1、1昆明市 2019 届高三复习诊断测试文科数学一、选择题：本题共 1 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由集合交集的运算求解即可.【详解】由集合 ， ，则故选：B.【点睛】此题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.在复平面内，复数 对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【详解】在复平面内，复数 = =1i 对应的点（ 1，1）位于第四象限21+i 2(1-i)(1+
2、i)(1-i)故选：D【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.某商家今年上半年各月的人均销售额(单位：千元)与利润率统计表如下：月份 1 2 3 4 5 6人均销售额 6 5 8 3 4 7利润率（%） 12.6 10.4 18.5 3.0 8.1 16.32根据表中数据，下列说法正确的是A. 利润率与人均销售额成正比例函数关系B. 利润率与人均销售额成反比例函数关系C. 利润率与人均销售额成正相关关系D. 利润率与人均销售额成负相关关系【答案】C【解析】【分析】由表格中的数据和线性相关关系的定义即可得到.【详解】由表格中的数据显示，随着人均销售额的
3、增加，利润率也随之增加，由变量之间的关系可得人均销售额和利润率成正相关关系.故选：C.【点睛】本题主要考查变量间的相关关系的定义，考查学生对基础知识的掌握，属于基础题.4.已知 ， ， ，则下列不等式正确的是（ ）a=(13)34 b=(13)12 c=12A. B. C. D. abc bac cab cba【答案】D【解析】【分析】由指数函数的单调性得 ，与常数1比较得 即可得答案.ba cb【详解】因为 在 R 上递减，且 ，所以 .又因为 在 R 上递增，y=(13)x 0 ba y=x且 ，所以 .所以 .120 c1 cba故选：D.【点睛】本题考查了指数函数的单调性和与常数1比较
4、大小，属于基础题.5.在平面直角坐标系中，角 的终边与单位圆交于点 ，则 （ ） P(35,45) sin(+4)=A. B. C. D. 210 - 210 7210 -7210【答案】A3【解析】【分析】由任意角的三角函数的定义得 和 ，由正弦的两角和计算公式可得 .cos sin sin(+4)【详解】根据题意：x 轴的非负半轴为始边作角 ，其终边与单位圆交于点 ，由任P(-35,45)意角的三角函数的定义得 sin ， ，则 45 cos=-35 sin(+4)= 22(sin+cos)= 210故选：A【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义和正弦两角和的计算公式，属于基础题.6.如
5、图，先画一个正方形 ，再将这个正方形各边的中点相连得到第 2 个正方形，依ABCD此类推，得到第 4 个正方形 .在正方形 内随机取一点，则此点取自正方形EFGH ABCD内的概率是（ ）EFGHA. B. C. D. 14 16 18 116【答案】C【解析】【分析】结合图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的 则四边形的面积构成12公比为 的等比数列，由几何概型概率的求法即可得到.12【详解】观察图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的 ，四边形的面12积构成公比为 的等比数列，第 n 个正方形的面积为 ，即第四个正方形的面积 .12 (12)n-1 (12)3
6、=18根据几何概型的概率公式可得所投点落在第四个正方形的概率为 P ，181=18故选：C【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出正方形面积之间的关系是解决本题的关键，属于基础题.47.已知 是双曲线 渐近线上的点，则双曲线 的离心率是（ ）P(1, 3) C:x2a2y2b2=1(a0,b0) CA. 2 B. C. D. 2 552【答案】A【解析】【分析】由 在双曲线 的渐近线上，得 = ，由 e= 计算可得.P(1, 3) Cba 3 1+(ba)2【详解】因为双曲线 的渐近线方程为 y= ， 在渐近线上，C:x2a2-y2b2=1(a0,b0) bax P(1, 3)所以
7、 = ，则 e= =2.ba 3 1+(ba)2故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的离心率求法，也考查了渐近线方程的应用，属于基础题.8.函数 图象的一条对称轴方程为（ ）y=sin(2x3)A. B. x=12 x=6C. D. x=3 x=512【答案】D【解析】【分析】由 ， 得 x，取 k 值得答案2x-3=2+k kZ【详解】由 ， 得 x ， kZ取 k0，可得 x 2x-3=2+k kZ 512+k2 512函数 ysin（ ）的图象的一条对称轴方程为 x 2x-3 512故选：D【点睛】本题考查了 yAsin（x+）型函数的一条对称轴，属于基础题9.已知 ， 为椭圆 的左，右焦
8、点， 为 的短轴的一个端点，直线F1 F2 C:x2a2+y2b2=1(ab0) B C与 的另一个交点为 ，若 为等腰三角形，则 （ ）BF1 C A BAF2|AF1|AF2|=A. B. C. D. 313 12 23【答案】A5【解析】【分析】设|AF 1|t（t0） ，由已知条件得出|AB|AF 2|，结合椭圆的定义得出 ，可求出t=a2|AF1|和|AF 2|，即可求出答案【详解】设|AF 1|t（t0） ，由椭圆的定义可得|AF 2|2at，由题意可知，|AF2|BF 2|a，由于BAF 2是等腰三角形，则|AB|AF 2|，即 a+t2at，所以 ，所以 ，因此t=a2 |AF
