1、第2课时 直线与椭圆,第九章 9.5 椭 圆,NEIRONGSUOYIN,内容索引,题型分类 深度剖析,课时作业,题型分类 深度剖析,1,PART ONE,1.若直线ykx1与椭圆 总有公共点，则m的取值范围是 A.m1 B.m0 C.0m5且m1 D.m1且m5,题型一 直线与椭圆的位置关系,自主演练,解析 方法一 由于直线ykx1恒过点(0，1)， 所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，,消去y整理得(5k2m)x210kx5(1m)0. 由题意知100k220(1m)(5k2m)0对一切kR恒成立， 即5mk2m2m0对一切kR恒成立， 由于m0且m5，m1且m5.,将代入，整理得9x28
2、mx2m240. 方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144. 当0，即 时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.,2.已知直线l：y2xm，椭圆C： 试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不重合的公共点；,解 将直线l的方程与椭圆C的方程联立，,(2)有且只有一个公共点；,解 当0，即m 时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.,(3)没有公共点.,解 当0，即 方程没有实数根，可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭
3、圆C没有公共点.,研究直线与椭圆位置关系的方法 (1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数. (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点.,题型二 弦长及中点弦问题,多维探究,命题点1 弦长问题,解析 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 直线l的方程为yxt，,命题点2 中点弦问题 例2 已知P(1，1)为椭圆 1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为_.,x2y30,解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在， 所以设其方程为y1k(x1)， 弦所在的直线与椭圆相交于
4、A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2).,消去y得，(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0，,即x2y30.,方法二 易知此弦所在直线的斜率存在， 所以设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,x1x22，y1y22，,即x2y30.,(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，应用根与系数的关系，解决相关问题.涉及中点弦的问题时用“点差法”解决，往往会更简单. (2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，,(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进
5、行的，不要忽略判别式.,(1)求椭圆E的离心率；,解 过点(c，0)，(0，b)的直线方程为bxcybc0，,(2)如图，AB是圆M：(x2)2(y1)2 的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程.,解 方法一 由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2. ,易知，AB与x轴不垂直， 设其方程为yk(x2)1， 代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20，,方法二 由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2， ,两式相减并结合x1x24，y1y22， 得4(x1x2)8(y1y2)0， 易知AB与x轴不垂直，则x1x2，,代入得x24x82b20， 所以x1x24，
6、x1x282b2，,题型三 椭圆与向量等知识的综合,师生共研,(1)求椭圆C的标准方程；,故b2a2c23，,(2)求实数的值.,设点A(x1，y1)，点B(x2，y2). 若直线ABx轴，则x1x21，不符合题意； 当AB所在直线l的斜率k存在时， 设l的方程为yk(x1).,的判别式64k44(4k23)(4k212)144(k21)0.,一般地，在椭圆与向量等知识的综合问题中，平面向量只起“背景”或“结论”的作用，几乎都不会在向量的知识上设置障碍，所考查的核心内容仍然是解析几何的基本方法和基本思想.,(1)求椭圆C的方程；,解 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，,消
7、去y，可得(34k2)x28kmx4m2120，,又点P在椭圆C上，,课时作业,2,PART TWO,1.若直线mxny4与O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆 1的交点个数是 A.至多为1 B.2 C.1 D.0,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)， 则直线AB的方程为y2x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
8、,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.已知F1(1，0)，F2(1，0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且|AB|3，则C的方程为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,则c1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|3，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,
9、15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1，0)时， 其方程为y0tan 45(x1)，即yx1.,A.4 B.3 C.2 D.1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,PF1PF2，F1PF290. 设|PF1|m，|PF2|n， 则mn4，m2n212，2mn4，mn2，,7.直线ykxk1与椭圆 1的位置关系是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由于直线ykxk1k(x1)1过定点(1，1)，而(1，1)在
10、椭圆内，故直线与椭圆必相交.,相交,8.(2018浙江余姚中学质检)若椭圆C： 1的弦被点P(2，1)平分，则这条弦所在的直线l的方程是_，若点M是直线l上一点，则M到椭 圆C的两个焦点的距离之和的最小值为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,x2y40,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 当直线l的斜率不存在时不满足题意，,9.已知椭圆C： 1(ab0)的左焦点为F，椭圆C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|10，|AF|6，cosABF 则椭圆C的离心率e_.,1,2,3,4
11、,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设椭圆的右焦点为F1，在ABF中，由余弦定理可解得|BF|8， 所以ABF为直角三角形，且AFB90， 又因为斜边AB的中点为O，所以|OF|c5，连接AF1， 因为A，B关于原点对称，所以|BF|AF1|8，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)求椭圆E的方程；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 由题意知，直线AB的斜率存在且不为0， 故可设直线AB的
12、方程为xmy1， 设A(x1，y1)，B(x2，y2).,因为F1(1，0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)求椭圆的标准方程；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 设椭圆C的焦距为2c，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)过点P(6，0)的直线l交椭圆于A，B两点，Q是x轴上的点，若ABQ是以AB为斜边的等腰直角三角形，求l的方程.,1,2,3,4,5,6,7,8,9
13、,10,11,12,13,14,15,16,解 设AB的中点坐标为(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以直线l的方程为x3y60.,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 方法一 |OA|OF2|2|OM|，M在椭圆C的短轴上， 设椭圆C的左焦点为F1，连接AF1，,又|AF1|2|AF2
14、|2(2c)2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二 |OA|OF2|2|OM|，M在椭圆C的短轴上，,设椭圆C的左焦点为F1，连接AF1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.已知椭圆 1(ab0)短轴的端点为P(0，b)，Q(0，b)，长轴的一个端点为M，AB为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若PA，PB的 斜率之积等于 则点P到直线QM的距离为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设A(x0，y0)，则B点坐标为(x0，y0)，,则直线
15、QM的方程为bxayab0，,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设AB的中点为G，则由椭圆的对称性知，O为平行四边形ABCD的对角线的交点，则GOAD. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由题意知PQ的斜率存在，且不为0，所以x0y00，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
