1、- 1 -平面向量(120 分钟 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.如图 e1,e2为互相垂直的单位向量,向量 a+b+c 可表示为 ( B )A.2e1+3e2 B.3e1+2e2C.3e1-2e2 D.-3e1-3e22.已知向量 a=(1,x2),b=(x,8),若 ab,则实数 x 的值为 ( A )A.2 B.-2 C.2 D.03.已知非零向量 m,n 的夹角为 ,且 n(-2m+n),则 = ( B )A.2 B.1 C. D.4.已知向量 a=(-2,0),a-b=(-3,-1),
2、则下列结论正确的是 ( D )A.ab=2 B.abC.|a|=|b| D.b(a+b)5.已知向量 a=(,1),b=(+2,1),若|a+b|=|a-b|,则实数 的值为 ( C )A.1 B.2 C.-1 D.-2 6.已知 A,B,C 是锐角ABC 的三个内角,向量 p=(sin A,1),q=(1,-cos B),则 p 与 q 的夹角是( A )A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定7.在AOB 中,G 为 AB 边上一点,OG 是AOB 的平分线,且 = +m (mR),则 = ( C )A. B.1 C. D.2- 2 -8.若非零向量 a,b 的夹角为锐角 ,且 =cos
3、,则称 a 被 b“同余”.已知 b 被 a“同余”,则向量 a-b 在向量 a 上的投影是 ( A )9.已知正方形 ABCD 的边长为 2,对角线相交于点 O,P 是线段 BC 上一点,则 的最小值为 ( C )A.-2 B.- C.- D.210.已知向量 a=(1,2),b=(2,-3).若向量 c 满足(c+a)b,c(a+b),则 c 等于 ( D )A. B.C. D.11.已知 O 为ABC 内一点,满足 4 = +2 ,则AOB 与AOC 的面积之比为 ( D )A.11 B.12 C.13 D.2112.已知 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三点,动点 P
4、满足 = +,0,+),则点 P 的轨迹经过ABC 的 ( A )A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中的横线上)13.已知平面向量 a 与 b 的夹角等于 ,如果|a|=4,|b|= ,那么|2a-b|= . 14.已知 a=(2sin 13,2sin 77),|a-b|=1,a 与 a-b 的夹角为 ,则 ab=3 . - 3 -15.若向量 a,b 夹角为 ,且|a|=2,|b|=1,则 a 与 a+2b 的夹角为 . 16.已知| |=1,| |=m,AOB= ,点 C 在AOB 内且 =0.若=2 + (0)
5、,则 m=三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 10 分)设 =(2,-1), =(3,0), =(m,3).(1)当 m=8 时,将 用 和 表示.(2)若 A,B,C 三点能构成三角形,求实数 m 应满足的条件.解:(1)当 m=8 时, =(8,3).设 =x +y ,则(8,3)=x(2,-1)+y(3,0)=(2x+3y,-x).所以 解得即 = + .(2)因为 A,B,C 三点能构成三角形,所以 , 不共线.又 =(1,1), =(m-2,4),所以 14-1(m-2)0,解得 m6.18.(本小题满分 12
6、分)已知|a|=3,b=(1, ).(1)若 a,b 共线且方向相同,求 a 的坐标.(2)若 a 与 b 不共线,k 为何值时,a+kb 与 a-kb 互相垂直?解:(1)设 a=(x,y),因为|a|=3,b=(1, ),且 a 与 b 共线,- 4 -所以 解得 或又因为 a,b 方向相同,所以 a 的坐标为( , ).(2)因为 a+kb 与 a-kb 互相垂直,所以(a+kb)(a-kb)=a 2-k2b2=|a|2-k2|b|2=0.由已知|a|=3,b=(1, ),所以|b|= .所以 9-3k2=0,解得 k= .所以当 k= 时,a+kb 与 a-kb 互相垂直.19.(本小
7、题满分 12 分)在边长为 3 的正三角形 ABC 中,设 =2 , =2 .(1)用向量 , 表示向量 ,并求 的模.(2)求 的值.(3)求 与 的夹角的大小.解:(1)因为 =2 , =2 ,所以 = + = + ( - )= + .又 =| | |cos A=33 = .故| |= = = .(2) =- + ,所以 = - 5 -=- - + =- 32- + 32=- .(3)| |= = ,所以 cos = = =- ,所以 与 的夹角为 120.20.(本小题满分 12 分)已知正方形 ABCD,E,F 分别是 CD,AD 的中点,BE,CF 交于点 P.求证:(1)BECF.
8、(2)AP=AB.解:(1)如图,建立直角坐标系 xOy,其中 A 为原点,不妨设 AB=2,则 A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).= - =(1,2)-(2,0)=(-1,2),= - =(0,1)-(2,2)=(-2,-1).因为 =-1(-2)+2(-1)=0,所以 ,即 BECF.(2)设 P(x,y),则 =(x,y-1), =(-2,-1).- 6 -因为 ,所以-x=-2(y-1),即 x=2y-2.同理由 ,得 y=-2x+4,两式联立得:x= ,y= ,即 P .所以 = + =4= ,所以| |=| |,即 AP=AB.21.(本小题满分
9、 12 分)已知向量 a=(1,2),b=(cos ,sin ).设 m=a+tb(tR).(1)若 = ,求当|m|取最小值时实数 t 的值.(2)若 ab,问:是否存在实数 t,使得向量 a-b 和向量 m 的夹角为 ,若存在,请求出 t;若不存在,请说明理由.解:(1)因为 = ,所以 b= .所以 m=a+tb= .所以|m|= = =,所以当 t=- 时,|m|取到最小值,最小值为 .(2)存在满足题意的实数 t.当向量 a-b 和向量 m 的夹角为 时,- 7 -则有 cos = .又 ab,所以(a-b)(a+tb)=a 2+(t-1)ab-tb2=5-t,|a-b|= = =
10、,|a+tb|= = = .则有= ,且 t5,整理得 t2+5t-5=0,解得 t= .所以存在 t= 满足条件.22.(本小题满分 12 分)如图,在四边形 ABCD 中,AD=4,AB=2.(1)若ABC 为等边三角形,且 ADBC,E 是 CD 的中点,求 .(2)若 AC=AB,cos CAB= , = ,求| |.解:(1)因为ABC 为等边三角形,且 ADBC,所以DAB=120.又 AD=2AB,所以 AD=2BC.因为 E 是 CD 的中点,所以 = ( + )= ( + + )= ( + + )= + .又 = - ,- 8 -所以 = ( - )= - - = 16- 4- 42 =11.(2)因为 AB=AC,AB=2,所以 AC=2.因为 = ,所以 ( - )= .所以 - = .又 =| | |cos CAB=4 = ,所以 = + = .所以| |2=| - |2= + -2 =4+16-2 = .即| |= .
