直线 l 的直角坐标方程和曲线 的直角坐标方程，联立方程组求出 ，由此能求出线段 AB 的长本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查线段长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题23. 设 求不等式 的解集；若不等式 恒成立，求实数 m 的取值范围【答案】解： 可化为： ，当 时， ，解得 ；当 时， 不成立；- 22 -当 时， ，解得综上所述 的解集为 或，即又不等式 恒成立等价于即 ，解得实数 m 的取值范围是【解析】 两个绝对值分三种情况讨论： ，解得结果再相并；先用绝对值不等式的性质求得 的最小值，然后将恒成立转化为最小值即可解决本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题
