1、3.6 对数与对数函数,第三章 函数概念与基本初等函数,NEIRONGSUOYIN,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,课时作业,1,基础知识 自主学习,PART ONE,1.对数的概念 一般地，如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_，其中 叫做对数的底数， 叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a0，且a1，M0，N0，那么： loga(MN) ； loga ； logaMn (nR).,x,logaN,a,N,知识梳理,ZHISHISHULI,logaMlogaN,logaMlogaN,nlogaM,(2)对数的性质 ；lo
2、gaaN (a0，且a1). (3)对数的换底公式 logab (a0，且a1；c0，且c1；b0).,N,N,3.对数函数的图象与性质,4.反函数 指数函数yax(a0且a1)与对数函数 (a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称.,(0，),R,(1,0),y0,y0,y0,y0,增函数,减函数,ylogax,yx,1.根据对数换底公式：说出logab，logba的关系？,提示 logablogba1；,化简 .,【概念方法微思考】,提示 logab.,2.如图给出4个对数函数的图象.比较a，b，c，d与1的大小关系.,提示 0cd1ab.,题组一 思考辨析,1.判断下列结论是否正
3、确(请在括号中打“”或“”) (1)若MN0，则loga(MN)logaMlogaN.( ) (2)loga xloga yloga (xy).( ) (3)函数ylog2x及y 3x都是对数函数.( ) (4)对数函数ylogax(a0且a1)在(0，)上是增函数.( ) (5)函数yln 与yln(1x)ln(1x)的定义域相同.( ) (6)对数函数ylogax(a0且a1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)， ，函数图象只在第一、四象限.( ),基础自测,JICHUZICE,1,2,3,4,5,6,7,题组二 教材改编,1,2,3,4,5,6,7,cab,cab.,1,2,3,4,
4、5,6,7,4.P74A组T7函数y 的定义域是 .,1,2,3,4,5,6,解析 由 (2x1)0，得02x11.,7,5.已知b0，log5ba，lg bc,5d10，则下列等式一定成立的是 A.dac B.acd C.cad D.dac,1,2,3,4,5,6,题组三 易错自纠,7,6.已知函数yloga(xc)(a，c为常数，其中a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的是 A.a1，c1 B.a1,01 D.0a1,0c1,解析 由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数， 0a1， 图象与x轴的交点在区间(0,1)之间， 该函数的图象是由函数ylogax的图象向左平移不到1个
5、单位后得到的， 0c1.,1,2,3,4,5,6,7,7.若函数f(x)logax(0a1)在a,2a上的最大值是最小值的3倍，则a的值 为 .,1,2,3,4,5,6,7,解析 因为0a1，所以f(x)在a,2a上是减函数. 所以f(x)maxf(a)logaa1， f(x)minf(2a)loga2a1loga2，,2,题型分类 深度剖析,PART TWO,题型一 对数的运算,解析 设3a4b6ck，所以alog3k，blog4k，clog6k，,自主演练,2.(2013浙江)已知x，y为正实数，则 A.2lg xlg y2lg x2lg y B.2lg(xy)2lg x2lg y C.2
6、lg xlg y2lg x2lg y D.2lg(xy)2lg x2lg y,解析 2lg x2lg y2lg xlg y2lg(xy).故选D.,1,4.设函数f(x)3x9x，则f(log32) .,6,解析 函数f(x)3x9x，,对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并. (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.,对数函数的图象及应用,例1 (1)若函数ylogax(a0且a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是,师生共
7、研,解析 由题意ylogax(a0且a1)的图象过(3,1)点，可解得a3.,选项B中，yx3，由幂函数图象性质可知正确； 选项C中，y(x)3x3，显然与所画图象不符； 选项D中，ylog3(x)的图象与ylog3x的图象关于y轴对称，显然不符，故选B.,解析 构造函数f(x)4x和g(x)logax，当a1时不满足条件，,若本例(2)变为方程4xlogax 在上有解，则实数a的取值范围为.,(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结
8、合法求解.,跟踪训练1 (1)(2018浙江台州三区三校适应性考试)若loga2logb20，则下列结论正确的是 A.0ab1 B.0ba1 C.ab1 D.ba1,解析 方法一 由loga2logb20，,又函数ylog2x是增函数，所以0ba1，故选B. 方法二 由对数函数的性质可知，0a1,0b1，排除C，D.,满足loga2logb20.故ba，故选B.,(2)已知函数f(x) 且关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是 .,(1，),解析 如图，在同一坐标系中分别作出yf(x)与yxa的图象，其中a表示直线在y轴上的截距.由图可知，当a1时，直线yxa与ylo
9、g2x只有一个交点.,题型三 对数函数的性质及应用,命题点1 比较对数值的大小,例2 设alog412，blog515，clog618，则 A.abc B.bca C.acb D.cba,多维探究,解析 a1log43，b1log53，c1log63， log43log53log63，abc.,命题点2 解对数方程、不等式,例3 (1)方程log2(x1)2log2(x1)的解为 .,解析 原方程变形为log2(x1)log2(x1)log2(x21)2，,(2)已知不等式logx(2x21)logx(3x)0成立，则实数x的取值范围是 .,命题点3 对数函数性质的综合应用,例4 (1)若函数
10、f(x)log2(x2ax3a)在区间(，2上是减函数，则实数a的取值范围是 A.( ，4) B.(4,4 C.(，4)2，) D.4,4),解析 由题意得x2ax3a0在区间(，2上恒成立且函数yx2ax3a在(，2上单调递减，,解得实数a的取值范围是4,4)，故选D.,利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.,跟踪训练2 (1)设alog32，blog52，c
11、log23，则 A.acb B.bca C.cba D.cab,解析 alog32log221，所以c最大.,所以cab.,(2)若f(x)lg(x22ax1a)在区间(，1上单调递减，则a的取值范围为 .,解析 令函数g(x)x22ax1a(xa)21aa2， 对称轴为xa，要使函数在(，1上单调递减，,1,2),解得1a2，即a1,2).,(3)已知函数f(x)loga(8ax)(a0，且a1)，若f(x)1在区间1,2上恒成立， 则实数a的取值范围是 .,解析 当a1时，f(x)loga(8ax)在1,2上是减函数， 由f(x)1在区间1,2上恒成立， 则f(x)minf(2)loga(
