1、高考专题突破一 高考中的不等式问题,第二章 不等式,NEIRONGSUOYIN,内容索引,题型分类 深度剖析,课时作业,题型分类 深度剖析,1,PART ONE,题型一 含参数不等式的解法,例1 解关于x的不等式x2ax10(aR),师生共研,解 对于方程x2ax10，a24.,且x1x2，,(2)当0，即a2时， 若a2，则原不等式的解集为x|x1； 若a2，则原不等式的解集为x|x1； (3)当0，即2a2时，方程x2ax10没有实根，结合二次函数yx2ax1的图象，知此时原不等式的解集为R.,解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)若二次项含有参数应讨论是否等于0，小于0，和大于0，然后将
2、不等式转化为二次项系数为正的形式 (2)判断方程的根的个数，讨论判别式与0的关系 (3)当方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式,跟踪训练1 (1)若不等式ax28ax210的解集是x|7x1，那么a的值是_,解析 由题意可知7和1为方程ax28ax210的两个根,3,(2)若关于x的不等式|x1|xm|3的解集为R，则实数m的取值范围是_,解析 依题意得，|x1|xm|(x1)(xm)|m1|， 即函数y|x1|xm|的最小值是|m1|， 于是有|m1|3，m13， 由此解得m2. 因此实数m的取值范围是(，4)(2，),(，4)(2，),题型二 线性规划问题,师生共研,2,
3、1,解析 如图，作出不等式组所表示的可行域(ABC及其内部区域)目标函数zaxy对应直线axyz0的斜率ka.,(1)当k(，1，即a1，a1时，目标函数在点A处取得最大值，,故z的最大值为5a6，即5a616，解得a2.,(2)当k(1，)，即a1，a1时，,故z的最大值为0a11，不符合题意 综上，a2. 数形结合知，当直线z2xy经过点C时，z取得最小值，zmin2011.,1.利用线性规划求目标函数的基本步骤为一画二移三求，其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义. 2.常见的目标函数有,(2)距离型：如z(x2)2y2，z|2xy|，等等.,3.解题时要注意可行解是区域的所有点还是
4、区域内的整点.,跟踪训练2 (1)(2018湖州五校模拟)设实数x，y满足约束条件 则z2xy的取值范围为 A.(6，1) B.(8，2) C.(1,8) D.(2,6),解析 方法一 作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示.,作出直线y2x，平移直线，直线z2xy在点B(1,0)处的取最小值为2， 在点C(3,0)处的取最大值为6，所以z2xy的取值范围为(2,6). 方法二 三条直线两两联立求出的交点坐标分别是(1,2)，(1,0)，(3,0)， 分别代入z2xy求值，得0，2,6，所以z2xy的取值范围为(2,6).,(2)若x，y满足 则不等式组表示的平面区域的面积为_，z(x1
5、)2(y1)2的最小值为_.,30,z(x1)2(y1)2表示可行域内的点(x，y)与点M(1,1)之间的距离的平方，,数形结合易知，z(x1)2(y1)2的最小值为点M(1,1)到直线2xy0的距离的平方，,题型三 基本不等式的应用,例3 (1)已知x24xy30，其中x0，yR，则xy的最小值是,师生共研,利用基本不等式求最值的方法 (1)利用基本不等式求最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要思路有两种：对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. (2)有些题目虽然不具备直接应用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手
6、段使之能运用基本不等式.常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法.,所以x2y0.,(2)若实数x，y满足x2y2xy1，则xy的最大值是_.,解析 由x2y2xy1，得1(xy)2xy，,题型四 绝对值不等式的应用,例4 (1)(2018浙江五校联考)已知aR，则“a9”是“2|x2|52x|a无解”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,师生共研,解析 2|x2|52x|2x4|52x| |2x452x|9， 若2|x2|52x|a无解，则a9， 同样若a9，则2|x2|52x|a无解， 所以“a9”是“2|x2
7、|52x|a无解”的充要条件.,所以|ab|(ac)(bc)|ac|bc|2， 且|ab|(ac)(bc)|ac|bc|2. 所以max|asin xb|max|ab|，|ab|2， 当a2，b0，c1时，取等号.,(2)(2019温州模拟)已知a，b，cR，若|acos2xbsin xc|1对xR恒成立，则|asin xb|的最大值为_.,2,解析 |acos2xbsin xc|1， 即|asin2xbsin x(ac)|1，,(1)解绝对值不等式可以利用绝对值的几何意义，零点分段法、平方法、构造函数法等. (2)利用绝对值三角不等式可以证明不等式或求最值.,跟踪训练4 (1)已知函数f(x
8、)|x5|x3|x3|x5|c，若存在正实数m，使f(m)0，则不等式f(x)f(m)的解集是_.,(m，m),解析 由|x5|x3|x3|x5|x5|x3|x3|x5|可知， 函数f(x)为偶函数，当3x3时， f(x)取最小值16c. 结合题意可得c16.由f(m)0得f(x)0， 即|x5|x3|x3|x5|c0， 结合图象(图略)可知，解集为(m，m).,(2)不等式|x2|x1|a对于任意xR恒成立，则实数a的取值范围为_.,(，3,解析 当x(，1时， |x2|x1|2xx112x3； 当x(1,2)时，|x2|x1|2xx13； 当x2，)时，|x2|x1|x2x12x13， 综
