1、2.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,第二章 不等式,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.二元一次不等式(组)表示的平面区域,知识梳理,ZHISHISHULI,边界直线,边界直线,公共部分,2.线性规划中的基本概念,不等式(组),一次,一次,(x，y),集合,最大值,最小值,最大值,最小值,1.不等式x0表示的平面区域是什么？,提示 不等式x0表示的区域是y轴的右侧(包括y轴).,2.可行解一定是最优解吗？二者有何关系？,提示 不一定.最优解是可行解中的一个或多个. 最优解必定是可行解
2、，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一.,【概念方法微思考】,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集.( ) (2)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方. ( ) (3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线AxByC0同侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0，异侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy0表示.( ) (5)线性目标
3、函数的最优解是唯一的.( ) (6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.( ) (7)目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距.( ),1,2,3,4,5,题组二 教材改编,1,2,3,4,5,解析 x3y60表示直线x3y60及其右下方部分， xy20表示直线xy20的左上方部分， 故不等式组表示的平面区域为选项B中的阴影部分.,1,2,3,4,5,3.下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是 A.(0,0) B.(1,1) C.(1,3) D.(2，3),解析 把各点的坐标代入可得(1,3)不适合，故选C.,1,2,3,4,5,题组三 易
4、错自纠,1,2,3,4,5,6,解析 作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(含边界)所示.,1,2,3,4,5,5.已知x，y满足约束条件 若使得zaxy取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值为_.,1,2,3,4,5,1,解析 先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线yaxz和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个， akAB1，a1.,1,2,3,4,5,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域,多维探究,命题点1 不含参数的平面区域问题 例1 在平面直角坐标系中，不等式组 表示的平面区域的面积是,命题点2 含
5、参数的平面区域问题 例2 (2018嘉兴市基础测试)若不等式组 表示的平面区域为一个三角形的内部区域，则实数a的取值范围是,平面区域的形状问题主要有两种题型 (1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状. (2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论.,A.等边三角形 B.梯形 C.等腰直角三角形 D.正方形,解析 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，易知平面区域的形状为等腰直角三角形(阴影部分，含边界).,A.3 B.1 C.3 D.1,可知该区域是等腰直角三角形且面积为8. 由于直线ykx2恒过点B(0,2
6、)，且原点的坐标恒满足ykx2， 当k0时，y2，此时平面区域的面积为6，,解得k1或k3(舍去)，故选B.,题型二 求目标函数的最值问题,命题点1 求线性目标函数的最值,多维探究,A.3,4 B.3,12 C.3,9 D.4,9,解析 画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线2xy0，结合图象，平移直线2xy0得， 在点A(3,3)处目标函数取最大值9，在点B(1,1)处目标函数取最小值3，故选C.,命题点2 求非线性目标函数的最值,这是一个三角形区域(包含边界)，,命题点3 求参数值或取值范围,A.(，1) B.(，1 C.1，) D.(1，),解析 作出不等式组表示
7、的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，,目标函数zaxy可化为yaxz， 且目标函数仅在点A(2,3)处取到最大值，所以a1，故选D.,A.2 B.1 C.1 D.2,解析 将目标函数变形为y2xz， 当z取最大值时，直线的纵截距最大，易知直线xy50与2xy10的交点(2,3)不能使得目标函数取得最大值8.,画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，,常见的三类目标函数 (1)截距型：形如zaxby. (2)距离型：形如z(xa)2(yb)2.,跟踪训练2 (1)(2018浙江)若x，y满足约束条件 则zx3y的最小值是_，最大值是_.,2,8,当目标函数的图象经过A(4，2)时，zmin
8、43(2)2； 当目标函数的图象经过B(2,2)时，zmax2328.,(2)(2018浙江金丽衢十二校联考)设x，y满足约束条件 则目标函数z12xy的最大值是_，目标函数z2x2y2的最小值是_.,6,2,解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(2,0)，(0,2)，(4,2)为顶点的三角形区域(包含边界)(图略)， 易得当目标函数z12xy经过平面区域内的点(4,2)时， 取得最大值2426.z2x2y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，,解析 方法一 由z2xy存在最大值， 可知a1，显然a0不符合题意.,所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分(含边界)
9、所示，,作直线2xy0，平移该直线， 易知，当平移到过直线xy20与axya0的交点时，z取得最大值 ，,方法二 由z2xy存在最大值，可知a1，,所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分(含边界)所示，,代入axya0得a1，故选C.,3,课时作业,PART THREE,1.(2017浙江)若x，y满足约束条件 则zx2y的取值范围是 A.0,6 B.0,4 C.6，) D.4，),基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,
10、15,16,即zmin2214. 所以zx2y的取值范围是4，). 故选D.,2.(2018杭州质检)设不等式组 所表示的区域面积为S(mR).若S1，则 A.m2 B.2m0 C.0m2 D.m2.,解析 如图，当xy1与ymx的交点为(1,2)时， 阴影部分的面积为1，此时m2，若S1，则m2， 故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组所表示的平面