9、1|=a2,|AF2|=3a2 |AF1|AF2|=13故选：A【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题，利用椭圆的定义是解决本题的关键，属于中档题10.在数学历史中有很多公式都是数学家欧拉（Leonhard Euler）发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中.任意一个凸多面体的顶点数 、棱数 、面数 之间，都满V E F足关系式 ，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”若一个凸二十面体的每个VE+F=2面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为（ ）A. 10 B. 12 C. 15 D. 20【答案】B【解析】【分析】由题意得面数 =20， F=E，再由关系式 ，可得 V.F3
10、2 V-E+F=2【详解】因为一个凸二十面体的每个面均为三角形，所以面数 =20，顶点数 、棱数 的关F V E系为 F=E，由任意一个凸多面体的顶点数 、棱数 、面数 之间，都满足关系式32 V E F，所以 V- F+20=2,得 V=12.V-E+F=232故选：B.【点睛】本题考查了利用欧拉公式求顶点数的应用，属于基础题.11.已知函数 ，若函数 的图象在 处切线的斜率为 ，则 的极大值f(x)=(x2m)ex f(x) x=1 3e f(x)是（ ）A. B. 4e2 4e26C. D. e2 e2【答案】A【解析】【分析】由函数 的图象在 处切线的斜率为 ，得 ，从而得 m=0，进
11、而得 f（x）的单f(x) x=1 3e f(1)=3e调性，即可得极大值 = .f(-2) 4e-2【详解】因为函数 ，所以 ，由函数 的图象在 处f(x)=(x2-m)ex f(x)=ex(x2m+2x) f(x) x=1切线的斜率为 ，所以 =3e，所以 m=0. 即 =0 的3e f(1)=e(1m+2)=e(3m) f(x)=ex(x2+2x)根-2,0，因为 ，所以函数 递增，在 递减，在 递增，所ex0 f(x)在 (,2) (2,0) (0,+)以函数 的极大值 = .f(x) f(-2) 4e-2故选：A.【点睛】本题考查了函数切线斜率的应用和求函数的极大值的问题，利用导数判
12、断函数的单调性是关键，属于中档题.12.在棱长均为 的四面体 中，点 为 的中点，点 为 的中点.若点 ， 是平23 ABCD E CD F BE MN面 内的两动点，且 ， ，则 的面积为（ ）BCDMBMF=NBNF=2 MN=2 MANA. B. 342C. D. 222【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，写出 B,E,F 的坐标，设 M(x,y,0)的坐标，由 ，得出 M 的轨迹，MBMF=2同理得出 N 的轨迹，由 ，即可得到 的面积.MN=2 MAN【详解】建立空间直角坐标系如图所示，7，底面 为等边三角形，且 .所以 OD=2,B(- ，-1，0)，AB=AC=AD=2
13、3 BCD BC=23 3D(0,2,0),C( ，-1，0),点 为 的中点，所以 E（ ， ，0） ，点 为 的中点，F（- 3 E CD32 12 F BE 34，- ，0） ，设 M（x,y,0）, ， ，化简得 ，且点 M 14 且 MBMF=2 （x+3）2+(y+1)2+0(x+34)2+(y+14)2+0=2 x2+y2=1是平面 BCD 内的动点，所以点 M 在以（0,0）为圆心，以 1 为半径的圆上，又 ，且点NBNF=2N 是平面 BCD 内的动点，同理 N 也在这个圆上，且 ，所以 MN 为圆的直径，因为 AOMN=2面 BCD，所以 AO MN，且 AO= ， . 2
14、2 SAMN=12MNAO=12222=22故选：C.【点睛】本题考查了空间向量解决点的轨迹问题，圆的几何性质和三角形的面积的运算，属于中档题.二、填空题：本題共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知向量 ， ，若 ，则 _.a=(1,3) b=(1,t) (a2b)a t=【答案】2【解析】【分析】由 得 =0，计算可得 t 的值.(a-2b)a (a-2b) a【详解】已知向量 ， ，所以 = . ，得 =a=(-1,3) b=(1,t) a-2b(3,32t) 由 (a-2b)a (a-2b) a=3+9-6t=0，所以 t=2.(3,32t) (-1,3)故答案为：2.【
15、点睛】本题考查了向量的减法和数量积的运算，属于基础题.14.设 ， ， ，若 是 的充分不必要条件，则 的值可以是m0 p:00 p:0S甲 2趋势更好.【点睛】本题考查了列举法求古典概型的概率问题，也考查了样本的数字特征应用问题，属于基础题19.如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 平面 ，PABCD ABCD PD ABCD， ， 是棱 上的一点.AD=BD=6 AB=62 E PC（1）证明： 平面 ； BC PBD（2）若 平面 ，求 的值；PA/ BDEPEPC（3）在（2）的条件下，三棱锥 的体积是 18，求 点到平面 的距离.PBDE D PAB【答案】 （1）见解析 ；（2