12、82a)1，且82a0，,当01在区间1,2上恒成立， 则f(x)minf(1)loga(8a)1，且82a0. a4，且a4，故不存在.,比较大小问题是每年高考的必考内容之一. (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法. (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，若指数相同而底数不同，则构造幂函数，若底数相同而指数不同，则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.,高频小考点,GAOPINXIAOKAODIAN,比较指数式、对数式的大小,例 (1)设a0.50.5，b0.30.5，clog0.30.2，则a，b，c的
13、大小关系是 A.cba B.abc C.bac D.acb,解析 根据幂函数yx0.5的单调性， 可得0.30.5log0.30.31，即c1. 所以bac.,(2)设a60.4，blog0.40.5，clog80.4，则a，b，c的大小关系是 A.abc B.cba C.cab D.bca,解析 a60.41，blog0.40.5(0,1)， clog80.4bc.故选B.,(3)(2018浙大附中模拟)若实数a，b，c满足loga2logb2logc2，则下列关系中不可能成立的是 A.abc B.bac C.cba D.acb,解析 由loga2logb2logc2的大小关系，可知a，b，
14、c有四种可能： 1cba； 0a1cb； 0ba1c； 0cba1.对照选项可知A中关系不可能成立.,(4)(2018全国)设alog0.20.3，blog20.3，则 A.abab0 B.abab0 C.ab0ab D.ab0ab,解析 alog0.20.3log0.210， blog20.3log210，ab0.,1log0.30.3log0.30.4log0.310，,3,课时作业,PART THREE,1.log29log34等于,基础保分练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.(2018杭州教学质检)设函数f(x)|ln x|(e为自然对
15、数的底数)，满足f(a)f(b)(ab)，则 A.abee B.abe C.ab D.ab1,解析 |ln a|ln b|且ab， ln aln b，ab1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 因为log3 0.20,00.231,30.21， 所以log3 0.20.2330.2，故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.(2019丽水模拟)下列不等式正确的是 A.log3 0.20.2330.2 B.log3 0.230.20.23 C.0.23log3 0.230.2 D.30.2log3
16、 0.20.23,4.(2018浙江名校协作体联考)若ab1,0c1，则 A.acbc B.abcbac C.alogb cbloga c D.loga clogb c,解析 因为ab1,0c1，所以cbca， 则bloga cloga cblogbcblogbcaalogb c，故选C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,从而lg m(lg nlg 2)1， 当且仅当m10，n5时，等号成立，故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15
17、,16,所以t(0,2，则问题可转化为对任意的t(0,2，t2at46恒成立，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以ymin121，所以a1， 即实数a的最大值为1.故选A.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1，ee,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,由f(f(x)1可得f(x)0或f(x)e， 又当x0时，f(x)ex(0,1； 当x0时，由f(x)0可得ln x0，解得x1； 由f(x)e可得ln xe，解得xee， 故对应方程的解集为1，ee.,8.(2
18、018杭州第二中学仿真考试)已知m ，n4x，则log4m ；满足lognm1的实数x的取值范围是 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由于m ，,由于 1，由lognm1可得mn1，,则 22x1，则 2x0，,9.(2018宁波期末)若实数ab1，且loga blogb a ，则loga b ； .,解析 令loga bt，由于ab1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,10.(2019浙江名校协作体联考)已知x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则xy的最大值是 .,1,2,3,4,5
19、,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 由题意得lg 2xlg 8ylg(2x23y)lg 2x3ylg 2(x0，y0)， 所以x3y1，,11.已知函数f(x) (ax23xa1). (1)当a0时，求函数f(x)的定义域、值域及单调区间；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 当a0时，y (3x1)，,解 原命题可化为x1,2，ax2a1恒成立，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,12.(2018浙江名校协作体联考)已知奇函数f(x)loga (a0且a1). (1)求b的
20、值，并求出f(x)的定义域；,解 由已知f(x)f(x)0，得b1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若存在区间m，n，使得当xm，n时，f(x)的取值范围为loga6m，loga6n，求a的取值范围.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 当0a1时，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,设g(x)6ax2(a6)x1(a1)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1
21、2,13,14,15,16,13.(2018浙江三市联考)下列命题正确的是 A.若ln aln ba3b，则ab0 B.若ln aln ba3b，则0ab C.若ln aln b3ba，则0ba D.若ln aln b3ba，则ba0,技能提升练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析 显然有a0，b0，可排除A，D；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,得03，不能确定ab，排除B； 同理若ln aln b3ba，,14.定义区间x1，x2(x1x2)的长度等于x2x1.函数y|loga x|(a1)的定义
22、域为m，n(mn)，值域为0,1.若区间m，n的长度的最小值为 ，则实数a的值为 .,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4,解析 作出函数y|loga x|的图象(图略)， 要使定义域区间m，n的长度最小，,拓展冲刺练,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解 不妨设abcd，则a，b满足|log2a|log2b|， 即log2alog2b，所以ab1； c，d是二次方程x212x34k，k(0,2)在区间(4，)上的两个不相等的根，则cd34k，所以cd(32,34). 故abcd的取值范围是(32,34).,
