1、9.3 圆的方程,第九章 平面解析几何,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,知识梳理,圆的定义与方程,ZHISHISHULI,定点,定长,(a，b),r,D2E24F0,【概念方法微思考】,1.二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的条件是什么？,2.已知C：x2y2DxEyF0，则“EF0且D0”是“C与y轴相切于原点”的什么条件？,3.如何确定圆的方程？其步骤是怎样的？,提示 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程. (2)根据条件列出关于
2、a，b，r或D，E，F的方程组. (3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程.,4.点与圆的位置关系有几种？如何判断？,提示 点和圆的位置关系有三种. 已知圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0) (1)点在圆上：(x0a)2(y0b)2r2； (2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2r2； (3)点在圆内：(x0a)2(y0b)2r2.,基础自测,JICHUZICE,题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( ) (2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(xx1)(
3、xx2)(yy1)(yy2)0.( ) (3)方程x22axy20一定表示圆.( )(5)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆.( ),1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,题组二 教材改编 2.P124A组T2圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是 A.(x1)2(y1)21 B.(x1)2(y1)21 C.(x1)2(y1)22 D.(x1)2(y1)22,解析 因为圆心为(1，1)且过原点，,则该圆的方程为(x1)2(y1)22.,7,1,2,3,4,5,6,3.P132A组T3以点(3，1)为圆心，并且与直线3x4y0相切的圆的方程是 A.
4、(x3)2(y1)21 B.(x3)2(y1)21 C.(x3)2(y1)21 D.(x3)2(y1)21,7,1,2,3,4,5,6,4.P124A组T4圆C的圆心在x轴上，并且过点A(1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为_.,解析 设圆心坐标为C(a，0)， 点A(1，1)和B(1，3)在圆C上， |CA|CB|，,(x2)2y210,解得a2， 圆心为C(2，0)，,圆C的方程为(x2)2y210.,7,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠 5.若方程x2y2mx2y30表示圆，则m的取值范围是,7,6.(2018浙江诸暨中学期中)点P(5a1，12a)在圆(x1)2y21的内部，
5、则a的取值范围是,解析 由圆(x1)2y21， 得圆心坐标为(1，0)，半径r1， 由点P在圆(x1)2y21内部得(5a11)2(12a)21，,1,2,3,4,5,6,7,7.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是 A.(x2)2(y1)21 B.(x2)2(y1)21 C.(x2)2(y1)21 D.(x3)2(y1)21,解析 由于圆心在第一象限且与x轴相切，可设圆心为(a，1)(a0)， 又圆与直线4x3y0相切，,1,2,3,4,5,6,圆的标准方程为(x2)2(y1)21.故选A.,7,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一
6、 圆的方程,师生共研,例1 (1)已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为,解析 方法一 (待定系数法) 根据题意，设圆E的圆心坐标为(a，0)(a0)，半径为r， 则圆E的标准方程为(xa)2y2r2(a0).,方法二 (待定系数法) 设圆E的一般方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，,方法三 (几何法) 因为圆E经过点A(0，1)，B(2，0)，,又圆E的圆心在x轴的正半轴上，,(x1)2(y1)22,解析 方法一 所求圆的圆心在直线xy0上， 设所求圆的圆心为(a，a). 又所求圆与直线xy0相切，,解得a1，圆C的方程
7、为(x1)2(y1)22.,方法二 设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，,由于所求圆与直线xy0相切，(ab)22r2. 又圆心在直线xy0上，ab0. ,故圆C的方程为(x1)2(y1)22.,方法三 设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，,圆心在直线xy0上，,又圆C与直线xy0相切，,即(DE)22(D2E24F)， D2E22DE8F0. ,(DE6)2122(D2E24F)， ,故所求圆的方程为x2y22x2y0， 即(x1)2(y1)22.,(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程. (2)待定系数法 若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求
8、出a，b，r的值； 选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.,跟踪训练1 一个圆与y轴相切，圆心在直线x3y0上，且在直线yx上截得的弦长为 则该圆的方程为_.,x2y26x2y10或x2y26x2y10,解析 方法一 所求圆的圆心在直线x3y0上， 设所求圆的圆心为(3a，a)， 又所求圆与y轴相切，半径r3|a|，,故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29， 即x2y26x2y10或x2y26x2y10.,方法二 设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，,由于所求圆与y轴相切，r2a2， 又所求圆的圆心在直线x3y0上，a3
9、b0， ,故所求圆的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29， 即x2y26x2y10或x2y26x2y10.,方法三 设所求圆的方程为x2y2DxEyF0，,在圆的方程中，令x0，得y2EyF0. 由于所求圆与y轴相切，0，则E24F. ,即(DE)2562(D2E24F). ,D3E0. ,故所求圆的方程为x2y26x2y10或x2y26x2y10.,题型二 与圆有关的轨迹问题,例2 已知RtABC的斜边为AB，且A(1，0)，B(3，0).求： (1)直角顶点C的轨迹方程；,师生共研,解 方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y0. 因为ACBC，且BC，AC
10、斜率均存在，所以kACkBC1，,化简得x2y22x30. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0). 方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，,由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0).,(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.,解 设M(x，y)，C(x0，y0)， 因为B(3，0)，M是线段BC的中点，,所以x02x3，y02y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)， 将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24
11、， 即(x2)2y21. 因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(y0).,求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： 直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. 定义法：根据圆、直线等定义列方程. 几何法：利用圆的几何性质列方程. 相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.,跟踪训练2 设定点M(3，4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.,解 如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，,因为平行四边形的对角线互相平分，,又点N(x0，y0)在圆x2y24上， 所以(x3)2(y4)24. 所以点P的轨迹是以(