11、区域， 其是以(1,0)，(3，1)，(2,2)为顶点的三角形及其内部(图略)， 由图易得平面区域内的点(3，1)与原点连线的斜率最小，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域， 其是以(1,1)，(1,2)，(1，2)为顶点的三角形区域(包含边界)， 在平面直角坐标系内画出yxz(x0)和yxz(x0)(图略)，,当yxz(x0)经过平面区域内的点(1，2)时， z|x|y取得最大值zmax|1|(2)3，,1,2,3,
12、4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由向量a(2x,1)，b(1，my)，ab 得2xmy0，整理得my2x， 根据约束条件画出可行域，如图所示，将求m的最小值转化为求y2xm在y轴上的截距的最小值，,当直线y2xm经过点A时，m最小，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.(2018浙江“七彩阳光”联盟期初联考)已知变量x，y满足约束条件 若不等式2xym20恒成立，则实数m的取值范围为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,
13、12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 作出约束条件 表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，,令z2xy，则y2xz，当直线y2xz经过点A(4，1)时， z取得最大值，即zmax2(4)17. 因为不等式2xym20恒成立，所以m2(2xy)maxzmax恒成立，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 画出不等式组
14、表示的平面区域， 如图中阴影部分(含边界)所示，因为(x1)2(y2)2表示平面区域内的点到点P(1，2)的距离的平方， 直线PO：y2x与直线x2y0垂直，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由图知，点P(1，2)到直线x2y0的距离的平方为所求最小值，,与点A(0,3)的距离的平方为所求最大值， 即为(01)23(2)226，所以所求取值范围为5,26，故选D.,8.(2018绍兴市嵊州市适应性考试)已知实数x，y满足约束条件 若ztxy的最小值为1，则实数t的取值范围是 A.t2 B.2t1 C.t1 D.t2或t1,1,2,3,4,5,6,7
15、,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 画出满足约束条件的平面区域， 如图中阴影部分(含边界)所示，由图易知只有平移直线txy0经过直线2xy10与直线xy10的交点C(0,1)时， 目标函数ztxy的值为1， 则目标函数ztxy要取得最小值1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,直线ztxy必过点C(0,1). 当t0时，则t1，即0t1； 当t0时，则t2， 即2t0. 综上可知，实数t的取值范围是2t1，故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.(2018杭州地区四校联考)不等
16、式组 表示的平面区域的面积是_；若z|xy|，则z的取值范围为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 画出不等式组表示的平面区域， 如图中阴影部分(含边界)所示，,令z1xy，作出直线xy0，平移该直线， 当直线经过点G时，z1取得最小值，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.(2018绍兴市六校质检)已知实数x，y满足约束条件 若zxy的最大值为6，则m_，z12xy的最小值为_.,3,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9,1,2,3,4,5,6,7,
17、8,9,10,11,12,13,14,15,16,由图可知，当直线zxy过点A(m，m)时，z取得最大值6，所以m3. 当直线z12xy过点B(6,3)时，z1取得最小值，最小值为9.,11.(2019浙江部分重点中学调研)若实数x，y满足约束条件 则该不等式组表示的平面区域的面积为_，目标函数z3|x|4y的取值范围是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6,5,18,解析 由题意得，该不等式组表示的平面区域是直角三角形ABC及其内部区域(如图中阴影部分所示). 该三角形的三个顶点分别为A(1,0)，B(1,2)，C(2，3)，,1,2,3,4,
18、5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,结合图形可知，目标函数z3|x|4y在B(1,2)处取得最小值，且zmin5， 在C(2，3)处取得最大值，且zmax18.所以z5,18.,12.(2018浙江六校协作体联考)若变量x，y满足约束条件 且有无穷多个点(x，y)使得目标函数zx2y取得最大值，则实数的值为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,解析 可行域如图中阴影部分(含边界)所示.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1
19、1,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，,切点为(x0，y0).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.(2018浙江知名重点中学考前热身联考)设实数x，y满足约束条件 则x3y的最大值为_；若x24y2a恒成立，则实数a的最小值为_.,8,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,20,表示的平面区域如图1中阴影部分(含边界)所示， 由图1可知，当ux3y过点A(2,2)时， u
20、x3y取得最大值umax2328.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,作出可行域如图2中阴影部分(含边界)所示， 由图2可知，x2y2的最大值， 即原点到点B(2,4)的距离的平方， 易得|OB|2224220，所以a的最小值为20.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意，要使不等式33，解得a3. 作出不等式组表示的平面区域如图所
21、示，,当点E(3,6)在直线x2ya22a的上方时，326a22a， 即3a5，故有3a1或3a5， 此时可行域为四边形ABCD及其内部(不包含线段AB)，,解得a0(舍去)或a4； 当点E(3,6)在直线x2ya22a的下方或在直线上时， 326a22a，解得a3或a5， 故有a3或a5， 此时可行域为三角形ABE及其内部(不包含线段AB)， 则x0，目标函数zy|x|yx在点E(3,6)处取得最大值，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设目标函数z|x2y1|3|xy|.如图所示，分四种情况：,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,满足约束条件下的平面区域，只有一个点A(1,0)，此时z3；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
