1、10.3 二项式定理,第十章 计数原理,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,1.二项式定理,ZHISHISHULI,k1,(3)当n是偶数时， 项的二项式系数最大；当n是奇数时， 与_项的二项式系数相等且最大.,2.二项式系数的性质,1,1,2n,【概念方法微思考】,1.(ab)n与(ba)n的展开式有何区别与联系？,提示 (ab)n的展开式与(ba)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同.,2.二项展开式形式上有什么特点？,提示 二项展开式形式上的特点 (1)项数
2、为n1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.,3.二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？,提示 不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定.,基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1) 是二项展开式的第k项.( ) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( ) (3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.(
3、) (4)(ab)n的展开式第k1项的系数为 ( ) (5)(x1)n的展开式二项式系数和为2n.( ),1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编 2.P31例2(2)(12x)5的展开式中，x2的系数等于 A.80 B.40 C.20 D.10,7,1,2,3,4,5,6,A.10 B.20 C.30 D.120,7,1,2,3,4,5,6,4.P41B组T5若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为 A.9 B.8 C.7 D.6,解析 令x1，则a0a1a2a3a40， 令x1， 则a0a1a2a3a416，两式相加得a0a2a48.
4、,7,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠 5.(xy)n的二项展开式中，第m项的系数是,7,1,2,3,4,5,6,6.已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列a1，a2，a3，ak(1k11，kN*)是一个单调递增数列，则k的最大值是 A.5 B.6 C.7 D.8,又(x1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，,7,6,1,2,3,4,5,6,7,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 二项展开式,命题点1 求指定项(或系数),多维探究,A.15 B.20 C.30 D.35,(3)(x2xy)4的展开式中，x3y2的系数是_.,12,解析 方法一 (x2x
5、y)4(x2x)y4，,因为要求x3y2的系数，所以k2，,因为(x2x)2的展开式中x3的系数为2， 所以x3y2的系数是6212. 方法二 (x2xy)4表示4个因式x2xy的乘积， 在这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个选x，剩下的一个选x2，即可得到含x3y2的项，,命题点2 求参数,令123k0， 得k4.,求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k1，代回通项公式即可.,14,令63k3，则k1，,2 60,题型二 二项式系数的和与各项的系数和问题,师生共研,例3 (1)(ax)(
6、1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.,解析 设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5， 令x1，得16(a1)a0a1a2a3a4a5， 令x1，得0a0a1a2a3a4a5. ，得16(a1)2(a1a3a5)， 即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1a3a58(a1)， 所以8(a1)32，解得a3.,3,(2)若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数m的值为_.,解析 令x0，则(2m)9a0a1a2a9， 令x2，则m9a0a1a2a3a9， 又(a0a2a8)2(a1a3
7、a9)2 (a0a1a2a9)(a0a1a2a3a8a9)39， (2m)9m939，m(2m)3， m3或m1.,1或3,当k5时，2n3k1，n8. 对(13x)8a0a1xa2x2a8x8， 令x1，得a0a1a828256. 又当x0时，a01， a1a2a8255.,255,(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(axb)n，(ax2bxc)m (a，b，cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法. (2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)， 奇数项系数之和为a0a2a4,跟踪训练2 已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7. 求
8、：(1)a1a2a7；,解 令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71. 令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737. ,(2)a1a3a5a7；,解 ()2，,(3)a0a2a4a6；,解 ()2，,(4)|a0|a1|a2|a7|.,解 方法一 (12x)7展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零， |a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187. 方法二 |a0|a1|a2|a7|即为(12x)7展开式中各项的系数和，令x1， |a0|a1|a2|a7|372 187.,题型三 二项式定理的应用,师
9、生共研,例4 (1)设aZ且0a13，若512 012a能被13整除，则a等于 A.0 B.1 C.11 D.12,A.i B.i C.1i D.1i,(1)逆用二项式定理的关键 根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解. (2)利用二项式定理解决整除问题的思路 观察除式与被除式间的关系； 将被除式拆成二项式； 结合二项式定理得出结论.,A.1 B.1 C.87 D.87,前10项均能被88整除， 余数是1.,解析 当x0时，左边1，右边a0，a01.,1,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1
10、0,11,12,13,14,15,16,A.240 B.60 C.60 D.240,令123k0，得k4，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.80 B.48 C.40 D.80,则k1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.(xy)(2xy)6的展开式中x4y3的系数为 A.80 B.40 C.40 D.80,当k2时，T3240x4y2， 当k3时，T4160x3y3， 故x4y3的系数为24016080，故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.(
11、13x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则x4的二项式系数为 A.21 B.35 C.45 D.28,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.120 B.160 C.200 D.240,令2k60，可得k3，故展开式的常数项为160.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.若在(x1)4(ax1)的展开式中，x4项的系数为15，则a的值为,解析 (x1)4(ax1)(x44x36x24x1)(ax1)， x4项的系数为4a115，a4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15
12、,16,A.671 B.671 C.672 D.673,解析 令x1，可得该二项展开式各项系数之和为1.,所以除常数项外，各项系数的和为1(672)671，故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.若(13x)2 018a0a1xa2 018x2 018，xR，则a13a232a2 01832 018的值为 A.22 0181 B.82 0181 C.22 018 D.82 018,解析 由已知，令x0， 得a01，令x3， 得a0a13a232a2 01832 018(19)2 01882 018， 所以a13a232a2 01832 018
13、82 018a082 0181，故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.(2018绍兴诸暨期末)已知(2x1)6a6(x1)6a5(x1)5a4(x1)4a1(x1)a0，则a0a1a2a6_，a2_.,1 60,解析 令x0，即得16a6a5a1a0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 因为展开式中只有第7项的二项式系数最大， 所以展开式共有13项，n12， 则二项展开式的通项Tk1,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.9192除以100
14、的余数是_.,81,所以9192除以100的余数是81.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.若(1xx2)6a0a1xa2x2a12x12，则a2a4a12_.(用数字作答),解析 令x1，得a0a1a2a1236， 令x1，得a0a1a2a121，,364,令x0，得a01，,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.(2014浙江)在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则 f(3，0)f(2，1)f(1，2)f(0，3)等于 A.45 B.60 C.120
15、D.210,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,即n3时取等号，此时p64q的最小值为16.,16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.(2018金华模拟)若(32x)10a0a1xa2x2a3x3a10x10，则a12a23a34a410a10_.,解析 对原等式两边求导，得20(32x)9a12a2x3a3x210a10x9， 令x1，得a12a23a34a410a1020.,20,(1)展开式中所有x的有理项；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设展开式中的有理项为Tk1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,又0k9，k2，6.,故有理项为T3 144x3，,(2)展开式中系数最大的项.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 设展开式中Tk1项的系数最大，,又kN，k6， 故展开式中系数最大的项为T75 376.,