12、3，4)为圆心，2为半径的圆，,题型三 与圆有关的最值问题,例3 已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上，求xy的最大值和最小值.,解 设txy，则yxt，t可视为直线yxt在y轴上的截距， xy的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距. 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，,师生共研,即直线与圆相切时的斜率. 设过原点的直线的方程为ykx， 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，,求它的最值可视为求点(x，y)到定点(1，2)的距离的最值， 可转化为求圆心(2，3)到定点(1，2)的距离与半径的和或差.,与圆有关的最值问
13、题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解. (2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法.,形如u 型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如taxby型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.,跟踪训练3 已知M(x，y)为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2，3). (1)求|MQ|的最大值和最小值；,解 由圆C：x2y24x14y450， 可得(x
14、2)2(y7)28，,设直线MQ的方程为y3k(x2)， 即kxy2k30. 由直线MQ与圆C有交点，,(3)求yx的最大值和最小值.,解 设yxb，则xyb0. 当直线yxb与圆C相切时，截距b取到最值，,yx的最大值为9，最小值为1.,3,课时作业,PART THREE,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.0 B.1 C.2 D.3,解析 方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆的条件为a24a24(2a2a1) 0，即3a24a40，,仅当a0时，方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,
15、9,10,11,12,13,14,15,16,2.已知圆C：x2y22x4y10，那么与圆C有相同的圆心，且经过点(2，2)的圆的方程是 A.(x1)2(y2)25 B.(x1)2(y2)225 C.(x1)2(y2)25 D.(x1)2(y2)225,解析 圆C的标准方程为(x1)2(y2)24，圆心C(1，2)，故排除C，D， 代入(2，2)点，只有B项经过此点. 也可以设出要求的圆的方程为(x1)2(y2)2r2，再代入点(2，2)， 可以求得圆的半径为5.故选B.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1
16、1,12,13,14,15,16,4.圆心在y轴上，且过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是 A.x2y210y0 B.x2y210y0 C.x2y210x0 D.x2y210x0,解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r， 则32(r1)2r2， 解得r5，可得圆的方程为x2y210y0.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,A.(3，1)(1，3) B.(3，3) C.1，1 D.3，11，3,1|a|3，解得1a3或3a1. 实数a的取值范围是3，11，3
17、.故选D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.(2016浙江)已知aR，方程a2x2(a2)y24x8y5a0表示圆，则圆心坐标是_，半径是_.,解析 由已知方程表示圆，则a2a2， 解得a2或a1. 当a2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去. 当a1时，原方程为x2y24x8y50， 化为标准方程为(x2)2(y4)225， 表示以(2，4)为圆心，5为半径的圆.,(2，4) 5,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.(2019杭州模拟)已知圆C：x2y2kx2yk2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的
18、坐标为_.,所以当k0时，圆C的面积最大，此时圆心C的坐标为(0，1).,(0，1),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.若圆C经过坐标原点与点(4，0)，且与直线y1相切，则圆C的方程是_.,解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0，0)和(4，0)， 所以设圆心为(2，m).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由两点间的距离公式得(x2)2y22(x2)2y2， 整理得x2y212x40，显然其对应的轨迹是一个圆.,x2y212x40,一个圆,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,
19、12,13,14,15,16,11.已知点P(x，y)在圆C：x2y26x6y140上.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 方程x2y26x6y140可变形为(x3)2(y3)24， 则圆C的半径为2. (转化为斜率的最值问题求解),显然当PO(O为原点)与圆C相切时，斜率最大或最小，如图所示. 设切线方程为ykx，即kxy0， 由圆心C(3，3)到切线的距离等于圆C的半径，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)求xy的最大值和最小值.,解 (转化为截距的最值问题求解) 设xyb，则b表示动直线yx
20、b在y轴上的截距， 显然当动直线yxb与圆C相切时，b取得最大值或最小值，如图所示. 由圆心C(3，3)到切线xyb的距离等于圆C的半径，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)求圆心P的轨迹方程；,解 设P(x，y)，圆P的半径为r， 则y22r2，x23r2. y22x23，即y2x21. P点的轨迹方程为y2x21.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 设P点的坐标为(x0，y0)，,y0x01，即y0x01.,圆P的方
21、程为x2(y1)23.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,圆P的方程为x2(y1)23. 综上所述，圆P的方程为x2(y1)23.,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.已知圆C：(x3)2(y4)21，设点P是圆C上的动点.记d|PB|2|PA|2，其中A(0，1)，B(0，1)，则d的最大值为_.,74,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,_.,解析 设圆C的方程为(xa)2(yb)2r2， 则点C到x轴、y轴的距离分别为|b|，|a|.,(x1)
22、2(y1)22,故所求圆C的方程为(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22.,_,(x1)2(y1)22或,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 设点P(xP，yP)，|PA|PB|，A(5，0)，B(b，0)，,10xP262(12bxPb2)， (102b2)xP2b2226， ,0，5，b1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,