16、） ；（3） .12 23【解析】【分析】（1）推导出 BCPD，BDBC，由此能证明 BC平面 PBD （2）连结 AC，交 BD 于 O，连结OE，由 PA平面 BDE，得 OEPA，由此能求出 （3）B 到平面 PCD 的距离 dPEPC3 ，设 PDa，则 ，由三棱锥 PBDE 的体积是 18，求出2 SPDE=12SPDC 322aPDa6，设点 D 到平面 PAB 的距离为 h，由 VPABD V DPAB ，能求出 D 点到平面 PAB 的距离【详解】 （1）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，PD平面 ABCD，BCPD，ADBD6，AB6 ，BCAD，BD
17、 2+BC2CD 2，BDBC，PDBDD，BC平面 PBD（2）连结 AC 交 BD 于 O，连结 OE，则 O 是 AC 的中点，13PA平面 BDE，OEPA，E 是 PC 的中点， （3）B 到平面 PCD 的距离 d 3 ，设 PDa，则 ，三棱锥 PBDE 的体积是 18，V PBDE V BPDE 18，解得 PDa6，设点 D 到平面 PAB 的距离为 h，PD平面 ABCD，ADBD6，AB6 ，PAPB 6 ， 18 ， 18，V PABD V DPAB ， ，h 2 D 点到平面 PAB 的距离为 2 【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查两线段比值的求法，考查点到平面的距
18、离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题20.过点 的直线与抛物线 交于 ， 两点， 是 的焦点，E(1,0) C:y2=4x A B F C（1）若线段 中点的横坐标为 3，求 的值；AB |AF|+|BF|（2）求 的取值范围.|AF|BF|【答案】 （1）8 ；（2） .(4,+)【解析】【分析】（1）设 ， ，则 ，根据抛物线的定义可得|AF|+|BF|.（2）由抛物A(x1,y1) B(x2,y2) x1+x2=6线的定义可知|AF|BF| m 2y1y2，再根据韦达定理和判别式即可求出(x1+1)(x2+1)14【详解】 （1）设 ， ，则 ，由抛物线
19、的定义知A(x1,y1) B(x2,y2) x1+x2=6.|AF|+|BF|=x1+x2+2=8（2）设 ， ，直线的方程为 .A(x1,y1) B(x2,y2) x=my-1由 得x=my-1,y2=4x, y2-4my+4=0即 ， .y1+y2=4m y1y2=4由 ，得 . =16m2-160 m21由抛物线的定义知 ， .|AF|=x1+1 |BF|=x2+1则 .|AF|BF|=(x1+1)(x2+1)=m2y1y2=4m2因为 ，所以 .m21 |AF|BF|4故 的取值范围是 .|AF|BF| (4,+)【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系和抛物线定义的应用，考查了运算能
20、力和转化能力，属于中档题.21.已知函数 .f(x)=2lnxx+1x（1）讨论 的单调性；f(x)（2）若 ， ，证明： .a0 b0 ab1，转化为a-blna-lnb1，构造函数 ，通过函数a-blna-lnb2(ab-1)ab+1 ab g(x)=lnx-2(x-1)x+1g（x）在区间（1，+）的单调性来证明15【详解】 （1）函数 f（x）的定义域为（0，+）,，所以，函数 f（x）在定义域（0，+）上单调递减；（2）假设 ab0先证明不等式 ，即证 ，即证 ，令 ，则原不等式即为 ，其中 t1，由（1）知，函数 f（x）在（0，+）上单调递减，当 t1 时，f（t）f（1）0，即
21、，即 ，所以，当 ab0 时， 下面证明 即证 ，即 ，令 ，即证 ，其中 x1，构造函数 ，其中x1， ，所以，函数 g（x）在区间（1，+）上单调递增，所以，g（x）g（1）0，所以，当 x1 时， ，所以，当 ab0 时， 综上所述，当 a0，b0 时， 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值和最值，解决本题的关键在于构造合适的函数，利用单调性来处理问题，属于中档题22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （为参数）.以原点为极点，xOy C1 x=3cost,y=sint,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 .x =6(R)（1）求 的极坐标方程；C1（2）若曲线
22、 的极坐标方程为 ，直线与 在第一象限的交点为 ，与 的交C2 +8cos=0 C1 A C2点为 （异于原点） ，求 .B |AB|【答案】 （1） ；（2） .2+82sin2-9=0 53【解析】16【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换 （2）由极径的应用求出结果【详解】 （1）曲线 C1的参数方程为 （ t 为参数） 转换为直角坐标方程为： ，转换为极坐标方程为： 2+8 2sin290（2）因为 ， 两点在直线上，可设 ， .把点 的极坐标代入 的方程得： ，解得 .由己知 点在第一象限，所以 .因为 异于原点，所以把点 的极坐标代入 的方程得：，解得 .所以， .【点睛】本题考查了参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题
