1、吉林省长春外国语学校 2019 届高三数学上学期期末考试试题 文本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 4 页。考试结束后，将答题卡交回。注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第卷一、
2、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合 ， ，则 （ ）|1Mx1|2xNMNA B C D|x|1x|12. 设 i为虚数单位，若复数 z满足2(1)i，则 z（ ）A 1 B i C 1i D 1i3. 在等差数列 na中， 1352,0a，则 7a( )A 5 B 8 C D 44. 已知 ， b都是实数，那么“ ab”是“ 2”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件5.设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ）,lm,A.若 则 B. 若/,ml/l
3、 /,/,lml则C. 若 D.若则 /则6.已知点 为平面区域 上的一个动点，则 的取值范围是( )M,xy21xy1yzxA B C D1,2,2,2,27. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马” ，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为 1） ，则该“阳马”最长的棱长为（ ）A 5B 34C 41D 528. 在 中， 为重心，记 , ，则 =（ ）CGaAbGA. B. C. D. 123ab1223ab13ab9. 已知函数 32fxabx( 0， )在 1x处取
4、得极小值，则 4的最小值为（ ）A4 B5 C9 D1010. 已知 是定义域为 的奇函数，满足 , 若 ，fx,1fxf12f则 ( )1232018ffLA. B. C. D.08 05011. 定义行列式运算 ，已知函数 ，满足：12121abasin1()()co3xf， ，且 的最小值为 ，则 的值为（ ）1()0fx2()fx12xA B C D123412. 函数 的导函数 ，对 ，都有 成立，若 ，fxfxRfxfln2f则满足不等式 的 的范围是（ ）eA B C D101ln20lx第卷二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。13. 已知点 , ,若 ，则 .(12)
5、a()bmab14. 已知曲线 ,则曲线在 处的切线与坐标轴围成的图形面积为 .xfe(0,)f15. 两直线 与 平行，则它们之间的距离为 .30y61y16. 如图，半球内有一内接正四棱锥 ，该四棱锥的体积为 ，则该半球的SABCD423体积为 . 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.（12 分）已知向量 sin,1ax， 13cos,2bx，函数 2fxb（1）求函数 f的单调递增区间；（2）已知 ,ac分别为 ABC内角 ,的对边，其中 A为锐角， 3,1ac，且fA，求 的面积 S18. （12 分）如图，在底面为梯形的四棱锥 中
6、，已知 ，SBCD/BC， ，60SC2DC .2SAD（1）求证： ；S（2）求三棱锥 的体积.BA19.（12 分）已知圆 21:60Cxy关于直线 1:2lyx对称的圆为 C.（1）求圆 C的方程；（2）过点 ,0作直线 l与圆 交于 ,AB两点， O是坐标原点，是否存在这样的直线 l，使得在平行四边形 OASB中 ？若存在，求出所有满足条件的直线 的方程；若不存在，请说明理由.20. （12 分）已知数列 的前 项和 满足 )2(1NnSn， ，且 .nanS 1a（1）求数列的通项公式 ；（2）记 ， 为 的前 项和，求使 成立的 的最小值.1nnbaTnbnT21.（12 分）已知
7、函数 （ 为常数）.2l1fxaxa（1）当 时，求函数 的单调区间；（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.0,xfx22.(10 分)在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),曲线oy1Ccos1inxtyt的直角坐标方程为 .以平面直角坐标系的原点 为极点, 轴非负半轴2C22()4xOx为极轴建立直角坐标系,射线 的极坐标方程为 l(0)（1）求曲线 1， 2的极坐标方程；（2）设点 分别为射线与曲线上 1C， 2除原点之外的交点，求 的最大值.,AB AB数学试卷（文科）参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A D B
8、D B C D A C B A C二、填空题13. 14. 15. 16. 51270423三、解答题17. 【解析】 （1） 2fxabA6 分2 1sin3sinco21co2sins6abxxxA,()63kkz（2） ，因为 ，所以sin21fA 50,2,6A，又 ，则 ，从而,6322cosabb13sin2SbcA12 分18. 【解析】 （1）设 为 的中点，连接 ， ，OACOSD ， ，SAS ， ，D又 平面 ，且 ，,平面 ，又 平面 ，CSODSO .A（2）连接 ，在 中， ， ， 为 的中点，BDASCS60ACOA 为正三角形，且 ， ，S23O在 中， ， 为
9、 的中点，24 ，且 ，90ADC1在 中， ， 为直角三角形，且 ，SO22SDO90SOD 又 ，且 ， 平面 .ACSABC BSADBV13BD.132CO 3219. 【解析】 （1）圆 1化为标准为 29xy，设圆 的圆心 3,0关于直线 1:l的对称点为 ,Cab，则 1Clk，且 1C的中点 ,2abM在直线 1:2lyx上，所以有 3102ba，解得： 2ab，所以圆 C的方程为 29xy.（2）由 OSAB，所以四边形 OASB为矩形，所以 OAB.要使 ，必须使 0，即： 120xy.当直线 l的斜率不存在时，可得直线 l的方程为 1x，与圆 22:19Cxy交于两点 1
10、,52A， 1,52B.因为 0OB ，所以 OAB，所以当直线 l的斜率不存在时，直线 :lx满足条件.当直线 的斜率存在时，可设直线 l的方程为 1ykx.设 12,AxyB由)2)(9k得： 2221440kxkxk.由于点 1,0在圆 C内部，所以 0恒成立，22221,24414kkkx，212k， 21kx，要使 OAB，必须使 0AOB，即 120xy，也就是： 221241kkx整理得： 22240k解得： 1k，所以直线 l的方程为 1yx存在直线 x和 1yx，它们与圆 C交 ,AB两点，且四边形 OASB对角线相等.20. 【解析】 （1）由已知有 ， 数列 为等差数列，
11、且1nSn， ，即 ， 1aSnS2n当 时， ，2n)(1n又 也满足上式， ； a(2）由（1）知，)12(1)2(nnbn， 12)1(2)12531(2 nnTn由 有 ，有 ，所以 ，n4n6)(5的最小值为 5.21. 【解析】函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 , fx2， 21， ，（2）当 时， 恒成立，0， fx令 ，2ln1gxfa问题转换为 时， ， max0g，2121gxax 当 时， ，00g在 上单调递增，gx，此时 无最大值，故 不合题意a当 时，令 解得， ，0a0gx1210ax，当 时， ，102a210ax而 在 上单调递增，在 上单调递减，gx2，
12、 2x，2max11lnln244aaa令 ， ，lx02，则 ，22114xx在 上单调递增，0，又 ，331eln2e4当 时， ，2.739.在 上小于或等于不恒成立，即 不恒成立，x10， max0g故 不合题意2a当 时， ，1210ax而此时 在 上单调递减，g0，符合题意max综上可知，实数的取值范围是 12，22. 【解析】 （1）曲线 的参数方程为 ( 为参数),消去参数 t,1Ccosinxtyt,即 ， 曲线 的极坐标方程为 ，由曲线22()xy20xy12sin的方程 .得 ，所以曲线 的极坐标方程为C()4242C4sin（2）联立得， ，得 ， 2sin(2sin,)A2sinOA联立得， ，得 ，4i(4i,)B4iB， 时， 由最大值，最大值为 2.2snABO0,2A
