1、- 1 -福建省莆田市第一中学 2018-2019 学年高二数学上学期第一次月考试卷 理（含解析）一、选择题：本大题共有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题意1.在等差数列 中，如果 ，那么 （ ）A. 95 B. 100 C. 135 D. 80【答案】B【解析】【分析】根据等差数列 性质可知： ， ， 构成新的等差数列，然后求出结果【详解】由等差数列的性质可知： ， ， 构成新的等差数列，故选【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用，等差数列中连续的、等长的、间隔相等的几项的和依然成等差，即可计算出结果。2.已知等差数列 中， ， ，则 的值
2、为（ ）A. 15 B. 17 C. 22 D. 64【答案】A【解析】等差数列 中， .故答案为：A.3.设数列 的通项公式为 ，若数列 是单调递增数列，则实数 的取值范围为（ ）A. B. - 2 -C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因该函数的对称轴 ,结合二次函数的图象可知当 ,即 时,单调递增,应选 C.考点：数列的单调性等有关知识的综合运用【易错点晴】数列是高中数学中的重要内容之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,借助二次函数的对称轴进行数形结合,合理准确地建立不等式是解答好本题的关键.求解时很多学生可能会出现将对称轴 放在 的左
3、边而得 ,而得 的答案.这是极其容易出现的错误之一.4.下列命题中正确的是（_）A. 若 ，则 B. 若 ， ，则C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则【答案】C【解析】A,当 c=0 时， ，故不正确；B，若 则 ，则 举例说明：a=3,b=2,c=-1,d=-2,则 ，故选项不正确。D，若 ，则有 故不正确；故选 C；5.已知数列 为等比数列，且首项 ，公比 ，则数列 的前 10 项的和为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】- 3 -【分析】由已知条件可以判定数列 也是等比数列，然后求出前 10 项的和【详解】数列 代表奇数项的和，已知数列 为等比数列，故奇数项也是等比数列，公
4、比为 ，首项为 ，每项和为：故选【点睛】本题主要考查了等比数列的求和，只需按照题意运用公式即可求出结果，较为基础。6.已知数列 满足 ，且 ，则 （ ）A. B. 11 C. 12 D. 23【答案】B【解析】数列 满足 ，且 ,根据递推公式得到 故答案为：B.7.已知等差数列 的公差 若 则该数列的前 项和 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由 得故 ，当 n=9 或 n=10 时， 的最大值为 或 ,.考点：等差数列性质及有关计算8.数列 中， ，则 （ ）- 4 -A. 97 B. 98 C. 99 D. 100【答案】D【解析】【分析】将已知条件变形求
5、得 ，求解即可【详解】由故选【点睛】本题主要考查了由数列的递推式求数列的通项公式，考查了数列的求和，属于中档题。9.若关于 的不等式 在区间 上有解,则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用分离常数法得出不等式 在 上成立，根据函数 在 上的单调性，求出 的取值范围【详解】关于 的不等式 在区间 上有解在 上有解即 在 上成立，设函数数 ，恒成立在 上是单调减函数且 的值域为- 5 -要 在 上有解，则 即 的取值范围是故选【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题。10.已知数列
6、满足 ， 是等差数列，则数列 的前 10 项的和 （ ）A. 220 B. 110 C. 99 D. 55【答案】B【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，将已知值和等量关系代入，计算得 ，所以 ，所以 ，选 B.点睛：本题主要考查求数列通项公式和裂项相消法求和，属于中档题。本题的关键是求出数列 的通项公式。11.等比数列 的前 项和 （ 为常数） ，若 恒成立，则实数 的最大值是（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【解析】由题意可知 且 ,可得 ,化简为 ,由于均值不等式等号不成立,所以由钩型函数可知,当 n=1 时, .选 C.【点睛】- 6 -等比数列,当 , ,对于恒成
7、立,我们常用分离参数的方法,但是要注意用均值不等式时要对等号进行判定.12.下列说法正确的是（ ）A. 没有最小值B. 当 时， 恒成立C. 已知 ，则当 时， 的值最大D. 当 时， 的最小值为 2【答案】B【解析】【分析】对四个选项逐一进行分析即可得到结论【详解】由 ， ，令 ， ，则 ，单调递减，当 时取得最小值，最小值为 3，则 有最小值为 3，故 错误由 ，则恒成立，故 正确，则 ，当且仅当 ，即 时取等号当 取得最大值 时， 错误当 时，当且仅当 ，- 7 -即 时，取得最小值，故 错误故选【点睛】本题考查了最值问题，运用基本不等式或者导数即可得出结果，较为基础，在解题过程中需要注