9、上可得|x2|x1|3，a3.,课时作业,2,PART TWO,基础保分练,1.(2018宁波期末)若a，bR，且ab0，则下列不等式成立的是,解析 由a0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.(2018浙江绍兴一中期末)若关于x的不等式|x2|xa|5有解，则实数a的取值范围是 A.(7,7) B.(3,3) C.(7,3) D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 不等式|x2|xa|5有解， 等价于(|x2|xa|)min5， 又因为|x2|xa|(x2)(xa)|2a|， 所以|2a|5，5
10、2a5，解得7a3， 即实数a的取值范围为(7,3)，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.(2018杭州质检)若正数x，y满足2xy30，则 的最小值为 A.2 B.3 C.4 D.5,解析 由2xy30，得2xy3，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,5.(2018金华十校调研)设x，yR，下列不等式成立的是 A.1|xy|xy|x|y|
11、B.12|xy|x|y| C.12|xy|x|y| D.|xy|2|xy|x|y|,解析 对于选项B，令x100，y100，不成立；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.(2018杭州学军中学模拟)设关于x，y的不等式组 表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x02y03，则实数m的取值范围是 A.(1,0) B.(0,1) C.(1，) D.(，1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 作出满足不等式组的平面区域， 如图中阴影部分所示(包含边界)，当目标函数zx2y经过直线xm0与ym0的交点时
12、取得最大值， 即zmaxm2m3m，则根据题意有3m3，即m1，故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2018浙江舟山中学月考)已知x，y满足约束条件 当目标函数zaxby(a0，b0)在该约束条件下取到最小值 时，a2b2的最小值为 A.5 B.4 C. D.2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分(包含边界)所示，可知当目标函数过直线xy10与2xy30的交点A(2,1)时取得最小值，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14
13、,15,16,8.(2018嘉兴教学测试)若直线axby1与不等式组 表示的平面区域无公共点，则2a3b的取值范围是 A.(7,1) B.(3,5) C.(7,3) D.R,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以2a3b的取值范围为(7,3)，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.(2019诸暨期末)不等式x22x30的解集为_；不等式|32x|1的解集为_.,(，1)(3，),(1,2),解析 依题意，不等式x22x3
14、0， 解得x3， 因此不等式x22x30的解集是(，1)(3，)； 由|32x|1得132x1,1x2， 所以不等式|32x|1的解集是(1,2).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.(2018宁波期末)关于实数x的不等式x24x3在0,5上有解，则实数a的取 值范围为_.,又因为x24x3(x2)27， 所以当x5时，x24x3取得最大值2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.(2018嘉兴测试)已知f(x)x2，g(x)2x5，则不等式|f(x)|g(x)|2的解集为_；|f(2x)|g(x
15、)|的最小值为_.,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,|f(2x)|g(x)|的图象如图，则由图象易得|f(2x)|g(x)|的最小值为3.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.(2018浙江金华十校联考)已知实数x，y，z满足 则xyz的最小值为_.,技能提升练,1,
16、2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.(2018宁波模拟)若6x24y26xy1，x，yR，则x2y2的最大值为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 方法一 设mxy，nxy，则问题转化为“已知4m2mnn21，求mn的最大值”. 由基本不等式，知1mn4m2n2mn4|mn|，,方法二 (齐次化处理)显然要使得目标函数取到最大值，x0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,当且仅当
17、x3y时取等号.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.(2019浙江嘉兴一中模拟)已知点P是平面区域M： 内的任意一点，则P,拓展冲刺练,到平面区域M的边界的距离之和的取值范围为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设P到边界AO，BO，AB的距离分别为a，b，c，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,如图，P为可行域内任意一点，过P作PEx轴，PFy轴，PPAB，过P作PEx轴，PFy轴，,则有PEPFPPPFPE，由P(b，a)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