8、意自变量的取值范围，是否满足一正二定三相等。二、填空题：本大题共有 4 个小题,每题 3 分,共 12 分13.等比数列 的前 项和为 ,已知 ,则 _【答案】【解析】14.数列 满足 ,则 _.【答案】【解析】【分析】由已知条件递推出数列的周期性，继而求出结果【详解】因为 ，所以 ，因为 ,所以 ， ， ，所以该数列以 3 为周期呈现,则【点睛】本题主要考查了数列的概念，递推数列，属于中档题，根据已知条件，逐步计算即可求得结果，注意计算的准确性即可15.若 x，y 满足约束条件 则 z=x2y 的最小值为 _.【答案】【解析】试题分析：由 得 ，记为点 ；由 得 ，记为点 ；- 8 -由 得
9、 ，记为点 .分别将 A，B，C 的坐标代入 ，得， ， ，所以 的最小值为 【考点】 简单的线性规划【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：（1）在平面直角坐标系内作出可行域；（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值视频16.设数列 的前 项和为 ,已知 , ,则 _【答案】240【解析】由 ，当 为奇数时，有 ；当 为偶数时， ， 数列的偶数项构成以 为首项，以 为公差的等差数列，则，故答案为 .【方法点晴】本题主要考查数列的递推公
10、式和利用“分组求和法”求数列前 项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.三、解答题：本大题共 6 个小题,共 70 分,解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤.17.在等差数列 中， ，(1)求数列 的通项公式；(2)设数列 是首项为 1，公比为 的等比数列，求 的前 项和 .【答案】(1)- 9 -(2) 当 时， ,当 时， 【解析】试题分析：(1)设等差数列 的公差是 ，由已知求出首项与公差
11、，即可求出数列 的通项公式；(2)由数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，结合(1)的结果，求出 的通项公式，再利用等差数列与等比数列的前 项和公式求解即可.试题解析：设等差数列 的公差是 由已知 ，得 ，数列 的通项公式为由数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 当 时， ，当 时， .考点：等差等比数列.18.已知等比数列 满足 ，数列 的前 项和为 .(1)求数列 的通项公式；(2)数列 的通项公式为 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】设等比数列 的公比为 ，由 ，可得 ，解- 10 -出 和 ，即可求得 的通项公式； ，利用错位相减法即可得出结果【详
12、解】设等比数列 的公比为 ，解得则【点睛】本题主要考查了数列的求和，在遇到形如 形态的题目时，其中一个是等差数列，一个是等比数列，此时的求和运用错位相减法求出结果。19.如图所示，在四边形 中， ,且 .- 11 -（1）求 的面积；（2）若 ,求 的长.【答案】 （1） ；（2）8.【解析】【分析】利用已知条件求出 角的正弦函数值，然后求出 的面积；利用余弦定理求出 ，通过 ,利用余弦定理求解 的长【详解】 由余弦定理知，.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，熟练运用公式是本题关键，当然还要注意计算的过程不出错，较为基础。20.本公司计划 2018 年在甲、乙两个电视台做总时间不
13、超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为 元/分钟和 200 元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？【答案】 （1） （2）【解析】- 12 -试题分析：设公司在省电视台和市电视台做广告的时间分别为 分钟和 分钟，总收益为 元.根据题意可得关于 和 的二元一次不等式组,同时可用 和 表示出 .画出二元一次不等式组表示的平面区域及目标函数线分析可得 的最大值及相应 和 的值.试题解析：解：设
14、公司在省电视台和市电视台做广告的时间分别为 分钟和 分钟，总收益为元，由题意得目标函数为 4 分二元一次不等式组等价于作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域如图：作直线 ，即 平移直线 ，从图中可知，当直线 过 点时，目标函数取得最大值 8 分联立 解得 点 的坐标为 10 分（元） 12 分考点：线性规划.21.已知函数 的最低点为 .（1）求不等式 的解集；（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.- 13 -【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）根据函数 的最低点为 ，得到对称轴与最小值，列方程组求出 ， ，即可求得函数解析式，然后利用一元二次不等式的解法求解
15、即可；（2）由由 ，可得 ，分别求出 与 的最大值与最小值，利用不等式恒成立可得结果.试题解析：（1）依题意，得 ，由解得， ， . .则原不等式可化为 ，解得 或 .故不等式 的解集为 .（2）由 ，得 ，即 ，则 ，即 . ， 的最小值是 .的最大值是 . ，即 .故实数 的取值范围是 .22.在 中，角 的对边分别为 ，且 .（1）求角 的大小；（2）若 ，求 的最大值.【答案】(1) (2) 时， 取最大值【解析】试题分析：（1）由 ，根据正弦定理可得- 14 -，再由余弦定理可得 ，从而可得结果；（ 2）根据正弦定理可得 ，利用三角函数的有界性可得结果.试题解析：（1）在 中，由以及正弦定理得 .， ， . ， .（2） ， ，由正弦定理得 ， ， . .又 ， 时， 取最大值 .
